1、2.1.1 函数的概念和图象概念一、教学目标1、 知识与技能：了解函数产生的背景，掌握函数的概念、，特别是函数的三要素。会判断什么样的对应是函数。会求简单函数的定义域及值域。2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域。3、情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和
2、值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 .2、教学用具：投影仪 .四、教学思路（一）创设情景1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；（3）某市一天的气温与时间的变化关系问题3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系
3、？如何用集合的语言来描述？（二）探求新知1、函数的有关概念（1） 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function）记作：y=f（x），xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）| xA 叫做函数的值域（range）强调：任意性；唯一性。思考：课本例1 ，对照定义说明理由。注意： “y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；函数符号“y=f（x）”
4、中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x（2）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？一次函数：y=ax+b （a0）；二次函数：y=ax2+bx+c （a0）； 反比例函数：y= （k0）（3）函数三要素：由定义，构成函数需要几个要素？如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。例：由此，两个函数相同的条件是什么？思考：函数与函数是同一函数吗？ 函数与是同一函数吗？2函数的定义域如果函数对应法则可以用解析式表示出来，那么要确定这个函数，还必须给出定义域。如果给出了解析式，但未给出定义域，那么我们
5、就认为其定义域就是使其解析式有意义的的取值集合。例：求函数f （x） = +的定义域。 设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.引导学生小结几类函数的定义域：如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集R .如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .如果f（x）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合.如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）满足实际问题有意义.3函数的解析式函数“”表示y是x的函数,可简记为，这里“”即对应法则；
6、“f”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义；如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用、等等来表示；当自变量x在定义域内取某一确定的值a时，对应的函数值用来表示，如：，则，4函数的值域求下列函数的值域 ； 。由此，进一步强调函数值域的意义。（三）学以致用例1 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A BC D 从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不是同一函数例2 已知求；求、；若，求的值。准确理解对应法则“f”的意义。例3 求下列函数的定义域：f（x） = ； ；。 求函数定义域的几个原则；函数的定义域一般应用集合或区间表示（四）巩固深化课本练习第37
7、题（五）归纳小结从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。 （六）承上启下1、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、值域和对应关系。2、课课练第1、2课时。2.1.1 函数的概念和图象定义域和值域2、 知识与技能：（1）进一步理解函数的概念。（2）会求函数特别是复合函数的定义域。（3）掌握求函数值域的常见方法。（1）通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。（2）在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。让学生感受数形结
8、合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。函数值域的常见方法。复合函数的定义域，判别式法的发现。复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得到？1、函数的定义域例1求下列函数的定义域： ； 变题1：若，求的定义域。 变题2：若的定义域是，则的定义域是_。练习：若的定义域是，则的定义域是_。若的定义域是，则的定义域是_。若的定义域是D，则的定义域是_。2函数的值域例2求下列函数的值域：；变题1：函数的值域是_.变题2：一般地，函数的值域是_.例3求函数的值域思考1 根据函数关系你能在值域C中找到几个值吗？例如？思考2 有谁找到了一个数不在C中呢？又为何？思考3 由此,给定一个值y,你怎
9、样来判断它是否是值域C中的元素呢?（只需判断关于x的方程是否在定义域内有实数解就可以了）.解：由得 若，则，方程有解，在函数值域中； 若，为使方程有解，只须,解得 综合得，所求函数的值域是指出：从函数概念看,函数的值域就是定义域中任一自变量x在对应法则“f”作用下的象的集合,即值域C中每一个y的值,根据对应法则“f”都有原象x与之对应.因此,函数的值域就是使方程在定义域内有解的y的取值范围.如果此方程是关于x的二次方程,则方程有解的充要条件就是判别式,由此求出函数的值域.这种求函数值域的方法,我们叫做“判别式法”.一般地，二次分式函数 ，常化为关于x的二次方程，然后根据方程有解的条件，利用判别
10、式法求解。思考4：如何求函数的值域？如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如的函数求值域例4：求函数的值域 分析：本题中所给函数是无理函数，一般应考虑有理化你是否试图通过移项平方来实施？这样做往往会使函数的定义域扩大，从而影响函数的值域，处理时要特别细心能否通过其他方法来实现有理化呢？换元！是我们常用的手段之一yt1O设，则， ，其中画出二次函数在上的图象（如图）可见，当时y取得最大值1，所以原函数的值域是1换元法是处理无理函数问题时常用的方法2本题中在得到关于的二次函数后，由于其定义域不是R，而是，这时应结合二次函数的图象观察得出结果如果忽视了定义域问题，得出，那就错了！3请你思
