1、2.1.1求差法82.1.2求商法82.1.3过度比较法82.2分析法92.3综合法92.4缩放法102.4.1放缩法的常见技巧102.5反推法102.6数学归纳法112.7反证法112.7.1反证法的基本思路112.7.2反证法的步骤112.8判别式法122.9等式法122.10中值定理法122.11排序法122.12分解法132.13函数极值法133 .利用构造法证明不等式133.1构造函数模型133.1.1构造一次函数模型143.1.2构造二次函数模型143.1.3构造单调函数证明不等式143.2构造复数模型143.3构造方程法154.换元法证明不等式154.1. 三角换元法154.2
2、均值换元164.3 几何换元法164.4 增量换元法175.利用著名不等式证明175.1利用均值不等式175.2柯西不等式证明法185.3利用契比雪夫不等式185.4利用绝对值不等式185.5利用重要不等式19总结19参考文献：20致谢21浅谈中学数学不等式的证明方法 徐亚娟 云南民族大学数学与计算机科学学院摘 要在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。而不
3、等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研
4、究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。【1】【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数AbstractIn the middle school inequalities are very important content, penetration in the middle school mathematics branches, has a very wide range of applications. So the inequality reflects the comprehensiv
5、e application, certain flexibility and diversity, mastery of mathematics knowledge of each part, played a very good role in promoting. In solving the problem, according to the questions set structure characteristics, and conclusion inner relation, selection of the appropriate solution, finally go to
6、 solve or proof of inequality. But the inequality proof method, flexible, and a lot of content combination, so the concrete analysis of concrete problems is the essence of the proof of inequality. Embodiment of proving inequalities are also all kinds of method of thinking, so difficult. The way to s
7、olve this problem is to master the nature of inequality and some basic inequalities, flexibility in the use of commonly used methods of proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Methods in the elementary mathematical proof inequality to the commonly used are: the
8、 comparative method, for commercial, analysis, synthesis method, mathematical induction method, reduction to absurdity, change element method, change the shrinkage method, the discriminant method, function method, geometric method and so on .In equality in higher mathematics proof is usually used in
9、 the mean value inequality, Taylor formula, Lagrange function, as well as some proof of inequality, such as: mean inequality, Cauchy inequality, Bernoulli inequality, thus making the method to prove inequality more perfect, is favorable for us to further explore and research proof of inequality, thr
10、ough the study of these methods, we can to solve some practical problems, develop logical reasoning ability and abstract thinking ability and develop diligent in thinking, good at thinking of good learning habits.Keywords: Middle school mathematics；Inequality；The proof method；Function引言众所周知，在自然界中存在着
11、大量的不等量关系，不等关系是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩基础上，本文对各种方法进行了归纳与总结。证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强。所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果
12、索因”，后者是“由因导果”，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。【2】通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提高分析问题解决问题的能力。在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。1、预备知识1.1不等式的概念用不等号（如“ ”、“ ”、“”、“”等）连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“”或“”连接的式子叫严格不等式；用“ ”或“ ”连接的不等式叫做非严格不等式。31.2不等式的性质性质1:如
13、果ab,bc,那么ac.（不等式的传递性）.性质2：如果xy,那么yx;如果yy; 性质3:b,而c为任意实数或整数，那么a+cb+c（不等式的可加性）. 性质4:b,c0,那么acbc;性质5：d,那么a+cb+d. 性质6:b0,cdbd. 性质7:0,nN,n1,那么anbn.性质8：a0 1/a 0,则（a+b）/2 ,当且仅当a=b时,等号成立.（3）若a,b,cR,则（a+b+c）/3 ,当且仅当a=b=c时，等号成立。 推广到n个正数x1,x2,x3,x4,xn,（x1+x2+x3+.+xn ）/n 当且仅当 x1=x2=x3=x4=xn时，等号成立。1.4几个重要不等式1.4.
