1、考研数学强化班高等数学讲义汤家凤第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题1求以下极限：（ 1） lim111；n1335(2n1)(2n1)（ 2） limnk 31；1nk 2 k 3n（3） lim nk 11 n ；k (k 1)2求以下极限：（ 1） lim111；222n4n14n24nn3求以下极限：（ 1） lim111；22222nn2nn21n（2） lim n n! ；nnn1（ 3） lim。ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题1求以下极限：（ 1） lim cosxcosxcosx(x0) ；( n1) n
2、 112n（ 2） limnsin；n222nnn2求以下极限：1（1） lim 1 sin x2 1 cos x ；x011（ 3） lim1tan xx3 ln(1 2 x)（4） lim cos1sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1求以下极限：x2；（ 1） lim1tan x1sin x ；（ 2） limetan xex；x 0x(1cosx)x 0x(1cosx)（ 3） lim12 cos xx1 ；（ 4） lim (11) ；x3 (3)x2tan2x 0x0x（ 5） lim (3 x)x3x2；x 0xln(1f (x) )f (x)（
3、 6）设 limsin xA ，求 lim。x2x 0a1x 0xx22求以下极限：limcos xe 23x0x sin x种类四：极限存在性问题：1设 x1 1, xn 11xn0 ，证明数列 xn 收敛，并求 lim xn 。nnn2设 f ( x) 在 0,) 上单一减少、非负、连续， anf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim an 存在。n种类五：夹逼定理求极限问题：1求 lim1 sin n x；0 1dxnx12 lim (a nbncn ) n (a,b,c非负 ) ；nx2n3 lim n 1xn(x0) 。n2种类六：含参数的极限问题：1设 li
4、m ( x 3 sin 3xax 2b) 0 ，求 a, b ；x 02设 limx21b)3，求 a, b ；axxx 1种类七：中值定理法求极限：1、 lim n2 (arctanarctan) ；nnn1112、 lim x2 (e2 x 1e2 x 1 ) 。x种类八：变积分限函数求极限：xx2xet costdt021、 limx 1。x 0 ( x tan x)(1)1xf ( xt)dt2、设 f ( x) 连续，且 f (1)1 ，则 lim 13。x 1x1二、连续与中断的判断ln(1x) , x0x1设 f ( x)0, x0，议论函数 f ( x) 在 x0 处的连续性。
5、1 x 1x,1 x0x112议论 f ( x)(2 x1)(2 x1) , x0 在 x0 处的连续性。1, x0三、连续性命题的证明1设 f ( x)C a,) 且 limf ( x) 存在，证明f ( x) 在 a,) 上有界。x2设 f ( x) 在 a,b 上连续，任取p0, q 0 ，证明：存在(a,b) ，使得pf (a)qf (b)( pq) f ( ) 。第二讲微分学第一部分一元函数微分学内容复习（略）要点题型解说（一）与导数定义有关的问题1设 ff (x0h)f ( x0h)0) 。(x0 ) 存在，求 limh(h 02f ( x)在 x1处连续，且limf ( x)2，
6、求 f (1) 。设x 1x213设 f ( x) 在 (,) 上有定义，对随意的x, y 有 f ( xy)f (x) f ( y) ，且 f (0)1 ，求f ( x) 。4设 f ( x) 二阶连续可导，且limf ( x)1， f(0) e，则 lim e f ( x) 2ex_ 。x 0xx0x5设 f ( x) 在 (,) 上有定义，且对随意的x 有 f (x1)2 f ( x) ，又当 x 0,1时，有f ( x)x(1x2 ) ，议论 f ( x) 在 x0处的可导性。（二）各种求导数的问题1设 y esinx1 x e x ，求 y ；11x1x2设 yarctanx ，求
7、y ；e13 yx(x1)( x2) (x100)，求 y ( 0), y(101)；xtln(1t)2y ；4设 yf ( x) 由t 3t 2确立，求 dydx25设 x yyx ，求 dy ；dx6设 exytan(xy)y ，求 dy；dx x 07设 yxtet确立，求 dy ；y( x) 由tan t 23sin yty 25dx8设 f ( x)sin x2aex , x 0在 x 0处可导，求 a, b；9 arctan x2b( x1)3 , x09求以下函数的导数：（ 1）设 y2 x cost 2 dt ，求 dy ；0xdx（ 2）设 ytf (t 2x2 )dt ，求
