1、中考数学反比例函数经典压轴题附答案解析中考数学反比例函数 -经典压轴题附答案解析一、反比例函数1如图，矩形 OABC的顶点 A、 C分别在 x、y轴的正半轴上，点 D为 BC边上的点，反比2）将矩形 OABC的进行折叠，使点 O于点 D重合，折痕分别与 x轴、 y轴正半轴交于点F，G，求折痕 FG所在直线的函数关系式【答案】 （1）解：反比例函数 y= （k0）在第一象限内的图象经过点 E（3， ），反比例函数的表达式为 y= 又点 D（m，2）在反比例函数 y= 的图象上， 2m=2 ，解得： m=1（2）解：设 OG=x，则 CG=OCOG=2x，点 D（ 1， 2）， CD=1在 RtC
2、DG中，DCG=90，CG=2x，CD=1，DG=OG=x， CD2+CG2=DG2 ，即 1+（ 2 x） 2=x2 ，解得： x= ，点 G（0， ）过点 F作 FH CB于点 H，如图所示由折叠的特性可知： GDF=GOF=90 ，OG=DG，OF=DF CGD+ CDG=90 ，CDG+ HDF=90 ， CGD=HDF， DCG= FHD=90 ， GCDDHF， =2 ，DF=2GD= ，点 F 的坐标为（ ，0）设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b，折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y= x+【解析】 【分析】（ 1）由点 E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征
3、即可求出 k 值，再由点 B在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（ 2）设 OG=x，利用勾股定理即可得出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标再过点 F 作 FHCB 于点 H，由此可得出 GCDDHF，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长度，从而得出点 F的坐标，结合点 G、 F的坐标利用待定系数法即可求出结论2如图，一次函数 y=kx+b 的图象交反比例函数 y= （ x 0）的图象于 A（4，-8）、 B （m， -2）两点，交 x 轴于点 C（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当 x 为何值时，一次函数的值大于反比
4、例函数的值？ （3）以 O、 A、 B、 P为顶点作平行四边形，请直接写出点 P 的坐标【答案】 （1）解： 反比例函数 y= （x0）的图象于 A（4， -8）， k=4 （ -8） =-32双曲线 y= 过点 B（ m， -2），m=16 由直线 y=kx+b 过点 A ， B 得： ， 解得，反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当 0x16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解： O（ 0， 0）， A（4，-8）、B（16，-2）， 分三种情况： 若 OBAP，OA BP，O（0，0）， A（4，-8），由平移规律，点 B（ 16， -2）向右平移 4 个单
5、位，向下平移 8 个单位得到 P 点坐标为 （20，-10）； 若 OP AB，OA BP，A（4，-8），B（16，-2），由平移规律，点 O（ 0， 0）向右平移 12 个单位，向上平移 6 个单位得到 P 点坐标为 （12，6）； 若 OB AP，OPAB，B（ 16， -2）， A（4，-8），由平移规律，点 O（0， 0）向左平移 12 个单位，向下平移 6 个单位得到 P 点坐标为（ - 12，-6）；以 O，A， B， P为顶点作平行四边形，第四个顶点 P的坐标为（ 12，6）或（ -12，-6）或（20，-10）【解析】 【分析】（ 1）将点 A（4，-8）， B（ m ， -
6、2）代入反比例函数 y= （ x 0）中， 可求 k、a；再将点 A（ 4，-8）， B（m， -2）代入 y=kx+b 中，列方程组求 k、b 即可； （2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时 x 的范围；（ 3）根据平行四边形的性质，即可直接写出3如图，已知 A（3，m），B（ 2， 3）是直线 AB 和某反比例函数的图象的两个交点（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当 x 满足什么范围时，直线 AB 在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点 C，使得 OBC 的面积等于 OAB 的面积？如果不存在，说明理由；如果
