1、微分几何练习题库及参考答案已修改分解微分几何复习题与参考答案、填空题2 3*1.极限 lim(3t 1)i -t j k =13i -8j k .2 2.设f(t)=(sint)i t j , g(t) =(t 1)i e j，求 lim0( f (t) g(t)_0_ .3. 已知 2?(t)dt二1,2,3, 4?(t)dt二2,1,2 , 3=2,1,1, b=l,-1,0，则4 6 “孑咒 r(t)dt+b J2 a r(t)dt= 3,-9,5.4.已知,(t)= a ( a为常向量)，则r(t)二t： c.5.已知卜, ( a为常向量)，则(t)二t2a - c .6.最 贴近”空
2、间曲线的直线和平面分别是该曲线的 切线 和 密切平面 .7.曲率恒等于零的曲线是 _ 直线 .&挠率恒等于零的曲线是 _ 平面曲线 .9.切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线10.曲线r二(t)在t = 2处有 =3*，则曲线在t = 2处的曲率k = _311.若在点(Uo,Vo)处ru “V式0,则(Uo,Vo)为曲面的_ 正常 点.4 d12.已知 f (t) = (2 t) j (In t)k， g(t)二(sint)i - (cost) j ， t 0，贝U (f g)dt = 2 - 6cos4 .0 dt 13.曲线：(t) 2t,t3,e在任意点的切向量为23,
3、小.14.曲线 7(t)二 facosht,asinht,at?在t =0 点的切向量为0,a,a?.15.1 y 一一 e1曲线 7(t) - acost,asint,bt?在t =0点的切向量为：0,a,b?.16.设曲线C :x wly retzt2，当t =1时的切线方程为 仃.设曲线x = d cost, y = si nt,z=et，当t = 0时的切线方程为x-1 = y=z-1.18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 F=M=0_ .19.u 曲线(v曲线)的正交轨线的微分方程是 _Edu+Fdv= 0 ( Fdu+Gdv= 0) ._.20.在欧拉公式 人=k! cos
4、2 k2sin2中，二是 的夹角.21.曲面的三个基本形式，；山、高斯曲率、平均曲率匚之间的关系是 二-2HK，0 .dr j22.已知 r(u,v) =5 +v,u v,uv，其中 u =t2,v = sint，则一 =2t +cost2 t cs ,2 vt 価s t .dt 23. 已知7acoscos、 acos sin 二 asin*，其中即-t，二-12，贝Udr( 8) ia sin cosv-2at coss inv, -as in sin v 2at coscost, acos 打.dt24.设r =r(u,v)为曲面的参数表示，如果2 2=0，则称参数曲面是正则的；如果r
5、:G r(G)是一一对应的 ，则称曲面是简单曲面.25. 如果u-曲线族和v-曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网.26. 平面7(u,v) =u,v,0 ?的第一基本形式为du2 dv2，面积微元为dudv .27.悬链面 r(u,v) - ：coshucosv,coshusinv,u第一基本量是 E =cosh2u, F = 0, G = cosh2u .30.双曲抛物面r(u, v) = ia(u - v), b(u -v), 2uv?的第一基本形式是2222 2 2 2222(a b 4v )du 2(a - b 4uv)dudv (a b 4u )dv .31. 正螺面
6、r(u,v) =ucosv,usinv,bv的平均曲率为 _0 .32. 方向(d) =du :dv是渐近方向的充要条件是 kn(d) =0或Ldu2 2Mdudv Ndv2 =0 .33.方向(d)二du :dv和(二8u : &共轭的充要条件是II (dr*,品=0或 Ldu u M (du Sz dvu) Ndv W = 0 .kEL 汗M34是主曲率的充要条件是扎f_m ZG-N “ .36.根据罗德里格斯定理，如果方向(d) = (du :dv)是主方向，则d： =knd，其中kn是沿方向(d)的法曲率.37.旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面.38.测地曲率的几何意义是曲面 S上
7、的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平 面二上的正投影曲线(C*)的曲率.39.k,kg,kn 之间的关系是 k2=%2，kn2.40.如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 _0 41.正交网时测地线的方程为-Evds2Ejducoseds =7Tdv_si nBds-=cos3= SinnG 2G . E42.直线曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是、单项选择题1.已知 %)二 et,t,e-，则 r (0)为(A ).A. d,0,1?； B.-1,0,1? ； C. 9,1,1 ； D.1,0,-1.2 .已知 r (tH r(t)，为常数，贝
