1、最新人教版八年级数学第十五章分式导学案例第十五章 分 式15.1.1 从分数到分式教学目标1了解分式的概念，能用分式表示实际问题中的数量关系2能确定分式有意义的条件教学重、难点分式的概念教学过程设计一、创设问题，激发兴趣章引言:一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间，与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，江水的流速为多少？问题1顺流航行的速度、逆流航行的速度与轮船在静水中的速度、水流速度之间有什么关系？顺流航行的速度=轮船在静水中的速度+水流速度； 逆流航行的速度=轮船在静水中的速度-水流速度问题2这个问题的等量关系是什么？顺流航行90 k
2、m所用时间=逆流航行60 km所用时间问题3应怎样设未知数？如何根据等量关系列出方程？ 解：设江水的流速为v km/h.依题意得：追问式子与分数有什么相同点和不同点？它们与你学过的整式有什么不同？问题4填空：（1）长方形的面积为10 cm2，长为7 cm，宽应为 cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为 cm.问题4填空：（2）把体积为200 cm3的水倒入底面积为33 cm2的圆柱形容器中，水面高度为 cm；把体积为V 的水倒入底面积为S 的圆柱形容器中，水面高度为 . 追问1上面问题中得到的式子，哪些不是我们学过的整式？ 追问2式子，与以前学过的整式不同，这些代数式有什么共同的特征？二、知识
3、应用，巩固提高分式的定义：一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式（fraction）.分式中，A 叫做分子，B 叫做分母.问题5 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？为什么？例1下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？三、应用提高、拓展创新课本128页练习1、2、3题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）你能举例说明什么是分式吗？（3）如何确定分式有意义的条件？ 五、布置作业：教科书习题15.1第2、3题.15.1.2 分式的基本性质（第一课时）教学目标1了解分式的基本性质，体会类比的思想方法
4、2掌握分式的约分，了解最简分式的概念教学重、难点分式的基本性质和分式的约分教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1下列分数是否相等？追问这些分数相等的依据是什么？问题2你能叙述分数的基本性质吗？分数的基本性质：一个分数的分子、分母乘（或除以）同一个不为0的数，分数的值不变问题3你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？问题4类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变追问1 如何用式子表示分式的基本性质？二、知识应用，巩固提高追问2应用分式的基本性质时需要注意什么？（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （
5、2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；（3）所乘（或除以）的整式应该不等于零. 例2填空：问题5 观察上例中（1）中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式例3 约分:追问1由上例你能归纳出在分式中，找分子和分母的公因式的方法是什么吗？ 追问2如果分式的分子或分母是多项式，那么该如何思考呢？ 三、应用提高、拓展创新教科书132页 练习1四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）运用分式
6、的基本性质时应注意什么？ （3）分式约分的关键是什么？如何找公因式？ （4）探究分式的基本性质和分式的约分的过程，你认为体现了哪些数学思想方法？ 五、布置作业：教科书习题15.1第4、6题.15.1.2 分式的基本性质（第二课时）教学目标1了解最简公分母的概念，会确定最简公分母. 2通过类比分数的通分来探索分式的通分，能进行分式的通分，体会数式通性和类比的思想.教学重、难点准确确定分式的最简公分母教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1通分：追问1分数通分的依据是什么？ 追问2如何确定异分母分数的最小公分母？问题2填空：像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同
7、分母的分式，叫做分式的通分.追问1你认为分式通分的关键是什么？分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.追问2上面问题中的两个分式的公分母是什么？为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母. 追问3两个分式的最简公分母是如何确定的？ 最简公分母的确定方法：取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的乘积分母是多项式时，最简公分母的确定方法是：先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母 二、知识应用，巩固提高例通分：三、应用提高、拓展创新教科书132页 练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）分式通分的关键是什
8、么？（3）分式通分时，确定最简公分母的方法是什么？五、布置作业：教科书习题15.1第7题15.2.1 分式的乘除（第一课时）教学目标1理解分式的乘除法法则，体会类比的思想. 2会根据分式的乘除法法则进行简单的运算，并理解其算理教学重、难点分式的乘除法法则的运用教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的时，水面的高度为多少？（1）这个长方体容器的高怎么表示？（2）容器内水面的高与容器内的水所占容积间有何关系？容器内水面的高与容器高的比和容器内的水所占容积的比相等.问题2大拖拉机m 天耕地a hm2，小拖拉机n天耕地b