11、考下面的问题：引申：若关于x的方程有解，求常数a的取值范围析 设函数，则方程何时有解等价于：当a取何值时，在函数的定义域中存在自变量x与之对应由函数值域的定义可知，所求a的取值范围就是函数的值域，a的取值范围就是（三）巩固深化1若函数的定义域是，则函数的定义域是 2求函数的值域（四）归纳小结通过本课的学习，你学会了哪些知识？具体解题时应注意哪些问题？（五）布置作业1下列四个函数：；其中，定义域和值域相同的是 （ ） A B C D2有下列四个命题：的值域是；的值域是；的值域是R；的值域是其中正确命题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D43函数的值域是 4若函数的值域是，则其定义域是 5求下列
12、函数的定义域：6求下列函数的值域：7已知函数的定义域为，求函数的定义域8求下列函数的值域：。2.1.2 函数的表示法（1）解析法一教学目标1知识与技能（1）明确函数的三种表示方法及其优点；（2）明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。2过程与方法：通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。3情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想方法。二教学重点和难点教学重点：求函数解析式的常见方法。教学难点：能根据条件进行恰当分类，能准确注明函数的定义域。三学法及教学用具1学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标2教学用具：圆规、三角板、投影仪
13、四教学思路 前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要再一起共同讨论？回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？1. 函数的表示法函数有哪些表示方法？表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种三种方法各有何特点？解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）阅读课本例1：某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数2求函数解析式的方法例1根据下列条件，求
14、函数的解析式：已知，求；已知是一次函数，且，求；已知，求设，则，, 设，则，由 得 在 中，以换x得 由，消去得 求解析式的方法较多，关键是根据题目特点灵活进行选择，如本例中的3个小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法求函数解析式时，同时要注明函数的定义域在用换元法求解时，最后得到的的解析式中，自变量x实际上是由t“换”来的，因此必须由t的范围来确定的定义域例2已知函数 满足求的解析式；求的定义域、值域析：本题若采用换元法，令，则难以用t来表示出x，注意到，从而.为确定函数的定义域，必须求出的值域，可考虑用判别式法：由，得：由，得，的定义域是，又，即值域为 此题是先“配凑”再换元，要特别注意
15、其定义域例3 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x,y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的表达式。只需令，可得。本题采用了赋值法。例4 某地的出租车按如下方法收费：在3km以内（含3km）的路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出以行车里程x（km）为自变量,车费y（元）为函数值的函数解析式。答案：评 此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论1根据下列条件求函数的解析式：2为配合客户不同需要，某电信公司有A、B两种优惠计划供客户选择： 计划A计划B服务项目即时直接通话+自动数字传呼基本月租费50元98元免费通过时间首6
16、0分钟首300分钟以后每分钟收费0.40元请根据上面提供的信息，解答下列问题： 通话时间超过多少分钟时，计划B比计划A更省钱？若用户决定选择计划B，则通话多少时间可比选择计划A便宜得最多？最多便宜多少钱？通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？先根据题意，分别求出A、B两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计算它们之间的差值，再作出回答设A、B两计划付费金额关于通话时间x（分钟）的函数分别为和，依题意： ，易见，当，； 当，由即得；当时， 当通话时间超过180分钟，计划B比计划A更省钱由，当时；当通话时间在300分钟以上时，计划B比计划A便宜得最多，最多便宜48元钱通过以上研究，若通话时间
17、在180分钟以内，则选择计划A；若通话时间超过180分钟，则选择计划B（1）理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。（2）能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。（五）承上启下 （1）作业：课课练第3、4课时。（2）下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。2.1.2 函数的表示法列表法与图象法掌握函数图象的画法；了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关系，解决实际问题。通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。让学生感受到学习函数表示的必要性，初步学会数学建模，渗透数形结合思想方法。根据函数解析式描
18、绘函数的图象。根据实际问题，建立函数解析式。1 是否所有函数都能用解析式表示？你能举出一个不能用解析式表示的函数吗？ 2表示函数的方法除解析法外，还有哪些方法？ 3回顾已学初等函数的图象画法。1什么叫函数的图象函数的图象即集合（为定义域）表示的图形。2直线与函数图象有几个交点？课本练习4例1.试画出下列函数的图象 。函数的定义域；实心点与虚心点。中涉及的二次函数与函数的图象有何关系？一般地，函数与的图象有何关系？例2试画出函数的图象。试画出函数的图象。例3. 画出下列函数的图象：先对函数式进行化简，然后利用一些常见函数的图象来作出-2-1-332ox（例3）（例3）（例3）思考1：函数、的值域
19、是_.思考2：试讨论方程（常数）的解的个数。评：本例几个函数的解析式所反映的函数关系不够明朗，通过化简变形使函数关系明朗化，从而利用已学几个函数的图象即可作出它们的图象题中小题都为分段函数，它们的图象是由几部分拼接而成的注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数较为准确地作出函数的图象，为用数形结合思想解题提供了可能例4某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价x（元）与日销售量y（件）之间有如下关系：3034404550604815根据表中提供信息，试确定y与x的一个函数关系式；设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？本例以表格的形式给出了日销量y与销售单价x之间的对应关系，二者之间的函数关系不甚明显 可先在直角坐标系中作出该函数的图象，通过观察其图象特征，找到相应的函数模型，从而求出函数的解析式10