8、U r(t)为(C ).A. ta ； B.1扎 a ； c. a ； d.e.其中a为常向量.3.曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是( D).A .切线与固定方向成固定角； B .副法线与固定方向成固定角；C.主法线与固定方向垂直； D .副法线与固定方向垂直.4.曲面在每一点处的主方向(A )A .至少有两个；B .只有一个；C .只有两个；D .可能没有.5.球面上的大圆不可能是球面上的( D )A .测地线； B .曲率线； C .法截线； D .渐近线.6.已知?(x, y) y,xy1，求 dr(1,2)为(D ).A.?dx,dy,dx 2dy； B. 、dx dy,dx-
9、dy,O；C. ?dx-dy,dx+dy,0 ? ； D. dx,dy,2dx dy?.7.圆柱螺线r 7cost,sint,t?的切线与z轴(C ).A.平行； B. 垂直； C. 有固定夹角一； D. 有固定夹角一.4 38. 设平面曲线C；=7(s) , s为自然参数，是曲线的基本向量.叙述错误的是(C ).A.为单位向量； B. ? - f ； C. ? = -k ； D. ? = -k：亠八.9.直线的曲率为(B ).A. -1 ； B. 0 ； C. 1 ； D. 2.10.关于平面曲线的曲率C: r =(s)不正确的是(D ).A. k(s) =|?(s)| ； B. k(s)=
10、|舟(s)|，呼为睦(s)的旋转角；C. k(s) = “ ； D. k(s)祁(s)|.11. 对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的(D ).D.12.下列论述不正确的是（D ）.A.：叮均为单位向量；B. T； c.四_弓；d.扎13.对于空间曲线C，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B）.A.充分不必要条件； B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件； D.充要条件.t 兀14. x=a（t-s in t）, y = a（1 - cost）, z = 4asi n 在点 t 的切线与 z 轴关系为（D ）.2 2A.垂直； B. 平行； C. 成.的角； D.成的角.3 4x2
11、 y2 z215.椭球面 厂1的参数表示为（c ）.a b cA.fx, y, cos cosrcos sin r,s in 1；B.tx, y,zf = iacos cosbcossin v,sin :；C.lx, y, z = （a cos cos 日,bcos sin 日,csi n ；D.x yZ = acos cos,bs in coshes in 2 .16.曲面 T（u,v） 2u-v,u2 v2,u3-v3?在点 M（3,5,7）的切平面方程为（B ）.A. 21x 3y-5z 20=0 ； B. 18x 3y - 4z - 41 = 0 ；C. 7x 5y-6z-18=0 ；
12、 D. 18x 5y-3z16=0.17.球面 7（u,v）二：Rcosucosv,Rcosusi nv,Rs inu?的第一基本形式为（D ）.A. R2（du2 sin2udv2） ； B. R2（du2 cosh2 udv2）；C. R2（du2 sinh2udv2） ； D. R2（du2 cos2 udv2）.18.正圆柱面：（u,v） = ：Rcosv,Rsinv,u?的第一基本形式为（C ）.A. du2 dv2 ； B. du2-dv2 ； C du2 R2dv2 ； D. du2-R2dv2.佃.在第一基本形式为l（du,dv） =du2 si nh2udv2的曲面上，方程为
13、uvgv二v2）的曲线段的 弧长为（B ）.A . coshv2 -coshv, ； B . sinhv2 -sinh* ；C . coshw-coshv2 ； D . sinhv（-sinhv2 .20.设M为正则曲面，贝U M的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）.A . E =0 ； B . F =0 ； C . G=0 ； D . M =0 .21.高斯曲率为零的的曲面称为（A ）.A .极小曲面； B .球面； C .常高斯曲率曲面； D .平面.22.曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）.A . 0 ； B . 1 ； C . 2 ； D . 3 .三、判断题(正
14、确打V,错误打x)1.向量函数r -r(t)具有固定长度，则r(t)_r(t). v2.向量函数r -r(t)具有固定方向，则r (tJr (t). V3.向量函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模X4.曲线:的曲率、挠率都为常数，则曲线:是圆柱螺线 X5.若曲线丨的曲率、挠率都为非零常数，则曲线-是圆柱螺线 V6.圆柱面：二RcosRsin，,z, z-线是渐近线. V7.两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例 .X&两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例 . V9.等距变换一定是保角变换.V10.保角变换一定是等距变换.X11.空间曲线的位置和形状由
