1、已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂6、函数单调性法 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值
2、域中同样发挥作用。例 求函数y=x+的值域。8 数形结合法 例求函数y=+的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了
3、吗？ 切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：（1）定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与1的关系（2）参照图象：若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f（x）的图象关于直线xa对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）（3）利用单调
4、函数的性质：函数f（x）与f（x）c（c是常数）是同向变化的函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；如果负值函数f1（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；（函数相乘）函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。若函数u（x），x，与函数yF（u），u（），（）或u（）,（）同向变化，则在，上复合函数yF（x）是递增的；若函数u（x
5、）,x，与函数yF（u），u（），（）或u（），（）反向变化，则在，上复合函数yF（x）是递减的。（同增异减）若函数yf（x）是严格单调的，则其反函数xf1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f（g）g（x）fg（x）f（x）+g（x）f（x）*g（x） 都是正数增减/）16. 如何利用导数判断函数的单调性？值是（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 a的最大值为3）17. 函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f（x）定义域关于原点对称） 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。判
6、断函数奇偶性的方法一、 定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、 奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.三、 复合函数奇偶性f（x）*g（x）奇偶非奇非偶18. 你熟悉周期函数的定义吗？函数，T是一个周期。）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：，同时可能也会遇到这种样子：f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是
7、说同样一个意思：函数f（x）关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。 如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？ 联想点（x,y）,（-x,y） 联想点（x,y）,（x,-y） 联想点（x,y）,（-x,-y） 联想点（x,y）,（y,x） 联想点（x,y）,（2a-x,y） 联想点（x,y）,（2a-x,0）（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接
8、令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 注意如下“翻折”变换：19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （k为斜率，b为直线与y轴的交点）的双曲线。 应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程求闭区间m，n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 由图象记性质！ （注意底数的限定！ 20. 你在基本运算上常出现错误吗？21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了1、 代y=x，2、 令x=0或1来求出f（0
9、）或f（1）3、 求奇偶性，令y=x；求单调性：令x+y=x1 例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1） 2求f（x）在区间2,1上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x2，f（3） 5，求不等式 f（a22a2）3的解.先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）3；最后脱去函数符号.例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f
10、（1）1，f（27）9，当0x1时，f（x）0，1.（1） 判断f（x）的奇偶性；（2） 判断f（x）在0，上的单调性，并给出证明；（3） 若a0且f（a1），求a的取值范围.（1）令y1； （2）利用f（x1）f（x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；对任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 对任意值x，判断f（x）值的符号.（1）令x= y0；（2）令yx0例6设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（
11、2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范围.（1）利用313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f（x）（x0）满足f（xy）f（x）f（y），（1） 求证：f（1）f（1）0；（2） 求证：f（x）为偶函数；（3） 若f（x）在（0，）上是增函数，解不等式f（x）f（x）0.函数模型为：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y
12、 1；（3） 由f（x）为偶函数，则f（x）f（|x|）.例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，求证：（1） 当x0时，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是减函数.（1）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指数函数单调性的启发：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），进而由x1x2，有f（x1x2）1.练习题：1.已知：f（xy）f（x）f（y）对任意实数x、y都成立，则（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y总有f（xy）f（x）f（y），则下列
13、各式中错误的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）1，则当x0时，f（x）的取值范围是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2），则f（x）为（ ）（A）奇函数非偶函数 （B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（xy）f（xy）2f（x）f（y），则函数f（x）是（ ）参考答案：1A2B3C4A5B13
