1、4-7平面曲杆的弯曲内力,4-5载荷集度、剪力和弯矩的关系,4-6用叠加法作弯矩图,4-1平面弯曲的概念和应力,4-2梁的支座及载荷的简化,4-3平面弯曲时梁横截面上的内力,4-4剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,一、什么叫平面弯曲？,弯曲变形:杆的轴线的曲率发生变化,相邻两横截面之间产生垂直轴线的相对转动,平面弯曲:变形前后杆的轴线位于同一平面内梁:以弯曲变形为主的杆件,载荷均作用在纵向对称面内（包括约束 及支反力）,则：变形前后梁的轴线必位于同一平面（对称平面）内，也称为对称弯曲,若：截面有纵向对称轴,梁有纵向对称面,当梁的截面，载荷不满足以上充分条件，又要其产生平面弯曲，则必须附加必要的
2、条件才能产生平面弯曲，这将在后面讨论,本章仅讨论弯曲内力问题。,4-2 梁的支座及载荷的简化,3固定端支座,1固定铰支座,2可动铰支座,一支座的基本形式,1 集中力,F(N),Me(Nm),2 集中力偶,3 分布力,弯曲变形的主要研究对象为直梁，此外工程中还有折梁（刚架），曲梁和组合梁。,（1）简支梁,（2）外伸梁,（3）悬臂梁,4、3 平面弯曲时梁横截面上的内力,一 求内力的方法截面法,静定梁在外力作用下，求任意横截面上的内力。,首先求支反力（必须校核），保证其大小、方向都是正确的。,然后按截面法（切、取、代、平）求内力,FAy-F-FQn-n=0,Mn-n+F(x-a)-FAyx=0,求n
3、-n截面内力设支反力已求出,依截面法,二.内力符号规定,根据符号规定,可以得到下述两个规律:1.横截面上的剪力,在数值上等于作用在此截面任一侧梁上所有外力在y轴上投影的代数和;2.横截面上的弯矩,在数值上等于作用在此横截面任一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和.,已知:Me、F、q、L,解:求支反力,在D截面切开，取右段梁求内力,求:D截面内力,结果为正说明方向设对；若为负说明方向设错。为了不发生符号的混乱，仍采取正向假定内力的方法。,1.求支反力,求内力,FAyx1-M1=0M1=FAyx1,FQ1=FAy,FAy-FQ1=0,FByx2-M2=0M2=FByx2,2.截面法求内力,列写FQ
4、M方程的简便方法:一在正确的支反力前提下二依符号规定采取正向假定内力的方法三根据外力对内力的效应直接列写FQM方程1FQ(x)=?左起列方程:向上的力产生正的FQ 向下的力产生负的FQ 右起反之!2M(x)=?不论从哪边起,向上的力产生正的M 向下的力产生负的M,解：(1)求支反力,（2）列FQ,M方程,（3）作FQ，M图；内力方程描点。,例43 列内力方程,作FQM图,解:求支反力,大小方向如图,列FQ M方程FQ1=-Me/(a+b)FQ2=-Me/(a+b)M1=-Mex1/(a+b)M2=Mex2/(a+b)作FQM图,校核支反力！,例44列图示内力方程,作FQM图,解:求支反力,大
5、小方向如图,列FQM方程FQ(x)=qL/2-qxM(x)=qLx/2-qx2/2,作FQM图,取图示坐标系，由微段的平衡，略去高阶微量,有,dFQ(x)/dx=q(x)dM(x)/dx=FQ(x)d2M(x)/dx2=q(x),经积分得,q(x)向上为正,利用q(x)FQ(x)M(x)之间的微积分关系可以帮助绘制校核FQM图。利用归纳的qFMe作用下FQM图的特征找出绘制FQM图的简便方法。,梁微段的平衡方程式,注意：导数关系与坐标选取有关，若,FQ以向上为正 dFQ/dx=-qdM/dx=-FQ d2M/dx2=q,FQM曲线的斜率，M曲线的凹凸性,一 在正确的支反力前提下。二 依FQM符
