1、数学史朱家生版课后题目参考答案第一章1.数学的起源于世界古老文明产生的关系11数本（1）班 郭奇 2011041047“数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神
2、龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。当然，这个也只不过是个传说罢了。数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐
3、步发展到现在我们所用的数字。图形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。”他的算术来自于普通常识中的非负整数。而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。这种观点在布尔巴基学派的研究中得到发展，他们认为数学是研究结构的科学，一切数学都建立在代数结构、序结
4、构和拓扑结构这三种母结之上。与这种观点相对应，从古希腊的柏拉图开始，许多人认为数学是研究模式的学问。数学家怀特海在数学与善一书中说到：“数学的本质特征就是，在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学对于理解模式和分析模式之间的关系，是最强有力的技术。”1931年，歌德尔的不完全性定理的的证明，宣告了公理化逻辑演绎系统中存在的缺憾。人们此时又想到了数学是经验科学的观点。著名数学家冯诺依曼就认为，数学兼有演绎科学和经验科学两种特性。波利亚则认为：“数学有两个侧面，他是欧几里得式的严谨的科学，但他也是别的什么东西。”然而，人们对数学还有些其他的理解。有人认为“数学是一种文化体系”，“数学是一
5、种语言”数学活动是社会性的。他是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然，适应和改造自然，完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响。也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看做一门学科相比，我更喜欢把他看做是一门艺术”数学家在理性世界指导下所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的相似之处，这是真实的而并非臆造的。而我渐渐认为，数学是贯穿于我们生活中的必需品。我们的生活无处不用到数学，他不单单是艺术、是语言等。而是很多种事物的结合体，更多的是在生活中帮助我们的一种工具。对于中国数学的起源来说，最早可以追溯到上古时期。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一
6、到十、百、千、万，出现的最大的数字是三万。可见，中国数学的起源也是相当之早的。在古代，算筹是一种计算工具，这种计算方法叫筹算。筹算产生的年代已不可考，但可以肯定得是，在春秋时期筹算已经是很普遍的计算方法了。直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所代替。中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。在几何学方面，早在夏禹治水时已使用了规、距、准、绳等作图和测量工具，并早已发现了勾股定理。然而，战国时期的百家争鸣，也促进了数学的发展，尤其是对于正名和一些命题的争论直接与数学有关。一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成
7、于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以九章算术为代表的数学著作的出现。九章算术是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。九章算术有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的九章算术，排除了战国时期在百家
8、争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。九章算术在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。16世纪末以后，西方初等数学陆续传入中国，使中国数学研究出现一个中西融合贯通的局面；鸦片战争以后，近代数学开始传入中国，中国数学便转入一个以学习西方数学为主的时期；到19世纪末20世纪初，近代数学研究才真正开始。1840年鸦片战争以后，西方近代数学开始传入中国。首先是英人在上海设立
9、墨海书馆，介绍西方数学。第二次鸦片战争后，曾国藩、李鸿章等官僚集团开展“洋务运动”，也主张介绍和学习西方数学，组织翻译了一批近代数学著作。由于输入的近代数学需要一个消化吸收的过程，加上清末统治者十分腐败，在太平天国运动的冲击下，在帝国主义列强的掠夺下，焦头烂额，无暇顾及数学研究。直到1919年五四运动以后，中国近代数学的研究才真正开始。看了数学的起源和发展，我不得不说，数学的确是最古老的一门学科了。在现实生活中，我们也常常和数学打着交道。从小父母就教我们认一、二、三、四。上学期间也一直不间断的学习着数学。起初我只觉得学习数学就是为了考试，为了做题。直到上了大学，我才发现，原来数学并不简简单单是
10、做题考试那么简单，我们要学习的并不是如何利用数学解题，而是要理解数学的含义，把他和生活联系在一起，并且运用到生活中去。 2、进行调查研究，探讨古埃及和巴比伦人哪些古老的数学知识在我们的生活（包括学习、工作等）中还具有现实意义。 答：在公元前5000年到公元前4000年间，古巴比伦人就已开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年有12月，每月有30天。所谓“星期”也就是指星的日期，我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代所创立的。从古巴比伦和古埃及的数学，可以看出，它们的内容都与那个地区的社会和生活的需要密切相关。古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣，因此，相对而言，他们的以60进
11、位记数法为基础的算术与代数较为领先。古埃及人偏重于测量与建筑施工，因而他们的几何成果比较突出3.古埃及和古巴比伦人是如何利用归纳思想发现和得到数学结论的，并进一步探讨这种古老的思想方法对于我们今天的数学研究的现实意义。11数本（1）班 郭奇 2011041047数学知识伴随着人类文明的产生而起源，并率先在几个文明古国开始了漫长的原始积累过程，人类的祖先为我们留下了珍贵的、可供研究的原始资料，最著名的古埃及象形文字纸草书和巴比伦楔形文字泥板书，较为集中地反映了古埃及数学和巴比的水平，它们被视为人类早期数学知识积累的代表。古埃及纸草书，是用尼罗河流域沼泽地水生植物的茎皮压制、粘连成纸草卷，用天然涂
