1、高中数学必修二复习资料第一章 立体几何初步一、基础知识（理解去记）1）多面体由若干个平面多边形围成的几何体 .围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。2）柱，锥，台，球的结构特征2.棱柱3棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个行六面体 底面为矩形体1.3棱柱的性质：侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。长
2、方体的性质：长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】AC12 AB2 AD2 AA12（了解）长方体的一条对角线 AC1 与过顶点 A 的三条棱所成的角分别是， ， ，那么 cos2 cos2 cos2 1， sin2 sin2 sin2 2；（了解）长方体的一条对角线 AC1 与过顶点 A 的相邻三个面所成的角分别是 ， ， ，则 cos2 cos2 cos2 2 ， sin2 sin2 sin2 1.1.4侧面展开图 ：正 n 棱柱的侧面展开图是由 n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形 .1.5面积、体积公式： S直棱柱侧 c h （其中 c 为底面周S
3、直棱柱全 c h 2S底 ， V棱柱 S底 h长， h 为棱柱的高）注意 :大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻意地去记2.圆柱1.1圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱 .1.2圆柱的性质： 上、下底及平行于底 面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形1.3侧面展开图： 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形1.4面积、体积公式 ：S圆柱侧 =2 rh； S圆柱全 =2 rh 2 r2， V 圆柱 =S底 h= r2h（其中 r为底面 半径， h 为圆柱高）3.棱锥3.1棱锥 有一个面是多边形，其 余各
4、面是有一个公共顶点的三角 形，由这些面所围成的几何体叫做 棱锥。正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。3.2棱锥的性质：平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：SOB, SOH , SBH , OBH 为 直角三角形）3.3侧面展开图： 正 n棱锥的侧面展开图是有 n个全等的等腰三角形组成的。3.4面积、 体积公式： S正棱锥侧
5、 = 1 ch ， S正棱锥全 =1 ch S底 ， V棱锥 =1 S底 h.223（其中 c 为底面周长， h 侧面斜高， h 棱锥的高）4.圆锥4.1圆锥 以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转 而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。4.2圆锥的性质：平行于底面的截面都是圆， 截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离 之比；轴截面是等腰三角形；如右图： SAB如右图： l 2 h2 r2 .4.3圆锥的侧面展开图： 圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形。4.42h面积、体积公式：S圆锥侧 = rl ， S圆锥全 = r（r l）， V圆锥 =
6、1 r3r 为底面半径， h 为圆锥的高， l 为母线长）5.棱台锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台5.1正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形； 如右图：四边形 OMNO,OBBO都是直角梯形棱台经常补成棱锥研究 .如右图： SOM与 SON , SOB与 SOB相似 ， 注意考虑 相似比 .5.2棱台的表面积、 体积公式： S全 S 上底 S下底 S侧， V棱台 1( S SS S)h ， (其3中 S, S是上，下底面面积， h为棱台的高)6.圆台6.1圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 .6
7、.2圆台的性质： 圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆； 圆台的轴截面是等腰梯形； 圆台经常补成圆锥来研究。如右图：SOA与 SOB相似 ，注意相似比的应用 .6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；6.4圆台的表面积、体积公式： S全 r2 R2 (R r)l ，V 圆台 1( S SS S)h 1( r2 rR R2)h，(其中 r， R 为上下底面半径， h33为高)7.球7.1球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球 .或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；7.2球的性质： 球心与截面圆心的连线垂直于截面； r
8、 R2 d 2（其中， 球心到截面的距离为 d、球的半径为 R、截面的半径为 r）7.3球与多面体的组合体： 球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切 .7.4球面积、体积公式： S球 4 R2,V球 34 R3（其中 R为球的半径） （二）空间几何体的三视图与直观图根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解即可1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。2.三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；正视图 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；侧视图 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；正视图 光线从几何
9、体的上面向下面正投影，得到的投影图；注：（ 1）俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图。（简记为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽” .（ 2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。3.直观图：3.1直观图 是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。3.2斜二测法：step1：在已知图形中取互相垂直的轴 Ox、 Oy，（即取 xoy 90 ）；step2：画直观图时，把它画成对应的轴 ox,oy，取 xoy 45 （or135 ），它们确定的平面表示水平平面