7、存在，求出满足条件的所有点 C 的坐标【答案】 （1）解：设反比例函数解析式为 y= ，把 B（ 2， 3）代入，可得 k= 2（ 3 ）=6，反比例函数解析式为 y= ；把 A（ 3， m）代入 y= ，可得 3m=6，即 m=2 ，A（3，2），设直线 AB 的解析式为 y=ax+b，把 A（ 3， 2）， B（ 2， 3）代入，可得解得 ，直线 AB 的解析式为 y=x1（2）解：由题可得，当 x满足： x 2或0x0）图象上一点 P， PA x 轴于点 A（ a， 0），点 B 坐标为（0，b）（b0），动点 M 是y 轴正半轴上 B点上方的点，动点 N在射线 AP上，过点 B 作 A
8、B 的垂线，交射线 AP 于点 D，交直线 MN 于点 Q，连结 AQ，取 AQ 的中点为 C（1）如图 2，连结 BP，求 PAB的面积；（2）当点 Q 在线段 BD上时，若四边形 BQNC是菱形，面积为 ，求此时 P点的坐标；（3）当点 Q在射线 BD上时，且 a=3，b=1，若以点 B，C，N，Q 为顶点的四边形是平行四 边形，求这个平行四边形的周长2）解：如图 1， 四边形 BQNC是菱形，BQ=BC=NQ， BQC= NQC。ABBQ，C是 AQ的中点， BC=CQ= AQ。BQC=60，BAQ=30 。在ABQ和ANQ 中， ，ABQANQ（SAS）。 BAQ= NAQ=30 。B
9、AO=30 。 S 四边形 BQNC= ， BQ=2。AB= BQ= 。 OA= AB=3。又 P点在反比例函数 的图象上， P点坐标为（ 3，2）。（3）解： OB=1， OA=3， AB= 。 AOBDBA， 。BD=3 。1如图，当点 Q 在线段 BD 上，2ABBD，C为 AQ 的中点， BC=CQ= AQ。平行四边形 BNQC是菱形， BN=CQ， BN CQ。 。 BQ=3BD=9 。C 四边形 BNQC=2AQ= 。【解析】 【分析】（ 1）连接 OP，构建同底等高的两个三角形 PAB与 PAO，利用面积相 等求出 PAB的面积。（2）利用条件先求出 BQC=60，BAQ=30
10、，再证明 ABQANQ，利用全等三角形的 对应角相等，求出 BAO=30 ，再由四边形 BQNC的面积为 ，求出 OA 的长，从而求 出点 P 的坐标。（3）点 Q在射线 BD上，需要分两种情况讨论，（ 1）当点 Q在线段 BD上，（ 2）当点 Q 在线段 BD 的延长线上，分别利用平行四边形的性质求解。5在平面直角坐标系中，我们定义点 P（ a，b）的“变换点 ”为 Q且规定：当 ab时， Q为（ b， a）；当 ab 时， Q 为（ a， b）1）点（ 2， 1）的变换点坐标为 （3）已知直线 l 与坐标轴交于（ 6， 0），（ 0， 3）两点将直线 l 上所有点的变换点组成 一个新的图形
11、记作 M 判断抛物线 y=x2+c 与图形 M 的交点个数，以及相应的 c 的取值范 围，请直接写出结论答案】 （1）（1， 2）2）解：当 a 2 时，则 A（ a， 2）的变换点坐标为（ 2， a），当 a 2 时，则 A（a， 2）的变换点坐标为（ a，2），综上可知 a 的值为3）解：设直线 l 的解析式为 y=kx+b （k0 ），将点（ 6， 0）、（ 0， 3）代入 y=kx+b得：，解得直线 l 的解析式为 y= x+3当 x=y 时， x= x+3，解得 x=2点 C的坐标为（ 2，2），点 C的变换点的坐标为 C（ 2，2 ），点（ 6，0）的变换点的坐标为（ 0， 6），
12、点（ 0，3）的变换点的坐标为（ 0，3）， 当 x2时，所有变换点组成的图形是以 C（ 2 ， 2）为端点，过（ 0， 6 ）的一条射线；即： y=2x 6，其中 x2，当 x2 时，所有变换点组成的图形是以 C（2， 2）为端点，过（ 0， 3）的一条射线，即 y= x 3，其中， x 时，抛物线 y=x2+c 与图形 M 没有交点；2当方程 有两个相等实数根时，即：当 c= 时，抛物线 y=x2+c 与图形 M 有一个交 点；3当方程 无实数根，且方程 有两个不相等的实数根时，即：当 5 c 时，抛物线 y=x2+c 与图形 M 有两个交点；4当方程 有两个相等实数根或 y=x2+c 恰