6、号规定，采取正向假定内力 的方法。三 有集中力F作用处，FQ图有突变，突变值=集中力数值；有集中力偶Me作用处，M图有突变，突变值=集中力偶数值四 根据qFQM间的微分关系定图形。,FQ=a1+b1x,M为x的二次函数,FQ=C1为水平线,M=a+bx为斜直线,五FQ=0处，M取得极值。六根据qFQM之间的积分关系定FQM图数值,七内力图封闭,两截面间内力的变化量=上图对应的面积,例4.5 作FQM图,用简便方法绘制FQ M图,解:求支反力(大小方向如图),校核支反力！,例4.6作FQM图,例4.10作FQ,M图,解:求支反力(大小方向如图),工程中某些结构的轴线是由几段直线组成的折线，这种结
7、构的每两组成部分用刚节点联接。刚节点-刚性接头处，相连杆件间的夹角在受力时不变化，刚节点不仅能传力，而且还能传递力矩。刚架-杆系在联接处用刚节点联接起来的结构。平面刚架-刚架的各杆系位于同一平面内。,平面刚架的内力的计算和内力图的作法与直梁是一样的，不同点在于对刚架的各段杆要分别选取坐标（可用旋转坐标）。刚架的内力不仅有FQM，可能还有FN。,解:1求支反力（大小方向如图),例4.11 列出平面刚架的内力方程,并作内力图,3作FQMN图（M图画在杆件受压侧即和直梁的规定一样）,-,对平面刚架刚节点处能够传递力矩，当该处无外力偶作用时，截面两侧的弯矩值应相等，通常用圆弧虚线表示其值相等。,叠加原
8、理：由几个载荷共同作用下所引起的某一物理量（内力，应力，应变或形等），等于每一个载荷（主动）单独作用下所引起的该物理量的叠加（代数和）应用条件：所求物理量（内力，应力，应变或形等）必须是载荷 的线性齐次式当P（P)小变形，即线弹性结构下，内力，应力，应变，均与载荷 为线性关系，即满足叠原理应用叠加法可简化计算要求对简单载荷 作用下的物理量较熟,先分别画出每一载荷单独作用时梁的弯矩图，然后将同一截面相应的各纵坐标代数叠加，即得到梁在所有载荷共同作用时的弯矩图,方法：,bb,=,+,平面曲杆轴线是一平面曲线小曲率杆为曲率很小时，对小曲率的平面曲杆，其内力的计算仍采用直梁的方法截面法：任意截面切开，
9、设内力FN,FQ,M 根据平衡方程即可列出内力方程内力符号规定：FN,FQ 同前 M使轴线曲率增加为正,FN()=Fsin,FQ()=-Fcos,M()=-FRsin,对于曲杆，因轴线本身就为曲线，内力又在曲线上曲线分布，画内力图的意义不大这里略,M曲线的凸凹性仍由q的正负定,q是 的一次函数斜直线,FQ是 的 二次函数二抛物线,FQ曲线的凸凹性可由d2FQ/dx2=dq(x)/dx定q=0处FQ有极值ql/6,1当分布载荷为 线性函数,M是 的 三次函数三抛物线,2、梁上受无冲击的移动载荷作用此时梁内的内力是载荷位置的函数因梁 的支反力要随载荷 的位置而变,讨论：两端支座的支反力即为段的剪力
10、。讨论支反力的极值即可确定最大剪力力作用点总为极值弯矩列出 作用点的弯矩值再找其极值即为最大弯矩,3、带有中间铰的组合梁具有中间铰的组合梁由两部分组成：,主梁（母梁）可独立存在,辅梁（子梁）不能独立存在,中间铰的特点：只传力,不传递力偶,从中间铰处拆开，设出相互作用力先根据子梁上的平衡求出反力，再以大小相等方向相反的力加到母梁上，两 个梁就成为独立的梁，如同前面的问题,1 母梁上的载荷不能传到子梁上，,而子梁上的载荷必须传到母梁,2。若中间铰左上右侧作用有集中力，放在哪边来求解都可,(a)图F作用于中间铰上,(b)图将F置于子梁上,(C)图将F置于母梁上,3、但若有集中力偶作用，必须标明是在中间铰的左侧还是右侧，不可能作用在铰上！,例作内力图,
