1、又设 M 与 F1 ， F2 的距离的和等于2a（a 0） 由椭圆的定义，椭圆就是集合P = M | | MF1 | + | MF2 |= 2a 1因为 | MF |= （x + c）2 + y2，| MF |= ，1 2所以+ = 2a 为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得= 2a - ，将这个方程两边平方，得 （x + c）2 + y2 = 4a2 - 4a整理得+ （x - c）2 + y2 ，a2 - cx = a ，上式两边再平方，得a4 - 2a2cx + c2 x2 = a2 x2 - 2a2cx + a2c2 + a2 y2 ，（a2 - c2 ）x2 + a2 y2
2、= a2 （a2 - c2 ） ，两边同除以a2 （a2 - c2 ） ，得x2 + y2 =a2 a2 - c2 1 由椭圆的定义可知， 2a 2c，即a c，所以a2 - c2 0 由图可知， | PF |=| PF |= a，| OF |=| OF|= c，| PO |=1 2 1 2令b =| PO |=a2 - c2，那么式就是 xa2y2b2 1（a b 0） 2椭圆的标准方程： x+ = 1（a b b2三、椭圆的几何性质标准方程x2 + y2 = 1（a b 0）a2 b2b2 a2图象性质范围x -a，ay -b，bx -b，by -a，a对称性对称轴 对称中心 顶点A1 （
3、-a，0） ， A2 （a，0）B1 （0，- b） ， B2 （0，b）A1 （0，- a） ， A2 （0，a）B1 （-b，0） ， B2 （b，0）轴长轴 A1 A2 的长为 短轴 B1B2 的长为 焦点F1 （-c，0） ， F2 （c，0）F1 （ 0，- c） ， F2 （0，c）焦距| F1F2 |= 离心率e = c ， e aa，b，c的关系c2 = 3精讲精练1.已知点 P 是直线2x - y + 3 = 0 上的一个动点，定点M （-1，2） ， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且| PM |=| MQ | ，则点 Q 的轨迹方程是（ ）A 2x + y +1 = 0
4、C 2x - y -1 = 0B 2x - y - 5 = 0D 2x - y + 5 = 02.已知一条直线 l 和它上方的一个点 F，点 F 到 l 的距离是 2 一条曲线也在 l 的上方，它上面每一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程3.过原点的直线与圆 x2 + y2 - 6x + 5 = 0 相交于 A，B 两点，求弦AB 的中点 M 的轨迹方程44.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a = 4 ， b = 1，焦点在 x 轴上；（2）a = 4 ， c = ，焦点在 y 轴上；（3） a + b = 10 ， c = 2 5.如图
5、， F1 ， F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，纵坐标等于短半轴长的离心率为 ，则椭圆的6.设 e 是椭圆x2 + y2 =的离心率，且e （ 1，1） ，则实数 k 的取4 k 2值范围是（ ）A （0，3）16（3B ， ）C （0，3） （16 ，+ ）D （0，2）5x2 y27.设 F1 ，F2 分别是椭圆 25 + 9= 1 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是 F1P 的中点，O 为坐标原点，| OM |= 3 ，则点 P 到椭圆左焦点的距离为（）A 4C 3B 6D 78.已知椭圆的方程是 a21（a255） ，它的两个焦点分别为F1 ，
6、F2 ，且| F1F2 |= 8 ，过点 F1 的直线 AB 交椭圆于 A，B 两点， 则 ABF2 的周长为（ ）A10 B 20 C 2 D 49.+ =已知点 P 是椭圆 x y 1 上的一点，M，N 分别是两圆：25 9（x + 4）2 + y2 = 1 和（x - 4）2 + y2 = 1 上的点，则| PM | + | PN | 的最小值、最大值分别为（ ）A9，12 B8，11 C8，12 D10，12610.如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点Q ， 当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨
7、迹是什么？11.点 M 与定点 F （2，0） 的距离和它到定直线 x = 8 的距离之比是1:2，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形712.如图，从椭圆 xb2 1（a b 0） 上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 F1 又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 ABOP，| F1 A |= + ， 求该椭圆的方程813.如图，已知椭圆 x+ = 1 ，直线 l：4x - 5 y + 40 = 0 椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？最小距离是多少？914.如图，椭圆 E： 0） 的右焦点 F （3， 0） ，过点F 的直线
8、交椭圆 E 于 A，B 两点，若 AB 的中点坐标为（1， -1） ， 求 E 的方程回顾与思考10【参考答案】三、对称轴：x 轴、y 轴；2a 2b2c对称中心：原点；（0，1） a2 - b21D 2 y = 1 x2 （x 0）3 x2 - 3x + y2 = 04（1）x2 + 2= 1；y2 + 22 2 2（3） x + = 1或 + x =36 16 36 165 56C 7A 8D 9C10.点 Q 的轨迹是以 O，A 为焦点，以 r 为长轴长的椭圆11.点 M 的轨迹方程是 x+ = 1 ，16 12轨迹是以（2，0）、（-2，0）为焦点，以 8 为长轴长的椭圆12.x + y =10 513.存在满足题意的点，最小距离是15 414114.x + y =18 911