13、好经过经过点 C时，即：当 c= 5 或 c= 6 时，抛物线 y=x2+c 与图形 M 有三个交点；5当方程 方程 均有两个不相等的实数根时，且两根均小于 2，即：当 6 c 5时，抛物线 y=x2+c 与图形 M 有四个交点；6当c 6时，抛物线 y=x2+c与图形 M 有两个交点【解析】 【解答】解：（ 1）2 1，点（ 2， 1）的变换点坐标为（ 1， 2），故答案为：（ 1， 2）；【分析】（ 1）由变换点的定义可求得答案；（ 2）由变换点的定义可求得 A 的变换点，代入函数解析式可求得 a 的值；（ 3）先求得直线 y=x 与直线 l 的交点坐标，然后分为当 x2 和 x 2 两种
14、情况，求得 M 的关系式，然后在画出 M 的大致图象，然后将抛物线 y=x2+c 与 M 的函数关系式组成方程组，然后依据一元二次方程根的判别式进行判断即可6已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B、 C 在第一象限，且四边形 OABC是平行四边形， OC=2 ，sin AOC= ，反比例函数 y= 的图象经过点 C 以及边 AB的中点 D1）求这个反比例函数的解析式；2）四边形 OABC 的面积答案】 （1）解：过 C作 CMx 轴于 M ，则 CMO=90 ，MC=4， 由勾股定理得： OM= C 的坐标为（ 2，4），代入 y= 得： k=8，所以这
15、个反比例函数的解析式是 y=把 y=2 代入 y= 得： x=4 ，即 ON=4，OA=41=3，四边形 OABC的面积为 OA CM=3 4=12【解析】 【分析】（ 1）过 C作CMx轴于 M，则CMO=90 ，解直角三角形求出 CM，根 据勾股定理求出 OM，求出 C 的坐标，即可求出答案；（ 2）根据 D 为中点求出 DN 的值， 代入反比例函数解析式求出 ON，求出 OA，根据平行四边形的面积公式求出即可7如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，直线 y= x+ 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 A，过点 C（1，0）作 x 轴的垂线 l，将直线 l 绕点 C按逆时针方向旋转，旋转
16、角为 （0（2）若直线 l 经过点 A， 求线段 AC的长； 直接写出旋转角 的度数；（3）若直线 l 在旋转过程中与 y 轴交于 D 点，当 ABD、ACD、BCD 均为等腰三角形 时，直接写出符合条件的旋转角 的度数 .【答案】 （ 1）解：当直线 l 与直线 y x 平行时，设直线 l 的解析式为 y xb，直线 l 经过点 C（ 1， 0），0 b，b ，直线 l 的解析式为 y x-（2）解： 对于直线 y x ，令 x0 得 y ，令 y0得 x-1， A（0， ）， B（- 1，0），C（1，0），AC ， ACE OAC，tan OACOAC30 ， ACE 30 ， 30 3
17、）解： 如图 2 中，当 15时，CE OD， ODC15 ，OAC30 ， ACDADC15 ，ADACAB， ADB，ADC是等腰三角形，OD 垂直平分 BC，DBDC， DBC是等腰三角形； 当 60时，易知 DACDCA30， DADCDB，ABBDDCAC， ABD、ACD、BCD均为等腰三角形，综上所述：当 15或 60或 105或 150时， ABD、 ACD、BCD均为等腰三角形 . 【解析】 【分析】（ 1）设直线 l 的解析式为 y x b，把点 C（1， 0）代入求出 b 即可；（ 2） 求出点 A的坐标，利用两点间距离公式即可求出 AC的长； 如图 1中，由CE OA，
18、推出 ACE OAC，由 tanOAC ，推出 OAC 30，即可解决问题；（ 3）根据等腰三角形的判定和性质，分情况作出图形，进行求解即可 .8如图，第一象限内半径为 2 的C与 y 轴相切于点 A，作直径 AD，过点 D作C的切线 y kx+3.（2）设C与 PA交于点 M，与 AB交于点 N，则不论动点 P处于直线 l 上（除点 B以外） 的什么位置时，都有 AMN ABP.请你对于点 P 处于图中位置时的两三角形相似给予证 明；（3）是否存在使 AMN 的面积等于 的 k 值？若存在，请求出符合的 k 值；若不存在，请说明理由 .【答案】 （1）解： y轴和直线 l都是C的切线， OA
19、AD，BDAD；又OAOB， AOBOADADB90，四边形 OADB 是矩形； C 的半径为 2， AD OB 4；点 P 在直线 l 上， 点 P 的坐标为（ 4， p）；又 点 P 也在直线 AP上， p 4k+32）解：连接 DN.AD 是C 的直径， AND90， ADN 90 DAN，ABD90 DAN， ADN ABD，又 ADN AMN ， ABDAMN， MANBAP，AMNABP3）解：存 在.理 由：把 x0 代入 y kx+3 得：y3，即 OABD 3，AB AMNABP，当点 P 在 B 点上方时， AP2 AD2+PD2 AD2+（ PB BD） 2 42+（ 4