14、1柯西不等式（1）二维形式 若a,b,c,d都是实数，则（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2,当且仅当ad=bc时，等号成立。（2）三角不等式:x1,y1,x2,y2R,那么+ （3）柯西不等式的一般形式：设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3bn是实数，则（a12+a22+a32+an2） （b12+b22+b32+bn2）（a1b1+a2b2+a3b3+anbn）2,当且仅当bi=0（i=1,2,n）或存在一个实数k使得ai=kbi（i=1,2,n）时，等号成立。1.4.2伯努利不等式对任意整数n0任意实数x-1,有（1+x）n1+nx成立；如果n0是偶数，则不等式对任意实数x
15、都成立。可以看到在n=0,1或x=0时等号成立，而对任意正整数n2和任意实数x-1，x0，有严格不等式：（1+x）n1+nx.伯努利不等式的一般式为:（1+x1+x2+x3+xn）（1+x1）（1+x2）（1+x3）（1+xn）当且仅当n=1时等号成立。42、证明不等式的常用方法 不等式的证明没有固定的程序，证法因题而异，灵活多样，技巧性强，其基本的手法是应用定义及其基本性质，并通过代数变换予以论证。52.1比较法 比较两个式子的大小,求差法、求商法与过度比较法都是最基本最常用的方法。2.1.1求差法 理论依据是不等式的基本性质：“若a-b0,则ab；若a-b0,则ab”.其一般步骤为：作差：
16、观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的乘积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段。 判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时。例1求证：x2+33x 证：（x2+3）-3x= x2-3x+（3/2）2-（3/2）2 +3=（x-2/3）2 +3/4x2+32.1.2求商法理论依据：“若a,bR+,a/b1,则ab；若a/b1，则ab”.一般步骤为：作商：将左右两端
17、作商； 变形：化简商式到最简形式；判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.当被证的不等式两端含有幂、指数式时。例2若a2,求证 （a-1）aa（a+1） 证： a2 a（a-1）0 a（a+1） （a-1）a/a（a+1）=1/a（a-1）/ a（a+1）=1/a（a-1）a（a+1） a（a-1） a（a+1） a（a-1）+ a（a+1）/22=a（a2-1）2/41故命题得证。说明：观察不等式的特点，a充当了真数和底，联想到an=1/na,进而用了作商法，作商比较法的变形主要是利用某些运算性质和性质，如函数的单调性等。2.1.3过度比较法若要比较的几个数能与某已知数相比较，则可利
18、用这个已知数作媒介进行比较。例3 比较0.60.5与0.50.6的大小 分析：0.60.5的底数大于0而小于1，真数也是大于0而小于1，那么0.60.50; 0.50.6也是一个大于0的数。针对这类体型我们选取的媒介往往是0或1，而这题我们选取介数1就可以进行比较了。解：0.60.5 0.60.6=10.50.6 0.50.5=10.50.6 0.60.52.2分析法1 .证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定这些条件是否成立的问题。如果能够肯定这些条件都已成立，那么就可以断定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。2. 用分析法证明
19、不等式的逻辑关系是：B B1 B2 B3 Bn A3. 分析法的思想：执果索因4. 分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有 这只需要证明命题B2为真，从而又有 这只需要证明命题A为真。而已知命题A为真，故命题B必为真。例4 +因为+和都是正数 所以为了证明只需证明（+）2（2）2即可 展开得10+2 20,即210, 2125 因为2125成立，所以（+）2 （a-b+c）2左 - 右 = 2（ab+bc-ac） a,b,c成等比数列 b2 = ac a,b,c都是正数，所以b0 ，且b = （a+c）/2 b 2（ab+bc-ac）=2（ab+bc-b2） = 2b
20、（a+c-b） 0 a2+b2+c2 此题在证明过程中应用了比较法、基本不等式、等比中项性质，体现了综合法证明不等式的特点。2.4缩放法 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。2.4.1放缩法的常见技巧（1）舍掉（或加进）一些项。（2）在分式中放大或缩小分子或分母。（3）应用基本不等式放缩。（4）应用函数的单调性进行放缩。（5）根据题目条件进行放缩。例6求证：1/12+1/22+1/32+1/42+1/n21/n21/n（n-
21、1）=1/（n-1）-1/n 1/12+1/22+1/32+1/42+1/n21+1-1/2+1/2-1/3+1/3+1/（n-1） - 1/n=2-1/n2.5反推法 前面讲的方法，属于不等式的直接证法。也就是说，有题设出发，经一系列的逻辑推理，得到要证的结果。但对于一些复杂的不等式，有时就难于直接入手得证，可以用间接的方法。常用的方法有反推法与反证法。所谓反推法就是先假定要证的结果。假设要证的不等式是成立的，然后由它出发推出一系列与之等价的不等式（即要求推理过程的每一步可逆），直到得到一个较容易证明的不等式或者一个明显成立的不等式。由于等价性，从最后的不等式成立，得知原不等式成立。这就是通
22、常所说的分析法。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。例7 已知a,b是不相等的正实数，且a3-b3=a2-b2,求证：1a+b0,b0, ab,且a3-b3=a2-b2即 （a-b）（a2+ab+b2）=（a+b）（a-b）a2+ab+b2=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2a+b a+b4/3 3（a+b）4 3（a+b）24（a+b） 3（a2+2ab+b2） （a-b）2 而（a-b）0一定成立，故a+b3/4 综上所述14/3。2.6数学归纳法 数学归纳法证明不等式的典型类型有两类，一类是与数列或数列求和有关的问题，另一类是函数迭代问题。凡是与数列
23、或数列求和有关的问题都可统一表述成f（n） -1时，不等式（1+x）n1+nx（n为自然数）成立，当且仅当x=0,式中取等号。当n=1时，（1+x）1 =1+x, 当n=2时, （1+x）2 =1+2x+x21+2x,设当n=k时，不等式成立，即有（1+x） k1+kx,那么当n=1+k时，1+x（1+x）1+k =（1+x）（1+x）k（1+x）（1+kx）=1+（1+k）x + kx21+（1+k）x（1+x）n 1+nx.显然在n1时，当且仅当x= 0时取等号。2.7反证法反证法的证题模式可以简要的概括为“否定 推理 否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定。2.7.1反证法的基本思路 否定之否定2.7.2反证法的步骤 否定结论 推导出矛盾 结论成立. 具体步骤：（1）反设：作出与求证结论相反的假设； （2）归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推导出矛盾； （3）结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。例9 设a3+b3 = 2,求证a+b 2。若a+b 2,则有a
