1、赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编 号 专 用 页赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：摘要 通过了解，某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，因而需要测试薄膜被这种分子穿透的能力。又得知，该薄膜特性为：通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，然而比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。通过题中定时测量容器中膜某一侧的溶液浓度值的数据，进行建模，以确定K的数值。 针对本题，求解薄膜被该物质穿透的渗透率，我们建立了微分
2、求解模型。从不同的思考角度入手。一是从物质量的变化最终结果考虑，忽略过程角度入手，通过化学中渗透作用、扩散的相关知识，物质的量守恒和渗透平衡为以动态平衡，建立了相应的微分关系式，进而通过化解，消元，进而分别得到量容器内，物质的浓度与时间的关系表达式，再通过matlab 进行编程，求微分，最后确定出，薄膜的渗透率K= 0.0101，最终使得问题得以求解。 二是从叠加原理进行考虑，分别考虑不同体积的溶液向另一浓度为0的溶液中渗透作用的叠加，进而建立出叠加模型，采用malab进行编程，确定出不同浓度溶液中物质浓度C（t）随时间t,变化的关系式，后求导，进而确定出薄膜的渗透率K= 0.0101。关键字
3、：物质的量守恒 叠加原理 微分模型 渗透率一、问题重述某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在测试时需测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：用面积10cm的薄膜将分成体积分别为100cm和100cm的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中膜某一侧的溶液浓度值，以确定K的数值。对容器一侧浓度的测试结果如下：100200300400500600700800
4、90010004.544.995.355.655.906.106.266.396.506.59试建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序。二问题分析 对于本题，主要是寻找方法求解薄膜被该物质分子穿透的渗透率K。通过学习了解化学中，物质浓度，扩散过程的相关知识，我们可以知道，物质在扩散过程中，遵循物质的量守恒和渗透平衡最终状态为动态平衡。因而我们分别从两个角度进行着手。一是从扩散的在时间内的结果进行考虑。根据薄膜的特性，通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，即可用K*（C）来表示物质穿透薄膜单位面积的速度，进而可以列出时间内，透过薄膜的物质的量，再考虑两溶液中物质变化的多少
5、，可以表示为,那么必有溶液中减少（增加）的物质的量=薄膜穿过的物质的量，再由物质的量守恒，此时两溶液中物质的量的总和=两溶液的初始值的总和。进而由两式，确定出两溶液中物质的浓度C（t）随时间t的关系式，再通过malab进行编程求导，进而确定出渗透率K。二是采用叠加原理来进行求解。分别考虑，两不同浓度的溶液，分别向物质浓度为0的溶液中进行扩散，最后达到平衡状态，进而分别同样根据物质的量守恒。分别确定出物质的浓度C（t）随时间t变化的关系式，进而叠加，最终确定出浓度与时间的关系式，再求导，便求得薄膜渗透率K.三模型的假设假设一：认为渗透率K为一个常数，不随测试所在出的大气压、温度的变化而变化；假设
6、二：忽略两种溶液中分子的种类对渗透率K的影响，认为在两种溶液中K相等；假设三：假设分子在做扩散运动时，同侧溶液浓度处处相等；假设四：文中给出的数据在计算时默认为是B侧的数据；假设五：物质从薄膜的任何一侧向另一侧渗透的性能相同。四符号说明C：A侧溶液的初始浓度，单位为10；B侧溶液的初始浓度，单位为10:A侧溶液所占的体积，单位为10 B侧溶液所占的体积，单位为10t:时间，单位为秒；S：薄膜面积，单位为cmK：渗透率；Y:五、模型建立与求解5.1模型的建立5.1.1模型一的建立我们只知道渗透作用的最终结果是动态平衡，而对于从初始状态到达到动态平衡整个过程，我们只关注其结果，而忽略过程。单纯从薄
7、膜两侧溶液浓度考虑，其渗透作用的示意图如下所示：对于从初始状态到达到动态平衡整个过程中的任意t时刻到t+t时刻由B侧扩散到A侧的物质分子数为，A侧的物质分子增量，因为在t到t+t时刻A侧的物质分子的增量就是由B侧物质分子扩散引起的，所以上面两式相等，当时得到： 同理可得B侧： 有物质的量守衡得： 式结合整理得：5.1.2模型二的建立=我们把达到动态平衡的过程看成是分别是A、B侧中溶液溶质向浓度为零的溶液发生渗透作用达到动态平衡的叠加。其思路可以以下图形表示：+下面我们探讨一下当只考虑A侧的溶液在tt+t时刻内浓度为零的一侧增加的溶质的质量的关系可以从两方面出发，单纯从浓度为零的溶液的浓度变化可
8、以写出如质量的增量为*，再根据渗透作用的作用机理考虑可以写出增量的另一种表达式为S*K* t,而两者相等，联立起来如下所示*= S*K* t；取t0是可以整理为 S*K*/;同理对于B侧单独作用也可以写出类似表达式 S*K*/；结合初值条件，然后编程求出、的表达式，从而求出一起作用时B侧溶液浓度的表达式。5.2模型的求解5.2.1模型一的求解 利用模型一建立的模型 结合初始条件可以解出的表达式如下所示：为了是表达式更加见解我们令我们显然又知道=100cm3，S=10cm2，从而进一步将上式简化为：。从而利用该公式作为经验公式结合给出数据编写M文件进行求解，源代码将附录一。各个参数值如下：=0.