20、k+3 3 ） 2 16 （k2+1），或 AP2 AD2+PD2AD2+（BDPB）2 42+（34k3）216（k2+1），当点 P在 B 点下方时，AP2AD2+PD242+（34k3）216（k2+1），SABP PB?AD （ 4k+3） 4 2（4k+3）化简得： k2+1（ 4k+3），解得： k 2，综合以上所得，当 k2 或 k 2 时， AMN 的面积等于【解析】 【分析】（ 1）由切线的性质知 AOBOAD ADB90，所以可以判定四边 形 OADB 是矩形；根据O 的半径是 2 求得直径 AD 4，从而求得点 P 的坐标，将其代入 直线方程 y kx3 即可知 p 变化
21、的函数关系式；（ 2）连接 DN.直径所对的圆周角是直 角，AND90，根据图示易证 AND ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知 ADN AMN，再由等量代换可知 ABDAMN；最后利用相似三角形的判定定理 AA证明 AMNABP；（ 3）存在 .把 x0 代入 y kx 3 得 y3，即 OA BD 3，然后由 勾股定理求得 AB 5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比 .分两种情况进行讨论： 当点 P在 B点上方时，由相似三角形的面积比得到 k2-4k-2 0，解关于 k 的一元二次方程； 当点 P 在 B 点下方时，由相似三角形的面积比得到 k21- （4k3），解关于
22、k 的一元二次方程 .9已知：如图，在平面直角坐标系中， ABC是直角三角形，ACB90，点 A ， C 的坐标分别为 A（ 3， 0）， C（1， 0）， BC AC（1）在 x 轴上找一点 D ，连接 DB ，使得ADB与ABC相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（2）在（1）的条件下，如 P ， Q分别是 AB和AD上的动点，连接 PQ ，设 APDQ m ，问是否存在这样的 m ，使得APQ与 ADB相似？如存在，请求出 m 的值；如不存 在，请说明理由【答案】 （1）解：如图 1，过点 B作 BDAB ，交 x轴于点 D ，AA ，ACBABD90， ABC ADB ， ABC
23、ADB ， 且ACBBCD90， ABC BDC ，ODAD AO ，点 D 的坐标为：2）解：如图 2，当 APC ABD90时，APCABD90 ，BADPAQ， APQ ABD ，m ，如图 3，当 AQP ABD90时，AQPABD90，PAQBAD ， APQ ADB ，m ；综上所述：当 m 或 时， APQ与ADB 相似【解析】 【分析】（ 1）如图 1，过点 B 作 BD AB ， 交 x 轴于点 D ， 可证ABC ADB ， 可得 ABC ADB ， 可证ABCBDC ， 可得 ，可求 CD的长，即可求点 D坐标；（ 2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解10已知 ：
24、如图 ，在 四边形 中， ， ， ， 垂直平分 . 点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；同时，点 从点 出发，沿 方向匀速运动，速度为 ；当一个点停止运动，另一个点 也停止运动 .过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，分别交 ， 于点， .连接 ， . 设运动时间为 ，解答下列问题：（2）设四边形 的面积为 ，求 与 的函数关系式 .（3）连接 ， ，在运动过程中，是否存在某一时刻 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 .【答案】 （1）解：在 中， ， ， ， 垂直平分线段 ， ， ， BPE=BCA=90 又 B=B当 为 4 秒时，点 在 的平分线上（2）解：如图，连接 ， . （ 3）解：存在 .如图，连接 .，整理得： ，解得 或 10（舍 ）【解析】 【分析】（ 1）根据勾股定理求 AC，根据 证 ，求出 CD、OD 的值，根据 BPE BAC 得到比例式，用含有 t 的代数式表示出 PE、 BE，当点 E 在 BAC 的平分线上时，因为 EP AB， EC AC，可得 PE=EC，由此构建方程即可解决问题（2）根据 构建函数关系式即可（ 3）证明 EOC= QOG，可得 ，推出 ，由此构建