10、；step3：在坐标系 xoy中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变，平行于 x 轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。结论： 一般地， 采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的 2 倍 .4解决两种常见的题型时应注意：（ 1 ）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图” .（ 2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。二 点、直线、平面之间的位置关系（一） 平面的基本性质1.平面无限延展，无边界1.1三个定理与三个推论公理 1： 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么
11、直线在平面内。用途：常用于证明直线在平面内 .图形语言： 符号语言：公理 2：不共线 的三点确定一个平面 . 图形语言：推论 1：直线与直线外的一点确定一个平面 . 图形语言：推论 2： 两条相交直线确定一个平面 . 图形语言：推论 3： 两条平行直线确定一个平面 . 图形语言：用途：用于确定平面。公理 3： 如果两个平面有一个公共点， 那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（两个平面的交线） .用途：常用于证明线在面内，证明点在线上 .图形语言： 符号语言：形语言，文字语言，符号语言的转化：共面 :a b=A,a/b异面 :a与 b异面1.空间直线的位置关系：平行线的传递公理：平行于
12、同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：a/b, b/ c a/ c等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 。异面直线：（ 1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线异面直线；（ 2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。P符号语言：PA与 异面 aAa1）范围： 0 ,90 ；（ 2）作异面直线所成的角：平移法 .如右图，在空间任取一点 O，过 O 作 a/a,b/b，则 a,b所成的 角为异面直线 a,b所成的角。 特别地，找异面直线所成的角时， 经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点 （如线段中点， 端点
13、等） 上，形成异面直线所成的角 .l2.直线与平面的位置关系： l All /1.线面平行：定义：直线与平面无公共点a/ b判定定理： a a/ （线线平行 线面平行）【如图】ba/性质定理： a a/ b（线面平行 线线平行）【如图】b判定或证明线面平行的依据：（ i） 定义法（反证） ： l l/ （用a/ bii）判定定理： a a/ “线线平行 面面平行”（用b于证明）；（ iii） / a/ “面面平行 线面平行”（用于证明）；aba（ 4） b a/ （用于判断）；a2.线面斜交： l A直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交， 则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
14、 【如图】 PO 于 O， 则 AO 是 PA在平面 内的射影，PAO 就是直线 PA与平面 所成的角。范围： 0 ,90 ，注：若 l 或 l / ，则直线 l 与平面 所成的角为 0 ；若l ，则直线 l 与平面 所成的角为 90 。3.面面平行：定义： / ；判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述： a,b ,a b O,a/ ,b/ / 【如下图】数学必修 2 第 11 页 共 31 页推论： 一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行符号表述： a,b ,a b O,a,b ,a/a,b/b / 【
15、如上图 】判定 2： 垂直于同一条直线的两个平面互相平 行 . 符号表述： a ,a / .【如右图】 a3判定与证明面面平行的依据： （ 1） 定义法； （ 2 ）判定定理及推论（常用）（ 3）判定 2/4面面平行的性质： （ 1） a/ （面面平行 线面平行）；（ 2）a/a a/ b ；（面面平行 线线平行）（ 3） 夹在两个平行平面间的b平行线段相等。 【如图】（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意 a , 都有 l a，且 l ，则 l .a,b abO判定定理： l l （线线垂直 线面
16、垂直）la lb性质： （ 1） l ,a l a（线面垂直 线线垂直） ；（ 2） a ,b a/b；证明或判定线面垂直的依据：（ 1 ）定义（反证）；（ 2）判定定理 （常a/b / a b用） ；（ 3） b （较常用） ； （ 4） a ； （ 5） aa aaab（面面垂直 线面垂直） 常用；三垂线定理及逆定理：I ） 斜线定理： 从平面外一点向这个平面所引的垂线II）三垂线定理及逆定理：已知 PO ，斜线 PA 在平面 内的射影为OA， a ，若 a OA，则 a PA 垂直射影 垂直斜线，此为三垂线定理；3.2面面斜交二面角：（ 1）定义：【如图】OB l ,OA l AOB是二
17、面角 l 的平面角范围： AOB 0 ,180 作二面角的平面角的方法：（ 1 ）定义法；（ 2）三垂线法（常用）；（ 3）垂面法 .3.3面面垂直（ 1 ）定义：若二面角 l 的平面角为 90 ，则 ；（ 2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 .a （线面垂直 面面垂直）（ 3）性质： 若 ，二面角的一个平面角为a AB a （面面垂直 线aa AB面垂直）；AaAaa二、基础题型（必懂）1、概念辨析题：（ 1 ）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选法等。（ 2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练掌握有关
18、的定理和性质的前提下，利用长方体，正方体，实物等为模型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必须找出反例。（ 3） 相关例题： 课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下：例： （ 09 年北京卷）设 m， n 是两条不同的直线， , , 是三个不同的平面，给出下列四个说法： m ,n/ m n； / , / ,m m ；m/ ,n / m /n , / ，说法正确的序号是： 2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。（ 1 ）基础知识网络：三、趋近高考（必懂）1.（ 2010全国卷 2理） 已知正四棱锥 S ABCD 中，的体积最大时，它的高为（ A） 1 （ B
19、） 3 （ C）【答案】 C【 解 析 】 设 底 面 边 长 为 a， 则 高，设 ，则 ，当 y 取最值时，或 a=4时，体积最大，此时 ，故选 C.2.（ 2010 陕西文） 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 B（ A） 2 （ B） 1SA 2 3 ，那么当该棱锥2 （ D） 3所以体积，解得 a=021C）D）3.（ 2010辽宁文） 已知 S,A,B,C 是球 O表面上的点， SA 平面 ABC， AB BC，SA AB 1 ， BC 2，则球 O的表面积等于A) 4B) 3C) 2D）A. 由已知，球 O 的直径为 2R SC 2， 表面积为 4 R2 4 .4
