1、六年级数学思维训练不定方程讲解2014年六年级数学思维训练：不定方程一、兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？2有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声问：波斯猫至少叫了多少声？4庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共70
2、0多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头请问：庙里有多少个和尚？5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工？6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书已知老师和学生共14人，每个老师能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5
3、元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？8小明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是封9有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡他付款100元，找回8元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？二、拓展篇11甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：
4、张明共买了多少支铅笔？12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人如果这两个集团军都是由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？14甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？
5、15将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？17我国古代数学家张丘建在算经一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该
6、分别买多少只？18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元小李总共花了97元，买了90支笔请问：三种笔分别买了多少盒？19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？20阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.
7、4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了请问：阿奇共买了多少包奶糖？21小悦、冬冬去超市买水果小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？22红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完求红笔的单价三、超越篇23求不定方程35x+64y=1625的所有自然数解24一个水果批发市场运进苹果、梨和桃子各若干筐，共
8、1355斤其中苹果每筐60斤，每斤定价1.5元；梨每筐55斤，每斤定价1.5元；桃子每筐45斤，每斤定价1.8元批发市场是以定价的70%购人这些水果的，如果全部售完，将获得638.1元的利润，请问：批发市场运进三种水果各多少筐？25雨轩图书馆内有两人桌、三人桌和四人桌共五十多张，其中两人桌的数量为四人桌数量的2倍这天除了某张桌子坐满外，其它两人桌每桌都只坐1人，三人桌每桌都只坐2人，四人桌每桌都只坐3人，且恰好平均每11人占用17个座位请问：图书馆两人桌、三人桌、四人桌分别有多少张？26采购员用一张万元支票去购物，买了若干个单价590元的A种商品和若干个单价670元的B种商品，其中B种商品多于
9、A种商品，最后找回了几张100元钞票和不到10张10元钞票如果把A、B两种商品的数量调换，找回的100元和10元的钞票张数正好也调换，那么这两种商品分别买了多少个？27有甲、乙、丙、丁四种货物，若购买甲1件、乙5件、丙1件、丁3件共需195元；若购买甲2件、乙l件、丙4件、丁2件共需183元；若购买甲2件、乙6件、丙6件、丁5件共需375元现在购买甲、乙、丙、丁各一件共需多少元？28国庆节，公司发给唐师傅一张1000元的礼券，但只允许购买A、B、C、D、E五种商品，并且必须正好把礼券用完已知这五种商品每盒的价格和重量如下表商品ABCDE单价（元）70110190290310重量（千克）1.52
10、1103如果唐师傅最多只能带走20千克商品，且一定要购买D商品，共有多少种不同的买法？29现有一架天平和很多个13克和17克的砝码，用这些砝码，不能称出的最大整数克重量是多少？（砝码只能放在天平的一边）30现有1.7升和4升的两个空桶和一个大桶里的100升汽油，用这两个空桶要倒出l升汽油，至少需要倒多少次？2014年六年级数学思维训练：不定方程参考答案与试题解析一、兴趣篇1有两种不同规格的油桶若干个，大油桶能装8千克油，小油桶能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶问：大、小油桶各几个？【分析】设大桶有x个，小桶有y个，根据题意列出方程：8x+5y=44，根据不定方程的求解方法，解出未知数的值
11、即可【解答】解：设大桶有x个，小桶有y个，根据题意得：8x+5y=44，变形为：y=，y为自然数，则448x5，即y4.875，经试算，当y=4，x=3时符合题意答：大油桶有3个，小油桶有4个2有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个，问需要大小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？【分析】设大盒x个，小盒y个，则12x+7y=150，由此求出这个方程的整数解即可解答问题【解答】解：设大盒x个，小盒y个，根据题意可得方程：12x+7y=150，方程可以变形为：x=，因为x、y都是整数，所以1507y必须是12的倍数，所以，当x=9，y=6，或y=18，x=2是这个方程的整数解
12、，答：大盒9个，小盒6个或者大盒2个，小盒18个才能恰好把这些球装完3小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候早晨见面，小花狗叫两声，波斯猫叫一声；晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声细心的小娟对它们叫声统计了15天，它们并不是，每天早晚都见面，在这15天内它们共叫61声问：波斯猫至少叫了多少声？【分析】设一共有x个早上，y个晚上，则由题意可得：（1+2）x+（2+3）y=61，然后整理，进行分析、进而得出结论【解答】解：设一共有x个早上，y个晚上，则： （1+2）x+（2+3）y=61 3x+5y=615y的个位数只能是0、5，所以3x的个位数只能是1、6根据题意可得