8、 dy ；x0dx10设 f ( x) 连续，( x)f (x)A ，求( x) ，并议论( x) 在 x 0处f ( xt)dt ，且 lim10x 0x的连续性。11设 f (x)g( x)cosx , x0x，此中 g(x) 二阶可导且 g (0) 1。a, x0（ 1）当 a 为什么值时，f ( x) 在 x0 处连续；（ 2）求 f ( x) ；（ 3）研究 f (x) 在 x0 处的连续性。解答：（ 1） limf ( x) limg (x)cosxlim g (x)g(0) g(0)cosx x 0x 0xx0xxlim g(x) g( 0)1cos xg (0) ，x 0xx于
9、是当 ag (0) 时， f ( x) 在 x0 处连续。（2）当 x 0 时， lim f ( x)x 0xg( x)cos xg (0) xlimx2x0即 f(0)1 1 g(0) ；2x g ( x)g( x)cosxf (0)g (0)limxx0xlim g ( x)g (0)sin x 1 1 g (0) ，x 02x2sin x g( x) cos x当 x0 时， f ( x)x2，于是1 1 g(0), x0f(x)2。x g ( x)sin xg( x)cos x , x0x2（ 3）由于 lim f (x)limx g (x)sin xg( x)cos xx2x0x 0
10、lim g ( x)sin xg( x)2cos x 1 1g (0)f (0) ，x 0xx2因此 f( x) 在 x 0 处连续。12 设 f ( x) 在 1,1 上 可 导 ， f ( x) 在 x0 处 二 阶 可 导 ， 且 f (0) 0, f ( 0)4 ， 求f ( x)f ln( 1x)limx3。x013设 f (x)limx2en( x1)axb，求 f (x) ，并议论 f ( x) 的连续性和可导性。1en( x 1)n（三）高阶导数问题1设 y ex sin x ，求 y (n) ；2设 y ln( x23x2)，求 y( n) 。3设 f ( x) x ln(1
11、x2 )，求 f (49) (0) 。第二部分 一元函数微分学的应用内容复习（略）附：中值定理部分的推行1设 f ( x) 在 x x0 的邻域内 n 阶连续可导，则有f ( x)f ( x0 ) f (x0 )( x x0 )f (n) ( x0 ) ( xx0 )no( x x0 )n ) 。n!2（导数零点定理） 设 f ( x)Ca,b ，在 (a, b) 内可导，且 f (a) f (b)0 ，则存在(a, b) ，使得 f( )0 。3（导数介值定理）设设f ( x)C a,b ， 在 (a, b) 内 可 导 ， 且 f( a)f (b) ， 不如 设f (a)f(b) ，则对随
12、意的 f(a), f (b) ，存在(a,b) ，使得 f ()。4设f ( x)Ca, b ，且 f(x) 0(0) ，则有f ( x)( ) f ( x0 ) f ( x0 )( xx0 ) ，等号成立当且仅当 xx0 。要点题型解说（一）中值定理等式的证明种类一：目标表达式中仅含不含端点字母，且导数之间相差一阶1设 f ( x) 在 0,1上连续，在(0,1) 内可导，且 f (0)1, f (1)0 ，证明：存在(0,1) ，使得2 f ()f ( )0。12设 f ( x) 在 0,1上可微，且f (1)3 3 ex1 f ( x) dx ，证明：存在(0,1) ，使得0f( )f
13、( )0。3设 f ( x) 在 0,1上连续，在(0,1) 内可导， f (0)0, f ( 1 )1, f (1)0 。证明：( 1 ,1) ，使得 f (2（ 1）存在)；2（ 2）对随意的 k(,) ，存在(0,) ，使得f ( )k f ( ) 1。种类二：目标表达式中含两此中值1设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f (x) 0 ，证明：存在 , (a, b) ，使得f()ebeae。f()ba2设 f ( x) 在 a,b 上连续，在 ( a, b) 内可导， f (a)f (b)1 ，证明：存在 ,( a, b) ，使得f () f ()e 。3设 f ( x)C0,1 ，在 (0,1)内可导，且f (0)0, f(1) 1，证明：对随意的正数a,b ，存在,(0,1) ，使得aba b 。f ( )f()4设 f ( x)C a, b ，在 ( a,b)内可导（ a 0），证明：存在1,2,3(a,b) ，使f ( 1 ) (a b)f ( 2 )(a 2ab b2 )f ( 3 )。2 23 32种类三：目标表达式中含有端点和中值1设 f ( x), g ( x)a, b ，在 ( a,b)内可导，且 g ( x)0，证明：存在(a, b) ，使得f (a)f ( )f()