12、料液书写而成的。有两份纸草书直接书写着数学内容。一份叫做“莫斯科纸草”，大约出自公元前1850年左右，它包括25个数学问题。这份纸草书于1893年被俄国人戈兰尼采夫买得，也称之为“戈兰尼采夫纸草”，现藏莫斯科美术博物馆。另一份叫做“莱因特纸草”，大约成书于公元前1650年左右，开头写有：“获知一切奥秘的指南”的字样，接着是作者阿默士从更早的文献中抄下来的85个数学问题。这份纸草书于1858年被格兰人莱因特购得，后为博物馆收藏。这两份草书是我们研究古埃及数学的重要资料，其内容丰富，记述了古埃及的记数法、整数四则运算、单位分数的独特用法、试位法、求几何图形的面积、体积问题，以及数学在生产、生活初中
13、中的应用问题。古巴比伦泥板书，是用截面呈三角形的利器作笔，在将干未干的胶泥板上刻写而成的，由于字体为楔形笔划，故称之为楔形文字泥板，从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。它们分别属于公元前2100年苏美尔文化末期，公元前1790年至公元前1600年间汉莫拉比时代和公元前600年至公元300年间新巴比伦帝国及随后的波斯、塞流西得时代。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据信这些数学表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆，并且被一一编号，成为我们研究巴比伦数学最可靠的资料。巴比伦数学从整体上讲比古埃及数学高明，古巴比伦人采用6
14、0进位制记数法，并计算出倒数表、平方表、立方表、平方根表和立方根表，其中2的平方根近似为1.414213.。巴比伦的代数有相当水平，他们用语言文字叙述方程问题及其解法，常用特殊的“长”、“宽”、“面积”等字眼表示未知量，除求解二次、三次方程的问题之外，也有一些数论性质的问题。巴比伦的几何似乎没有古埃及的几何那么重要，只是收罗了一些计算简单图形的面积、体积的法则，也许他们只是在解决实际问题时才搞点几何。此外，巴比伦数学中有很明显的商业、农业和天文的应用背景。我们可以说，在人类早期数学知识积累过程中，由于计数物件的需要，产生了自然数，随着记数法的产生和发展，逐渐形成了运算，导致算术的产生；由于计量
15、实物的需要，产生了简单的几何，随着农业、建筑业、手工业及天文观测的发展，逐渐积累了有关这些的基本性质和相互关系的经验知识，于是几何学萌芽了；由于商业计算、工程计算、天文的需要，在算术计算技巧的基础上，逐渐积累起代数学基本知识。但是，在这个阶段上，直到公元前6世纪，无论如何也找不到我们今天所谓的“理性的数学”，而只是一种初级的“经验的数学”。人类从记录自己的“劳动成果”开始逐渐产生了数感，同时自然地感到要有必要用某种方式来表示这些“劳动成果”，这便产生了数。到公元6世纪，数学已经成为人类认识世界、改造世界的重要工具。随着社会和生产的发展，大量数学知识的不断累积，对其进行系统地整理与理论概括就成了
16、一种必然趋势。直到公元16世纪，这些系统地整理和理论概括形成了初等数学，也就是我们常说的常量数学。16世纪，由于实践的需要和各门科学的发展，是自然科学转向对运动和变化的研究、对各种变化过程的研究、对各种变化着的量之间依赖关系的研究。这些决定了数学向新的阶段，即向变量数学的过渡。从16世纪到19世纪初是数学最活跃的时期，产生了很多新的数学概念、数学思想和数学结果，奠定了现代数学发展的基础。在20世纪中期，由于计算机的诞生和飞速发展，使得数学的应用越来越广泛，越来越深入。人类在生产实践活动中，逐渐对最简单的几何概念，诸如直线、圆、角、长度、面积等有了初步的认识。最初的一些几何概念和知识要追溯到史前
17、时期，他们是在实践活动的进程中产生的。随着几何知识的累计，人们能够从一些具体的几何关系归纳出带有一般性的几何定律或公式，但是在很长的一个历史时期，几何都没有形成一个理论体系。公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊，几何学发生了质的变化，演绎数学产生了。在西方世界，数学和艺术是构成他们世界观的主要部分。画家们将几何学融入到绘画中，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。在17世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种转折实质上是由社会生产力的急速发展所导致的。数学根本性的转折之一是解析几何的诞生，他是文艺复兴以来科学与生产发展的一个必然结果。笛卡儿把物质运动的概念作为自己科学的哲学基础，从而
18、把运动带进了数学。数与形的发展史，形成了数学发展的整个过程。数学的发展历史，与人类的活动分不开。正因为人们生产活动中需要记录，数学开始形成。也因为随着生产力水平的发展，简单的数学已经买足不了，继而不断发展。也因为这样，我们现在的数学学习，决不能与生活脱节，也只要贴近生活，懂得把数学的思维方法灵活运用在生活中，我们学数学才有意义。学数学与把数学应用到实际问题中，这两者是相互相承的，有促进作用。 4、试比较古埃及人和巴比伦人解方程的方法，探讨他们各自对后来的数学发展的启迪作用。 答：古埃及纸草书中出现的“计算若干”的问题，实际上相当于方程问题，他们解决这类问题的方法是试位法。古埃及人还用它来解二次
19、甚至更高次的方程。在公元前2000年前后，古巴比伦数学已出现了用文字叙述的代数问题。古巴比伦人可能已经知道某些类型的一元二次方程的求根公式，由于他们没有负根的概念，二次方程的负根不予考虑。他们还讨论了某些三次方程和双二次方程的解法。最令人感兴趣的是哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板，这是一张勾股数数表（即x+y=z的整数解）表，并且极有可能用到了下列参数式：x=2uv,y=u-v,z=u+v而这正是在一千多年以后古希腊数学中一个极为重要的成就。在古巴比伦或古埃及的数学知识还仅仅表现为对于一些实际问题观察的结果以及某些经验的积累，数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们察觉。 在古埃及和古巴比伦时代，数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法，其所给出的仅仅是“如何去做”，而基本没有涉及到“为什么这样做”，这标志着他们的数学还远没有进入理性思维的阶段。从这个意义上来说，数学作为一门科学还远远没有建立起来。
