卓越联盟自主招生数学试题理科及答案文档格式.docx

1、4. 已知函数设为实数，若存在实数，使，则的取值范围是_填空题（每题6分，共24分）5. 已知，分别在区间和内任取一个数，且取出的两数之和小于1的概率为则的值为_6. 设，为平面上夹角为（）的两个单位向量，为平面上的一个固定点，为平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标现有两个点，的斜坐标分别为，则，两点的距离为_7. 若函数的图象的对称中心与轴距离最小的对称轴为，则实数的值为_8. 已知集合，满足，若中元素的个数不是中的元素，中元素的个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为_解答题（共56分）9. （13分）设，函数，（1）若，求在区间上的最大值 （2）若，求与的值10. （13分

2、）已知双曲线（，）的两条渐进线的斜率之积为，左右两支上分别由动点和（1）设直线的斜率为1，经过点，且，求实数的值（2）设点关于轴的对称点为若直线，分别与轴相交于点，为坐标原点，证明11. （15分）已知为上的可导函数，对任意的，有，（1）对任意的，证明：（）；（2）若，证明，12. （15分）已知实数列满足，常数对任意的，有设为所有满足上述条件的数列的集合（1）求的值；（2）设，且存在，使证明：；（3）设集合，求中所有正数之和附录2：2014年卓越联盟自主招生数学参考答案选择题（注：1. 答案：提示：，把原式视作的三次多项式分解因式即可2. 答案：仔细算算3. 答案：原式视作的二次方程，判别式

3、即可4. 答案：填空题5. 答案：可转化为“线性规划+几何概型”问题6. 答案：显然7. 答案：8. 答案：44提示：按中元素个数（,）逐个进行分类讨论解答题9. 答案：（1）；（2），（）；，提示：10. 答案：（2）提示：，再带入，即可11. 提示：（1）即证，构造函数，对求导证明在上单增即可（2）由条件知是上的单增函数，故不可能恒等于零如果存在正实数，及实数，使，则对任意，则当时，与条件矛盾如果存在正实数，及实数，使，则对任意，存在，满足则当时，与条件也矛盾总之，题目中的条件永远不成立故由于前提条件是假命题，从而不论结论是什么，都是真命题12. 提示：（1）化简，可得对任意正整数成立，左边在无穷大时是无穷小，所以（2）方法一：假设是1，2，3，中满足中的最大角标则方法二：假设是1，2，3，中满足中的最小角标，则（）（3）显然的前项和是正数，当且仅当，此时（，）的符号随意即：，这样的数列共有个，若与符号相反，则进行配对（，）于是，中所有元素之和为说明：（1）第11题中的条件永远是假命题，这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之（2）第12题第2问中，取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零，取角标最小则考虑在适当的模下的差不能为零这是常用的思路，应注意掌握实际上，前者对应于的欧几里得赋值，后者对应于的赋值，这两个赋值数学本身的意义也很大