13、：y=5，x=12，那么波斯猫叫：35+112=27（声）； y=8，x=7，那么波斯猫叫：38+17=31（声）；因为2731，所以波斯猫至少叫27声；答：波斯猫至少叫27声4庙里有若干个大和尚和若干个小和尚共700多人，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个和尚每天吃4个馒头请问：庙里有多少个和尚？【分析】7个大和尚每天共吃41个馒头，平均每个大和尚吃个馒头；比4个多4=个；19个小和尚每天共吃60个馒头，平均每个小和尚吃个馒头；比4个少4=个；大和尚的人数=小和尚的人数，由此求出大和尚的人数与小和尚的人数比，再根据共有700多这一范围，求出总人数【解答
14、】解：4174，=4，=（个）；46019，=4，=（个）；大和尚的人数=小和尚的人数，那么：大和尚人数：小和尚的人数=：=（167）：（1319）=112：247；如果按照大和尚人数是112，小和尚人数是247，那么总人数就是112+247=359（个）；359700，所以总人数不是359人，应是：3592=718（个）；答：庙里有718个和尚5某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有的职工各带一个孩子参加男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树那么其中有多少名男职工？【分析】此题用算术法很难解答，可以设出未知数；设有男职工x人，女
15、职工y人，则孩子有人，根据共种了216棵树列方程解答即可【解答】解：设有男职工x人，女职工y人，则孩子有人，根据题意可得方程：13x+10y+6=216，方程可以整理为：15x+12y=216，即5x+4y=72，所以5x=4（y+18），由上式可以看出5x是4的倍数，5与4的最大公约数是1，则x是4的倍数当x=4时，y=13，不是整数，应舍去；当x=8时，y=8，不是整数，应舍去；当x=12时，y=3，=5，即男职工12人，女职工3人，小孩5人当x12时，y无解可见，男职工有12人答：男职工有12人6新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的100本教科书已知老师和学生共14人，每个老师能
16、搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完，问：搬书的老师、男生、女生各有多少人？【分析】设老师x人，男生y人，表示出女生人数：（14xy）人，根据题意列出不定方程，再根据x、y应为自然数，且x+y14，据此解答即可【解答】解：设老师x人，男生y人，则女生（14xy）人，根据题意得：12x+8y+5（14xy）=100 化简得：7x+3y=30本题中x、y应为自然数，且x+y14；经试算：x=3，y=3时符合题意，1433=8，即女生有8人答：搬书的老师有3人、男生有3人、女生有8人7新发行的一套珍贵的纪念邮票共三种不同的面值：20分、40分和50分，其中面值20分的邮票售价5
17、元，面值40分的邮票售价8元，面值50分的邮票售价9元小明花了156元买回了总面值为8.3元的邮票，那么三种面值的邮票分别买了多少张？【分析】设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意列出方程，根据x、y、z的实际意义，求出x、y、z的值即可【解答】解：设20分、40分和50分得邮票分别买了x、y、z张，根据题意得：、消去y得：xz=10；得x=z10，又x为自然数，则z100，即z10；、消去x得：8y+14z=206；得：z=，又z为自然数，则2068y14，即y3；经试算：当x=3，y=3，z=13时符合题意答：20分、40分和50分得邮票分别买了3张、3张、13张8小
18、明在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了一元二角二分钱，那么他的三种信的总和最少是9封【分析】设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，价格分别为8分，10分，20分，所以能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为84=32，89=72；另价格最高的越多，寄信就越少，所以寄4封8分信件时，20分最多4封，所以是：4封8分、4封20分、1封10分，共9封【解答】解：设平信x封，航空信y封，挂号信z封，一元二角二分钱=122分，根据题意可得方程：8x+10y+20z=122，因为能够保证总数尾数为2分的只能是8分，因为84=32，89=72；另价
19、格最高的越多，寄信就越少，所以当x=4时，10y+20z=90，所以z最大为4，则y=1，4+4+1=9（封），答：三种信的总和最少是9封故答案为：99有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张请你判断：这些纸币的总面值能否恰好是100元？【分析】设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，假设总面值能恰好是100元，列出方程根据a、b、c、d的实际意义，看是否能解出a、b、c、d的值，据此判断即可【解答】解：设其中1分、1角、1元和10元各有a、b、c、d张，且a、b、c、d均为整数假设总面值能恰好是100元=10000分，则必须满足：a+10b+100c+1000d=10
20、000（1） 且a+b+c+d=60 （2）（1）（2）得：9b+99c+999d=9940；即（b+11c+111d）=，显然等式左边为整数，而右边是小数而非整数，等式不成立可见前面假设不成立，所以这些纸币的总面值是不能够恰好是100元10快餐店有三种汉堡，鱼肉汉堡每个7元，鸡肉汉堡每个9元，牛肉汉堡每个14元，小明去快餐店买汉堡他付款100元，找回8元请问：小明买了多少个鸡肉汉堡？【分析】先求出花了的钱数，再设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉堡z个，再根据单价数量=总价，分别求出买三种汉堡的钱数，再根据三种汉堡的总钱数，列出不定方程解答【解答】解：设买鱼肉汉堡x个，鸡肉汉堡y个，牛肉汉
21、堡z个7x+9y+14z=10087x+9y+14z=92所以9y=92（7x+14z）所以y=92（7x+14z）9因为y为整数，所以92（7x+14z）必须为9的倍数，又92（7x+14z）=90（7x+14z）2则7x+14z2 的值必须是9的倍数，且小于92所以可以设7x+14z2=9k则7x+14z=9k+2 （0k10）9k+2这些数可以表示如下：2；11；20；29；38；47；56；65；74；83；92又7x+14z=7（2x+z）即7x+14z是7的倍数，在上面的数中只有56符合条件所以7x+14z=56所以y=（9256）9=369=4（个）答：小明买了4个鸡肉汉堡二、拓