15、曲率与挠率唯一确定.X12.在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一. X13.若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线. V14.在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向. V15.高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量. X16.曲面上的直线一定是测地线. V17.微分方程A(u,v)du B(u,v)dv=0表示曲面上曲线族.X18.二阶微分方程A(u, v)du 2B(u,v)dudv C(u,v)dv =0总表示曲面上两族曲线.X19.坐标曲线网是正交网的充要条件是 F = 0，这里F是第一基本量. V20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.V21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地
16、线一定是最短的 .X22.球面上的圆一定是测地线.X23.球面上经线一定是测地线.V24.测地曲率是曲面的内蕴量.V四、计算题1.求旋轮线x = a(tsin t), y二a(1cost)的0咗t乞2- 一段的弧长.解 旋轮线：(t) -、a(t -sint), a(1 -cost).的切向量为 7(t) - a -acost,asint，则在 0 空 t 乞 2_2兀# 2兀 段的弧长为：s= r (t) dt 二 12a、1-costdt = 8a .0 0求曲线x =tsint, y = tcost,z d在原点的切向量、主法向量、副法向量.求曲率求基本向量:, 7(t) =asint,
17、acost,b? , P (t) = -acost,asint,Ol ,4.有 k= ,求正螺面r (u,v)二：ucosv,usinv,bvf的切平面和法线方程.建-、cosv,sin v, o: 建=-usi nv, ucosv, b，切平面方程为bsin v x -bcosu y uz -buv = 0, 法线方程为3 J皿.bsi nv -bcosv u5.求球面：(,R =、acoscosr,acossinasin宀上任一点处的切平面与法线方程.解 r.： - -asin cos, -asin sinacos, -acossinr,acoscosO?,=a2 cos和-cos cos
18、t，-cos sin n，-sin /.球面上任意点的切平面方程为:x -acos cost, y -acossin 3 z - asin中.；a2cos - coscost, -cos sin v, -sin f 二 0, 即 cos v cosx cos : sin v y sin z _ a = 0 ,法线方程为2(x-acoscost y-acoss in v,z-as in J = a cos(-coscost,-cos s in v,-s in J, 即 xacoscosv yacos sin v zasincos cos 日 cos 申 si n sin6.求圆柱螺线x二acos
19、t, y = asi nt,z = t在点(a,0,0)处的密切平面.解 卉 t)= a s i n a c d J( t)= a c 0 s , a s itn ,所以曲线在原点的密切平面的方程为x a y 0 z 0-asi nt a cost 1 = 0,-a cost -asi nt 0即(sint)x-(cost)y az-asint =0.7.求旋转抛物面z=a(x2 y2)的第一基本形式.解 参数表示为：(x, y) = x, y, a(x2 寸丫 ,住1,0,2 axl ,二=0,1,2ay?,E J rx =1 4a2x2, F 詁 I =4a2xy, G 捕 =1 4a2y
20、2,8.I (dx,dy) =(1 4a2x2)dx2 8a2xydxdy (1 4a2y2)dy2 . 求正螺面7(u,v) = ucosv,usinv,bv?的第一基本形式. ru =、cosv,s inv, 0爲us inv ,ucosv,b?,E =ru ru =1 , F -ru rv = 0 , G =rv rv = u2 b2, I (du,dv)二 du2 (u2 b2)dv2 .9.计算正螺面(u,v) - iucosv,usinv,bv?的第一、第二基本量.ruv inv ,cosv,0, 咕=：-u cosv,u s inv,0 ,ru - cosv,sinv,0f, r