20、.（ 2010 安徽文） 一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（A） 372 （ B） 360（C） 292 （ D） 280【答案】 B【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。s 2（10 8 10 2 8 2） 2（6 8 8 2） 360.【方法技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键 . 又三视图很容易知道是两个长方体的组合体，画出直观图，得出各个棱的长度 . 把几何体的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。5.（ 2010 重庆文） 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点选 B， 本题主要考
21、察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题7. ( 2010 福建文) 若一个底面是正三角形三棱柱的正视图如图所示 , 则其侧面积 等( )A 3 B 2C 2 3 D 6【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为 2，高为 1 的正三棱柱，所以底面积为32 4 2 3 ，侧面积为 3 2 1 6 ，选 D48.( 2010 全国卷 1 文) 已知在半径为 2 的球面上有 A、 B、 C、 D 四点，若AB=CD=2则四面体 , ABCD的体积的最大值为(A) 2 3 (B) 4 3 (C) 2 3 (D) 8 3【解析】过 CD作平面 PCD，使 AB平面 PCD,交
22、 AB与 P,设点 P到 CD的距离 为 h , 则有 V四面体 ABCD 1 2 1 2 h 2h , 当 直径 通过 AB 与 CD 的 中点32 3时 , hmax 2 22 12 2 3, 故 Vmax 4 3max 3第二章 平面解析几何初步一、基础知识（理解去记）1解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何 .首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心的单位圆的方程。2 求曲线方程的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标
23、系； （2）写出满足条件的点的集合； （3）用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程并确定未知数的取值范围；（ 5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。3直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。4直线方程的几种形式：【必会】【必考】（ 1 ）一般式： Ax+By+C=0 ；（ 2）点斜式： y-y0=k（x-x 0）；（ 3）斜截式： y=kx+b；（ 4）截距式：
24、x y 1 ；ab（ 5）两点式： x x1 y y1 ；x2 x1 y2 y1（ 6）法线式方程： xcos +ysin =p（其中 为法线倾斜角， |p| 为原点到直线的距离）；（ 7）参数式： x x0 tcos （其中 为该直线倾斜角）， t 的几何意义是y y0 tsin定点 P0（ x0, y0）到动点 P（ x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若 P0P 方向向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线 l1, l2的斜率分别为 k1, k2，将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2的角； l1 与 l2所成的角中不超过 9
25、00的正角叫两者的夹角。 若记到角为 ， 夹角为 ， 则 tan = k2 k1 ,tan1 k1 k2k2 k1=1 k1 k26 平行与垂直： 若直线 l1与 l2的斜率分别为 k1, k2。 且两者不重合， 则 l1/l2的充要条件是 k1=k2； l1 l2的充要条件是 k1k2=-1。7两点 P1（x1, y1）与 P2（x2, y2）间的距离公式： |P1P2|= （x1 x2）2 （y1 y2）2 。8点 P（x0, y0）到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式： d |Ax0 By0 C |。A2 B 29直线系的方程：若已知两直线的方程是 l1： A1x+B1y+C1=
26、0 与 l2：A2x+B2y+C2=0 ， 则 过 l1, l2 交 点 的 直 线 方 程 为 A1x+B1y+C1+ （A2x+B2y+C2=0； 由 l1 与 l2 组 成 的 二 次 曲 线 方 程 为 （ A1x+B1y+C1 ）（ A2x+B2y+C2） =0；与 l2平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0（C C1 ）.10 二元一次不等式表示的平面区域， 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B0，则 Ax+By+C0 表示的区域为 l 上方的部分， Ax+By+C0)。其圆心为 D , E ，22半径为 12 D2 E2 4F 。若点 P(x0, y0)为圆上一点，
27、则过点 P的切线方程为x0x y0y D x0 x E y0 y F 0. 00 2 214根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分)，这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆： x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1,2, 3. 则 它 们 两 两 的 根 轴 方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0;(D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。二、基础例题(必会)1 坐标系的选取：建立坐标系应讲究简
28、单、对称，以便使方程容易化简。例 1 (经典例题) 在 ABC 中， AB=AC ， A=900，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E，求证： ADB= CDE。 证明 见图 10-1 ，以 A为原点， AC所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B， C坐标分别为( 0,2a) ,(2a,0) ，则点 D坐标为( a, 0 )。直线 BD方程为 x y 1 ， 直线 BC方程为 x+y=2a， 设直线 BD和 AE的斜a 2a率分别为 k1, k2，则 k1=-2。因为 BD AE，所以 k1k2=-1. 所以 k2 1 ，所以直2线 AE方程为 y 12x，由1y 2x, 解得点 E 坐标为 4a,2ax y 2a 3 32a所以直线 DE斜率为 k3 3 2.因为 k1+k3=0.4aa3所以 BDC+ EDC=1800，即 BDA= EDC。例 2 (经典例题)半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 证明 以 A为原点，平行于正三角形 ABC的边 BC的直线为 x 轴，建立直角坐标系见图 10-2，设 D的半径等于 BC边上
