1、含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a Au 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或B）注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA2“相
2、等”关系：A=B （55，且55，则5=5）实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。A真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA） 或若集合AB，存在xB且x A，则称集合A是集合B的真子集。如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B
3、的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB）全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，CSA=韦恩图示S性 质A A=A A =A B=BAA BA A BBAUA=A AU=AAUB=BUA AUBAUBB（CuA）（CuB）= Cu（AUB）（CuA） U （CuB）= Cu（AB）AU（CuA）=UA（CuA
4、）=四：函数的有关概念1 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f（x），xA（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应
5、定义域的特征。4、函数图象知识归纳在平面直角坐标系中，以函数 y=f（x） , （xA）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y）的集合C，叫做函数 y=f（x）,（x A）的图象C上每一点的坐标（x，y）均满足函数关系y=f（x），反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点（x，y），均在C上 . （2） 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 （3）函数图像变换的特点： 1）函数y=f（x） 关于X轴对称y=-f（x） 2）函数y=f（x） 关于Y轴对称y=f（-x） 3）函数y=f（x） 关于原点对称y=-f（-x）五：函数的解析表达式，
6、及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4）拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零； （3）对数式的真数必须大于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. （5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
7、（6）指数为零底不可以等于零， （7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 （两点必须同时具备）4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示六：1值域 : 先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围。（3）配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。（4）代换法（换元法）：
8、作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。七1.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f（u）（uM）,u=g（x）（xA）,则 y=fg（x）=F（x）（xA） 称为f、g的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：2映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f
9、（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数八函数的单调性（局部性质）及最值1、增减函数（1）设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数.区间D称为y=f（x）的单调增区间.（2）如
10、果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、 图象的特点如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法（A） 定义法： 任取x1，x2D，且x11，且*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号
11、表示。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a0）。负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）；（2）；（3）5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。十二：指数函数的性质及其特点（1）1、指数函
12、数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：（1） （2） （3） （4） （5）图像特征a10a0，ax0， ax 在第二象限内图像纵坐标都小于1。在第二象限内图像纵坐标都大于1。x0，ax 1时，若X1X2 ,则有f（X1）f（X2）。二、对数函数（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数
13、u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 N b 底数 指数 对数（二）对数的运算性质如果，且，那么： ； ； 换底公式 （，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）（二）对数函数1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：，且2、对数函数的性质：定义域x0值域为R在R上递增在R上递减函数图象都过定点（1，0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴
