1、 6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 （1） （1 3 1）T （2 1 0）T （1 4 1）T （2） （2 3 0）T （1 4 0）T （0 0 2）T 解 （1）以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为所以R（A）2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关 （2）以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为所以R（B）3等于向量的个数 从而所给向量组线性无关 7 问a取什么值时下列向量组线性相关？ a1（a 1 1）T a2（1 a 1）T a3（1 1 a）T 解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由知 当a1、0、1时 R（A）3 此时向量组线性相关 8 设a1 a2线性无关 a1b a2
2、b线性相关 求向量b用a1 a2线性表示的表示式 解 因为a1b a2b线性相关 故存在不全为零的数1 2使 1（a1b）2（a2b）0 由此得 设 则 bca1（1c）a2 cR 9 设a1 a2线性相关 b1 b2也线性相关 问a1b1 a2b2是否一定线性相关？试举例说明之 解 不一定 例如 当a1（1 2）T, a2（2 4）T, b1（1 1）T, b2（0 0）T时 有 a1b1（1 2）Tb1（0 1）T, a2b2（2 4）T（0 0）T（2 4）T 而a1b1 a2b2的对应分量不成比例 是线性无关的 10 举例说明下列各命题是错误的 （1）若向量组a1 a2 am是线性相关
3、的 则a1可由a2 am线性表示 解 设a1e1（1 0 0 0） a2a3 am0 则a1 a2 am线性相关 但a1不能由a2 am线性表示 （2）若有不全为0的数1 2 m使1a1 mam1b1 mbm0成立 则a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 解 有不全为零的数1 2 m使1a1 mam 1b1 mbm 0原式可化为1（a1b1） m（ambm）0 取a1e1b1 a2e2b2 amembm 其中e1 e2 em为单位坐标向量 则上式成立 而a1 a2 am和b1 b2 bm均线性无关 （3）若只有当1 2 m全为0时 等式才能成立 则a1 a2 am线性无关,
4、b1 b2 bm亦线性无关 解 由于只有当1 2 m全为0时 等式由1a1 mam1b1 mbm 0成立 所以只有当1 2 m全为0时 等式1（a1b1）2（a2b2） m（ambm）0成立 因此a1b1 a2b2 ambm线性无关 取a1a2 am0 取b1 bm为线性无关组 则它们满足以上条件 但a1 a2 am线性相关 （4）若a1 a2 am线性相关, b1 b2 bm亦线性相关 则有不全为0的数 1 2 m使1a1 mam0 1b1 mbm0同时成立 解 a1（1 0）T a2（2 0）T b1（0 3）T b2（0 4）T 1a12a2 01221b12b2 01（3/4）2120
5、 与题设矛盾 11 设b1a1a2 b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1 证明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 证明 由已知条件得 a1b1a2 a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是 a1 b1b2a3 b1b2b3a4 b1b2b3b4a1从而 b1b2b3b40 这说明向量组b1 b2 b3 b4线性相关 12 设b1a1 b2a1a2 br a1a2 ar 且向量组a1 a2 ar线性无关 证明向量组b1 b2 br线性无关 证明 已知的r个等式可以写成上式记为BAK 因为|K|10 K可逆 所以R（B）R（A）r 从而向量组b1 b2 br线性无关 13 求下列向量组的
6、秩, 并求一个最大无关组 （1）a1（1 2 1 4）T a2（9 100 10 4）T a3（2 4 2 8）T 解由知R（a1 a2 a3）2 因为向量a1与a2的分量不成比例 故a1 a2线性无关 所以a1 a2是一个最大无关组 （2）a1T（1 2 1 3） a2T（4 1 5 6） a3T（1 3 4 7） 解 由知R（a1T a2T a3T）R（a1 a2 a3）2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例 故a1T a2T线性无关 所以a1T a2T是一个最大无关组 14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组 （1） 解 因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组. （2