9、0070 ;= -0.0030;K= 0.0101;拟合出的曲线如下：5.2.2模型二的求解利用化简后的渗透作用的速率的表达式 S*K*/， S*K*/；结合初值条件，求出、）的表达式为=，=，则当是可以求出B侧的浓度+*,可以进一步简化为*从而以上述表达式为经验公式进行拟合，源代码与模型一类似。六模型优缺点6.1模型优点 （1）通过建立微分模型，来求解薄膜的渗透率K,严格通过化学中溶液物质的量守恒等相应规律，得到溶液浓度C（t）与t之间的关系。而后通过matlab编程求导，确定出渗透率K.模型建立过程，有理可推，保证了模型的合理性。（2）而后采用软件编程计算、绘图，避免了人为计算因素，提高了
10、结论的准确性。（3）本篇论文，从不同的角度，分别从扩散的结果和叠加原理两个不同角度着手，建立了两个模型。使得两个模型相互检验，最终的出两模型结论一致。无疑说明，模型的正确性和准确性，增强了模型的说服力。6.2模型缺点 本篇论文，存在的主要缺点有：（1）在模型求解过程中，主观认为物质穿透薄膜的能力，即渗透率K是以常数，但时间情况我们易知，渗透率K会随着浓度的变化而变化，因而造成模型中求解出来的K值部精确，太过于理想化。（2）除此之外，还有实验数据不多，对于参数确定，造成了误差，因而使得结果也出现了一定的误差。七、模型的改进与推广7.1模型的改进为提高模型的性，鉴于实验数据不多的情况，我们可以采用
11、插值法，进而得到更多的参考实验数据，进而提高了确定参数变量的值，从而提高了模型结论的准确性。7.2模型的推广此种模型可以用于确定溶液中物质浓度的动态变化，从而确定特殊薄膜的性能是否合符要求；运用于化工生产，继而时刻注意物质动态变化，以便按时按量通入原料进行生产，服务于生产；还可以用于医疗，时刻了解人体血液中物质浓度变化，进而根据物质的变化，做出调整，更好的让人民健康。还可以运用于环境保护，水厂净水等等了解物质浓度变化的各行各业。八、参考文献1姜启源,谢金星,叶俊.数学模型（3版）.北京：高等教育出版社.2003. 2李学文,李炳照,王宏洲.数学建模优秀论文精选与点评（2005-2010）.北京
12、：清华大学出版社.2011. 3宣明.数学建模与数学实验.J杭州：浙江大学出版社.2010.附录附录一:%curvefun1.Mfunction f=curvefun1（x,t）f=x（1）+x（2）.*exp（-0.2.*x（3）.*t）;%Untitled3.mclose allclcclear allt=100:100:1000;c=1e-03*4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 6.26 6.39 6.50 6.59;x0=0.1,0.05,0.01;x=lsqcurvefit（curvefun1,x0,t,c）f=curvefun1（x,t）;t0=100:300:6000;f0=curvefun1（x,t0）plot（t,f,t,c,*）xlabel（时间t ）;ylabel（浓度Cj（10-3mg/cm3）title（模型一附录二：%curvefun2.Mcurvefun2f0=curvefun2（x,t0）模型二