22、展篇11甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完，请问：张明共买了多少支铅笔？【分析】根据题干，设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，则根据等量关系甲级铅笔价格数量+乙级铅笔价格数量=50角（5元），据此可得方程：7x+3y=50，求出x、y的正整数解，再相加即可【解答】解：5元=50角，设买甲级铅笔x支，乙级铅笔y只，根据题意可得方程：7x+3y=50当x=1时，y没有整数解当x=2时，y=12，2+12=14（支）当x=3时，y没有整数解；当x=4时，y没有整数解；当x=5时，y=5，5+5=10（支）当x=6时，y没有整数解；当x=7时，y没有整数解；答：张明共
23、买14支或10支铅笔12采购员去超市买鸡蛋每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋（盒子不能拆开）采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？【分析】设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则23x+16y=500，再根据x和y必须都是整数，解出不定方程即可【解答】解：设买大盒的鸡蛋x盒，小盒的鸡蛋y盒，则23x+16y=500所以y=即x，y必须是偶数，所以x=12，y=14；12+14=26（盒）答：他一共要买26盒13在第二次世界大战中，苏联军队每个步兵师有9000人，每个航空兵师有8000人在一场战役中，苏军司令部从两个集团军抽部分师参与战斗，一共有27.1万人如果这两个集团军都是
24、由步兵师和航空兵师组成，那么苏军参与战斗的有多少个步兵师，多少个航空兵师？【分析】设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，再根据“从两个集团军抽调部分师参与战斗，一共有27.1万人”列出方程解答【解答】解：设军参与战斗的有x个步兵师，y个航空兵师，9000x+8000y=2710009x+8y=271因为8y是偶数，所以9x必须是奇数所以x必须是奇数，而x=所以x=23，此时y=8；答：苏军参与战斗的有23个步兵师，9个航空兵师14甲、乙两个小队的同学去植树甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是
25、四百多棵问：甲、乙两小队共有多少人？【分析】根据乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，得出：10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，再根据甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵，得出13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，和13相乘末尾是6，2213+12=298，3213+12=428，4213+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，从而可以解决问题【解答】解：因为10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，所以3的倍数必须是6，
26、也就是只有2，12，22，32，42，和13相乘末尾是6，2213+12=2983213+12=4284213+12=558因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，总人数有：（42812）13+1+（4288）10+1=33+42+1=76（人）答：甲乙两小队一共有76人15将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解【解答】解：如下表所示，36厘米1 根2 根3根4
27、根5 根6根7根8根9根24厘米14 根12根11根9 根8根6根5根3根2根剩余cm8208208208208所以长度为36厘米的铁丝最少截1根，最多截9根，长度为24厘米的铁丝最少截1根，最多截14根，剩余部分最少是8厘米；答：剩余部分的管子最少是8厘米16某次数学比赛，用两种不同的方式判分一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理可设答对a题，未答b题，答错c题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由推出a的取值范
28、围，并确定处a的值，从而推出b、c的值，解决问题【解答】解：设答对a题，未答b题，答错c题，可得：5a+2b=71，40+3ac=71，由知，a是奇数，且a14；由知a12，所以a=13，由此求得b=3，c=8，故共有：13+3+8=24（题）答：这次比赛共考了24道17我国古代数学家张丘建在算经一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建
29、立三元一次不定方程组，求出其解就可以了【解答】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意，得，整理得：7x+4y=100x=；因为x0，y0，且都是自然数，所以0，所以y25，1004y是7的倍数，且三种鸡都有买，所以1004y=7，14，21，所以共有3种情况：公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只18小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元小李总共花了97元，买了90支笔请问：三种笔分别买了多少盒？【分析】分别设出钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒，再根据总共花了97元，买了90支笔，列出方程解答【解答】解：设钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒所以：5X+6Y+7Z=97所以：4X+6Y+10Z=90因为XYZ取整数则x=3，y=18，z=0或x=12，y=3，z=2时成立若三种笔都要买的话，就只能是x=12，y=3，z=2；答：钢笔买了12盒，圆珠笔3盒，钢笔2盒19在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数试问：如果比赛规定恰好投中100分才