9、 hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？（1）本题中出现的“工作效率”的含义是什么？（2）大拖拉机和小拖拉机的工作效率怎样表示？观察上述两个问题中所列出的式子中，其中涉及到分式的有哪些运算？你能用学过的运算法则求出结果吗？问题3 计算：在计算的过程中，你运用了分数的什么法则？你能叙述这个法则吗？如果将分数换成分式，那么你能类比分数的乘除法法则，说出分式的乘除法法则吗？怎样用字母来表示分式的乘除法法则呢？二、知识应用，巩固提高分式的乘除法法则如何用文字语言来描述？乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积为积的分母.除法法则： 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位
10、置后，与被除式相乘.例1计算：三、应用提高、拓展创新教科书138页 练习2四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么区别和联系？五、布置作业：教材习题15.2第1题；15.2.1分式的乘除（第二课时）教学目标1.理解分式乘方的运算法则，能根据法则进行乘方运算，体会数式通性.2.能根据混合运算法则进行分式乘除、乘方混合运算. 教学重、难点分式的乘方及分式乘除、乘方混合运算教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1计算：练习1计算: 思考你能结合有理数乘方的概念和分式乘法的法则写出结果吗？猜想：n 为正整数时?你能写出推导过程吗？试试看你能用文字语言叙述
11、得到的结论吗？分式的乘方法则：一般地，当n 是正整数时，这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方二、知识应用，巩固提高例2计算：例3计算：分式的乘除、乘方混合运算与分数的乘除、乘方混合运算有什么联系和区别吗？练习2计算：三、应用提高、拓展创新教科书139页练习1，2题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）运用分式乘方法则计算的步骤是什么？它与整式的乘方运算有什么区别和联系？ （3）分式的乘方与乘除混合运算的运算顺序是什么？五、布置作业：教科书习题15.2第3题15.2.2分式的加减（第一课时）教学目标1理解分式的加减法法则，体会类比思想 2会运用法则进行分式的加减运算，体会化归思想
12、教学重、难点分式的加减法法则教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？（1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？（2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？（3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？问题22009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？（1）什么是增长率？（2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？ （3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少
13、？分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？ 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减二、知识应用，巩固提高例计算： 三、应用提高、拓展创新课本141页 练习1，2题四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么引出分式加减法法则的？（3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第4、5题15.2.2分式的加减（第二课时）教学目标1理解分式混合运算的顺序2会正确进行分式的混合运算3体会类比方法在研究分式混合运算过
14、程中的重要价值教学重、难点分式的混合运算教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题数的混合运算的顺序是什么？你能将它们推广，得出分式的混合运算顺序吗？分式的混合运算顺序：“从高到低、从左到右、括号从小到大”例1 计算：这道题的运算顺序是怎样的？通过对例1的解答，同学们有何收获？对于不带括号的分式混合运算：（1）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；（2）计算结果要化为最简分式二、知识应用，巩固提高例2 计算：通过对例2的解答，同学们有何收获？对于带括号的分式混合运算：（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再进行计算；（2）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（3）计算结果要化为最简分式三、应用提高、拓
15、展创新练习1计算：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）分式混合运算的顺序是什么？我们是怎么得到它的？（3）在进行分式混合运算时要注意哪些问题？五、布置作业：教科书习题15.2第6题15.2.3 整数指数幂教学目标1了解负整数指数幂的意义2了解整数指数幂的性质并能运用它进行计算3会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些小于1 的正数教学重、难点幂的性质（指数为全体整数），并会用于计算，以及用科学记数法表示一些小于1的正数教学过程设计一、创设问题，激发兴趣问题1 你们还记得正整数指数幂的意义吗？正整数指数幂有哪些运算性质呢？将正整数指数幂的运算性质中指数的取值范围由“正整数”扩大
16、到“整数”，这些性质还适用吗？问题2am 中指数m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am 表示什么？（1）根据分式的约分，当 a0 时，如何计算？（2）如果把正整数指数幂的运算性质（a0，m，n 是正整数，m n）中的条件m n 去掉，即假设这个性质对于像情形也能使用， 如何计算？数学中规定：当n 是正整数时， 这就是说，是an 的倒数问题3引入负整数指数和0指数后，（m，n 是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？问题4 类似地，你可以用负整数指数幂或0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数范围内是否还适用？（1） （m，n 是整数）； （