21、v-usinv,ucosv,bf,ruu = O0,0 r,E Tu =1 ,2b2, N 昭0 .b2 u210计算抛物面z=x2 y2的高斯曲率和平均曲率.解 设抛物面的参数表示为?(x, y) - x, y,x2 y2，则2y-2x, -2y,1?解直接计算知E =1，F =0，K 2 2 2 2222,EG _F (1+4x )(1+4y ) _(4xy) (4x +4y +1)12.求曲面z =xy2的渐近线.化简得 dy(2ydx xdy) =0， dy=0或 2 y d x x dy0渐近线为y=G，x2y=C213.求螺旋面? =、ucosv,usinv,bv上的曲率线.解 :
22、二cos v,sin v,0, =usin v,u cosv,b:bsin v, -bcosv,u / 让bsin v, -bcosv,u /:bsin v, -bcosv,u /ruu= 9,0,0 ?, ruv= 1 -sin v,cosv,0 1 g = :-ucosv, -usin v,0 ? , L = 0,M , N = 0Jf + b曲率线的微分方程为积分得两族曲率线方程v = ln(u . u2 b2) c和v = In(、u2 b2 _ u) c2.14.求马鞍面r二u,v,u2 -v2在原点处沿任意方向的法曲率 解 ru =1, 0口2古亍0v, 1,E = (2 =1 4
23、u2, F =己亘-4uv, G =1 4v2I 二(1 4u2)du2 -8uvdudv (1 4v2)dv2n-2u,2v,1 ?4u2 4v2 124u2 4v2 12、1 4u2 4v2du2.1 4u2 4v2dv2 ,nk =kn I(du2 _ dv2)71 + 4u2 +4v22 2 2 2 (1 4u )du -8uvdudv (V 4v )dv15.求抛物面z=a(x2+y2)在(0,0)点的主曲率. 解 曲面方程即r =x,y,a(x2 y2),rx =1,0,2 ax, =0,1,2ay, E(0,0)=1, F(0,0) =0, G(0,0) =1,rxx =0,0,
24、2 a, I =0,0,0,乙=0,0,2 a , L(0,0) =2a, M(0,0) =0, N(0,0) =2a, 2a-k 0代入主曲率公式， N =0,所以两主曲率分别为 kk2a.0 2a-kN16.求曲面r =u,v,u2 v2在点(1,1 )的主方向.解 ：=1 , 0,2u 扑 0,1 , 2, E =1 4u2, F =4uv, G =1 4v2E(1,1)=5, F(1,1)=4,G(1,1)=5; L-2 2 ，M = 0, N - =2 2=P4u2+4v2+1 (4u2+4v2+12L(1,1) = N(1,1) ,M(1,1) = 0,代入主方向方程，得(du d
25、v)(du-dv)=0,3即在点(1,1)主方向 du : dv = 一1:1;、u :、v =1:1 .17.求曲面r(u,v)工u,v,u2 v3上的椭圆点，双曲点和抛物点. 解 由 r 二u,v,u2 V3, 得扛1,0,2u?,l=g,1,3v2?,rt= r丄-Reds RL由于r是一般螺线，所以也是一般螺线.4.么淳)是一般螺线.证明曲线 r(t)二a sin (t)dt, a cos (t)dt, bt (a,b 是常数) 证明 7(t)= a s i n t( )a ： c o S (b)r (t) =: (t)cos (t), a: (t)si n (t), 0,：(t) =
26、a : (t)cos (t), -sin (t), 0 a : (t)2sin (t), cos (t), 03 =$(t)| Ja2 +b2, *： r, r)-a2b 旳)，ba2 b2fira3 爲2b2k a _ _ 1 .t b5.曲面S上一条曲线(C), P是曲线(C)上的正常点，k,kn ,kg分别是曲线(C)在点P的曲率、 法曲率与测地曲率，证明k2=kn2+kg2.证明 测地曲率kg二k- ；-kl(n J)二k(：*,二X)二Q n - _ksi nr.(二是主法向量与法向量n的夹角)法曲率 kn =k 一： n =kcosvi 2 | 2 | 2.k =kn +kg .6
27、.证明曲线；-涪cost, etsint, 0的切向量与曲线的位置向量成定角.证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为7 -(t cost, Msint, 0：，该点切线的切向量为:= ；et(cost -sint),et(sint cost),0 ?，贝U有: 故夹角为匸.由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角.7.证明：若7和7 对一切t线性相关，则曲线是直线.证明 若r 和 7对一切t线性相关，则存在不同时为0的f(t), g(t)使f(t)P(t) g(t)r (t) =0， 贝U -t, ：(t) 7 (t 0,又k(t)二 二，故-t有k(t)二0 .于是该曲线是直线.rl8.证明圆柱螺线x = acost, y =asi nt,z=bt的主法线和z轴垂直相交.证明 由题意有F(t) - -asint,acost,b, T(t) - -acost, -asint,0?，由# =汽叮卅知葩cost, -sint,0.nV另一方面z轴的方向向量为a-o,o,1，而a，=o，故a
