1、4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.二双曲线的内外部： （1）点在双曲线的内部. （2）点在双曲线的外部.三.双曲线的方程与渐近线方程的关系（1）若双曲线方程为渐近线方程：.（2）若渐近线方程为双曲线可设为.（3）若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，焦点在y轴上）.四双曲线的简单几何性质=1（a0，b0） 范围：|x|a，yR 对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 顶点：轴端点A1（a，0），A2（a，0） 渐近线： 若双曲线方程为渐近线方程 若渐近线方程为双曲线可设为 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在
2、x轴上，焦点在y轴上） 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 与双曲线共焦点的双曲线系方程是六.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则，若分别为A、B的纵坐标，则。第二部分 典型例题分析题型1：运用双曲线的定义例1. 如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是（ ）A9 B16 C18 D27 解析 ，选C练习：设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则PF1F2的面积为（ ）AB12CD24解析： 又由、解得直角三角形，故选B。题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点，且过
3、点（3，2）.求双曲线C的方程解：设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2），=1.又a2+b2=（2）2，a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为=1.1已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；设双曲线方程为，当时，化为，综上，双曲线方程为或2.已知点，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为A BC（x 0） D解析，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B题型3 与渐近线有关的问题例3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 A B C D解析从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线
4、系两方面考虑，选B过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是设所求双曲线为 点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求.题型4 弦中点问题设而不求法例4. 双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ）A. B. C. D. 解:设弦的两端分别为.则有：弦中点为（2，1），.故直线的斜率.则所求直线方程为：，故选C.1.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：M（1，1）为弦AB的中点，故存在符合条件的直线AB，其方程为：这个结论对不对呢？
5、我们只须注意如下两点就够了：其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的.问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件.【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由这里，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件.结论；不存在符合题设条件的直线.2. 已知双曲线,问过点A（1，1）能否作直线,使与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。设符合题意的直线存在，并设、 则 1得 因为A（1，1）为线段P
6、Q的中点，所以 将（4）、（5）代入（3）得 若，则直线的斜率， 其方程为 得 根据,说明所求直线不存在。3.已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P（6，6） （1）求双曲线方程 （2）动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 （1）如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 （2）P、A1、A2的坐标依次为（6,6）、（3，0）、（3，0），其重心G的坐标为（2，2）假设存在直线l，使G（2，2）平分线段MN，设M（x1,y1），N（x2,y2）
7、则有，kl=l的方程为y= （x2）+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直线l不存在 题型5 综合问题1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，右顶点为.（）求双曲线C的方程（）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且（其中为原点），求k的取值范围解（1）设双曲线方程为由已知得，再由，得故双曲线的方程为.（2）将代入得 由直线与双曲线交与不同的两点得 即且. 设，则，由得，而于是，即解此不等式得 由+得故的取值范围为 2.已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线kx1与曲线E交于A、B两点。（）求的取值范围；（）如果且曲线E上存在点C，使求。（）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知，故曲线的方程为设，由题意建立方程组消去，得，有 解得 依题意得 ，整理后得或，但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点，将点的坐标代入曲线的方程，得得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为，到的距离为的面积8