17、2） （m，n 是整数）；（3） （n 是整数）；（4）（m，n 是整数）；（5）（n 是整数）二、知识应用，巩固提高例1计算：三、应用提高、拓展创新问题5能否将整数指数幂的5条性质进行适当合并？这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：（1） （m，n 是整数）； （2） （m，n 是整数）；（3） （n 是整数）；探索：归纳：如何用科学记数法表示0.003 5和0.000 098 2呢？规律：对于一个小于1的正小数，从小数点前的第一个0算起至小数点后第一个非0数字前有几个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数就是负几例2 用科学记数法表示下列各数：（1）0.3；（2）-0.000 78；（3
18、）0.000 020 09.例3 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm =10-9 m把1 nm3 的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上1 mm3 的空间可以放多少个1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）整数指数幂的运算性质与正整数指数幂的运算性质有什么区别和联系？五、布置作业：教科书习题15.2第7、9题15.3 分式方程（第一课时）教学目标1了解分式方程的概念2会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想3了解解分式方程根需要进行检验的原因教学重、难点利用去分母的方法解分式方程教学过程设
19、计一、创设问题，激发兴趣问题1为了解决引言中的问题，我们得到了方程仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？追问1方程与上面的方程有什么共同特征？分母中含有未知数分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程追问2你能再写出几个分式方程吗？注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中问题2 你能试着解分式方程吗？ 问题3 这些解法有什么共同特点？总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？总结：（1）
20、分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子各分母的最简公分母追问你得到的解是分式方程的解吗？ 二、知识应用，巩固提高问题4解分式方程： 追问1你得到的解是分式方程的解吗？该如何验证呢？是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解追问2上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程的解是分式方程的解，而整式方程的解却不是分式方程的解？原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0 检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代
21、入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0显然，第2种方法比较简便！问题5你能概括出解分式方程的基本思 路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？基本思路将分式方程化为整式方程一般步骤： （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验三、应用提高、拓展创新例解下列方程：四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？五、布置作业：教科书习题15.3第1（1）（4）题15.3 分式方程（第二课时）教学目标1会解较复杂的分式方程和较
22、简单的含有字母系数的分式方程2能够列分式方程解决简单的实际问题3通过学习分式方程的解法，体会转化的数学思想教学重、难点分式方程的解法教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1 解方程解分式方程的步骤： （1）去分母，将分式方程转化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验用框图的方式总结为： 二、知识应用，巩固提高例2 解关于x 的方程 例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？三、应用提高、拓展创新某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组工作效率高25，因此甲组加工2 000个零件
23、所用的时间比乙组加工1 800个零件所用的时间少半小时，问甲、乙两组每小时各加工多少个零件？四、归纳小结（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？解方程的过程中要注意的问题有哪些？（3）列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？五、布置作业：教科书习题15.3第1（5）（6）（7）（8）题15.3 分式方程（第三课时）教学目标列分式方程解决实际问题教学重、难点列分式方程解实际问题教学过程设计一、创设问题，激发兴趣例1某进货员发现一种应季衬衫，预计能畅销， 他用8 000元购进一批衬衫，很快销售一空再进货时， 他发现这种衬衫的
24、单价比上一次贵了4 元/件，他用 17 600元购进2 倍于第一次进货量的这种衬衫问第一 次购进多少件衬衫？ 分析：二、知识应用，巩固提高例2某次列车平均提速v km/h用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度为多少？思考：（1）这个问题中的已知量有哪些？未知量是什么？（2）你想怎样解决这个问题？关键是什么？表达问题时，用字母不仅可以表示未知数（量），也可以表示已知数（量）. 上面例题中，出现了用一些字母表示已知数据的形式，这在分析问题寻找规律时经常出现例2中列出的方程是以x 为未知数的分式方程，其中v，s是已知常数，根据它们所表示的实际意义可知，它们是正数三、应用提高、拓展创新练习1商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元求第一次购进多少件T恤衫练习2八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度四、归纳小结（1）借助分式方程解决实际问题时，应把握哪些主要问题？（2）本节课的分式方程的应用方面应注意些什么？举例说明五、布置作业：教科书习题15.3第4、5、7题