7、） 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 15 设向量组（a 3 1）T （2 b 3）T （1 2 1）T （2 3 1）T的秩为2 求a b 解 设a1（a 3 1）T a2（2 b 3）T a3（1 2 1）T a4（2 3 1）T 因为而R（a1 a2 a3 a4）2 所以a2 b5 16 设a1 a2 an是一组n维向量 已知n维单位坐标向量e1 e2 en能由它们线性表示 证明a1 a2 an线性无关 证法一 记A（a1 a2 an） E（e1 e2 en） 由已知条件知 存在矩阵K 使EAK 两边取行列式 得|E|A|K|可见|A|0 所以R（A）n 从而a1 a2 an线性无关
8、 证法二 因为e1 e2 en能由a1 a2 an线性表示 所以R（e1 e2 en）R（a1 a2 an）而R（e1 e2 en）n R（a1 a2 an）n 所以R（a1 a2 an）n 从而a1 a2 an线性无关 17 设a1 a2 an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是 任一n维向量都可由它们线性表示 证明 必要性 设a为任一n维向量 因为a1 a2 an线性无关 而a1 a2 an a是n1个n维向量 是线性相关的 所以a能由a1 a2 an线性表示 且表示式是唯一的 充分性 已知任一n维向量都可由a1 a2 an线性表示 故单位坐标向量组e1 e2 en能由a1
9、a2 an线性表示 于是有nR（e1 e2 en）R（a1 a2 an）n即R（a1 a2 an）n 所以a1 a2 an线性无关 18 设向量组a1 a2 am线性相关 且a10 证明存在某个向量ak （2km） 使ak能由a1 a2 ak1线性表示 证明 因为a1 a2 am线性相关 所以存在不全为零的数1 2 m 使1a12a2 mam0而且2 3 m不全为零 这是因为 如若不然 则1a10 由a10知10 矛盾 因此存在k（2km） 使k0 k1k2 m0于是 1a12a2 kak0ak（1/k）（1a12a2 k1ak1）即ak能由a1 a2 ak1线性表示 19 设向量组B b1
10、br能由向量组A a1 as线性表示为（b1 br）（a1 as）K 其中K为sr矩阵 且A组线性无关 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R（K）r 证明令B（b1 br） A（a1 as） 则有BAK 必要性 设向量组B线性无关 由向量组B线性无关及矩阵秩的性质 有 rR（B）R（AK）minR（A） R（K）R（K） 及 R（K）minr sr因此R（K）r 充分性 因为R（K）r 所以存在可逆矩阵C 使为K的标准形 于是 （b1 br）C（ a1 as）KC（a1 ar） 因为C可逆 所以R（b1 br）R（a1 ar）r 从而b1 br线性无关 20 设证明向量组1 2 n与向
11、量组1 2 n等价 证明 将已知关系写成将上式记为BAK 因为所以K可逆 故有ABK 1 由BAK和ABK 1可知向量组1 2 n与向量组1 2 n可相互线性表示 因此向量组1 2 n与向量组1 2 n等价 21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x 且向量组x Ax A2x线性无关 （1）记P（x Ax A2x） 求3阶矩阵B 使APPB APA（x Ax A2x） （Ax A2x A3x） （Ax A2x 3AxA2x）所以 （2）求|A| 解 由A3x3AxA2x 得A（3xAxA2x）0 因为x Ax A2x线性无关 故3xAxA2x0 即方程Ax0有非零解 所以R（A）
12、3 |A|0 22 求下列齐次线性方程组的基础解系 解对系数矩阵进行初等行变换 有 于是得 取（x3 x4）T（4 0）T 得（x1 x2）T（16 3）T 取（x3 x4）T（0 4）T 得（x1 x2）T（0 1）T 因此方程组的基础解系为 1（16 3 4 0）T 2（0 1 0 4）T 解 对系数矩阵进行初等行变换 有 取（x3 x4）T（19 0）T 得（x1 x2）T（2 14）T 取（x3 x4）T（0 19）T 得（x1 x2）T（1 7）T 1（2 14 19 0）T 2（1 7 0 19）T （3）nx1 （n1）x2 2xn1xn0. 解 原方程组即为xnnx1（n1）x
13、2 2xn1 取x11 x2x3 xn10 得xnn 取x21 x1x3x4 xn10 得xn（n1）n1 取xn11 x1x2 xn20 得xn2 1（1 0 0 0 n）T 2（0 1 0 0 n1）T n1（0 0 0 1 2）T 23 设, 求一个42矩阵B, 使AB0, 且R（B）2. 解 显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解 因为所以与方程组AB0同解方程组为 取（x3 x4）T（8 0）T 得（x1 x2）T（1 5）T 取（x3 x4）T（0 8）T 得（x1 x2）T（1 11）T 方程组AB0的基础解系为 1（1 5 8 0）T 2（1 11 0 8）T 因
14、此所求矩阵为 24 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为1（0 1 2 3）T 2（3 2 1 0）T 解 显然原方程组的通解为, 即 （k1 k2R） 消去k1 k2得此即所求的齐次线性方程组. 25 设四元齐次线性方程组 I II 求 （1）方程I与II的基础解系 （2） I与II的公共解 解 （1）由方程I得 取（x3 x4）T（1 0）T 得（x1 x2）T（0 0）T 取（x3 x4）T（0 1）T 得（x1 x2）T（1 1）T 因此方程I的基础解系为 1（0 0 1 0）T 2（1 1 0 1）T 由方程II得 取（x3 x4）T（1 0）T 得（x1 x2）T（0 1）T
15、因此方程II的基础解系为 1（0 1 1 0）T 2（1 1 0 1）T （2） I与II的公共解就是方程 III 的解 因为方程组III的系数矩阵所以与方程组III同解的方程组为 取x41 得（x1 x2 x3）T（1 1 2）T 方程组III的基础解系为 （1 1 2 1）T 因此I与II的公共解为xc（1 1 2 1）T cR 26 设n阶矩阵A满足A2A E为n阶单位矩阵, 证明R（A）R（AE）n 证明 因为A（AE）A2AAA0 所以R（A）R（AE）n 又R（AE）R（EA） 可知R（A）R（AE）R（A）R（EA）R（AEA）R（E）n由此R（A）R（AE）n 27 设A为n阶
16、矩阵（n2） A*为A的伴随阵 证明 证明 当R（A）n时 |A|0 故有 |AA*|A|E|A|0 |A*|0 所以R（A*）n 当R（A）n1时 |A|0 故有 AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解 因为R（A）n1 所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量 即基础解系的秩为1 因此R（A*）1 当R（A）n2时 A中每个元素的代数余子式都为0 故A*O 从而R（A*）0 28 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系 解 对增广矩阵进行初等行变换 有 与所给方程组同解的方程为 当x30时 得所给方程组的一个解（8 13 0 2）T 与对应的齐次方程组同解
17、的方程为 当x31时 得对应的齐次方程组的基础解系（1 1 1 0）T 当x3x40时 得所给方程组的一个解（1 2 0 0）T 分别取（x3 x4）T（1 0）T （0 1）T 得对应的齐次方程组的基础解系1（9 1 7 0）T 2（1 1 0 2）T 29 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3 已知1 2 3是它的三个解向量 且1（2 3 4 5）T 23（1 2 3 4）T求该方程组的通解 解 由于方程组中未知数的个数是4 系数矩阵的秩为3 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量 且由于1 2 3均为方程组的解 由非齐次线性方程组解的结构性质得21（23）（12）（13） （
18、3 4 5 6）T为其基础解系向量 故此方程组的通解 xk（3 4 5 6）T（2 3 4 5）T （kR） 30 设有向量组A a1（ 2 10）T a2（2 1 5）T a3（1 1 4）T 及b（1 1）T 问 为何值时 （1）向量b不能由向量组A线性表示 （2）向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一 （3）向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 并求一般表示式 解 （1）当4 0时 R（A）R（A b） 此时向量b不能由向量组A线性表示 （2）当4时 R（A）R（A b）3 此时向量组a1 a2 a3线性无关 而向量组a1 a2 a3 b线性相关 故向量b能由向量组A线性表示 且
19、表示式唯一 （3）当4 0时 R（A）R（A b）2 此时向量b能由向量组A线性表示 且表示式不唯一 当4 0时方程组（a3 a2 a1）xb的解为 cR 因此 b（2c1）a3（3c1）a2ca1 即 b ca1（3c1）a2（2c1）a3 cR 31 设a（a1 a2 a3）T b（b1 b2 b3）T c（c1 c2 c3）T 证明三直线 l1 a1xb1yc10 l2 a2xb2yc20 （ai2bi20 i1 2 3） l3 a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为 向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组 即有唯一解 上述方
20、程组可写为xaybc 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a b唯一线性表示 而c能由a b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a b线性无关 且向量组a b c线性相关 32 设矩阵A（a1 a2 a3 a4） 其中a2 a3 a4线性无关 a12a2 a3 向量ba1a2a3a4 求方程Axb的通解 解 由ba1a2a3a4知（1 1 1 1）T是方程Axb的一个解 由a12a2 a3得a12a2a30 知（1 2 1 0）T是Ax0的一个解 由a2 a3 a4线性无关知R（A）3 故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量 因此（1 2 1 0）T是方程Ax0的基础解
21、系 方程Axb的通解为xc（1 2 1 0）T（1 1 1 1）T cR 33 设*是非齐次线性方程组Axb的一个解, 1 2 nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明 （1）* 1 2 nr线性无关 （2）* *1 *2 *nr线性无关 证明 （1）反证法, 假设* 1 2 nr线性相关 因为1 2 nr线性无关 而* 1 2 nr线性相关 所以*可由1 2 nr线性表示 且表示式是唯一的 这说明*也是齐次线性方程组的解 矛盾 （2）显然向量组* *1 *2 *nr与向量组* 1 2 nr可以相互表示 故这两个向量组等价 而由（1）知向量组* 1 2 nr线性无关 所以向量组* *
22、1 *2 *nr也线性无关 34 设1 2 s是非齐次线性方程组Axb的s个解 k1 k2 ks为实数 满足k1k2 ks1. 证明xk11k22 kss也是它的解. 证明 因为1 2 s都是方程组Axb的解 所以 Aib （i1 2 s） 从而 A（k11k22 kss）k1A1k2A2 ksAs （k1k2 ks）bb 因此xk11k22 kss也是方程的解 35 设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r 1 2 nr1是它的nr1个线性无关的解 试证它的任一解可表示为xk11k22 knr1nr1 （其中k1k2 knr11）. 证明因为1 2 nr1均为Axb的解 所以121 231
23、 nr nr11均为Axb的解 用反证法证 1 2 nr线性无关 设它们线性相关 则存在不全为零的数1 2 nr 使得 11 22 nr nr0即 1（21） 2（31） nr（nr11）0亦即 （12 nr）11223 nrnr10由1 2 nr1线性无关知 （12 nr）12 nr0矛盾 因此1 2 nr线性无关 1 2 nr为Axb的一个基础解系 设x为Axb的任意解 则x1为Ax0的解 故x1可由1 2 nr线性表出 设 x1k21k32 knr1nr k2（21）k3（31） knr1（nr11） x1（1k2k3 knr1）k22k33 k nr1nr1 令k11k2k3 knr1
24、 则k1k2k3 knr11 于是 xk11k22 knr1nr1 36 设V1x（x1 x2 xn）T | x1 xnR满足x1x2 xn0V2x（x1 x2 xn）T | x1 xnR满足x1x2 xn1问V1 V2是不是向量空间？为什么？ 解 V1是向量空间 因为任取 （a1 a2 an）T V1 （b1 b2 bn）T V1 R有 a1a2 an0 b1b2 bn0 从而 （a1b1）（a2b2） （anbn） （a1a2 an）（b1b2 bn）0 a1a2 an（a1a2 an）0所以 （a1b1 a2b2 anbn）TV1 （a1 a2 an）T V1 V2不是向量空间 因为任取 （a1 a2 an）T V1 （b1 b2 bn）T V1有 a1a2 an1 b1b2 bn1 （a1a2 an）（b1b2 bn）2 所以 （a1b1 a2b2 anbn）TV1 37
