1、15. 已知双曲线 的右顶点为 ，过右焦点 的直线 与 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点 ，则 16. 已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，若直线 与双曲线 交于 ， 两点，且四边形 是矩形，则双曲线的离心率为 17. 已知双曲线 的离心率为 ，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点设 ， 到双曲线同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 18. 已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 若经过 和 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 19. 过双曲线 的一个焦点作直线交双曲线于 ， 两点，若 ，则这样的直线有 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条20.
2、 已知双曲线 的右焦点为 ，点 是虚轴上的一个顶点，线段 与双曲线 的右支交于点 ，若 ，且 ，则双曲线 的方程为 21. 已知 为坐标原点，双曲线 上有一点 ，过点 作双曲线 的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为 ，若平行四边形 的面积为 ，则双曲线 的离心率为 22. 已知双曲线 ：， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线与 的两条渐近线的交点分别为 ，若 为直角三角形，则 23. 设 ， 是双曲线 的两个焦点，若曲线 上存在一点 与 关于曲线 的一条渐近线对称，则双曲线 的离心率是 24. 已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为
3、25. 过双曲线 的右焦点且垂直于 轴的直线与双曲线交于 ， 两点，与双曲线的渐近线交于 ， 两点，若 ，则双曲线离心率的取值范围为 26. 双曲线 与椭圆 的焦点相同，若过右焦点 且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有两个不同交点，由此双曲线实半轴长的取值范围是 27. 已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 ， 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的方程为 28. 若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围是 29. 已知双曲线 的两条渐近线与抛物线 的准线分别交于 ， 两点， 为坐标原点若双曲线的离心率为 ， 的面积为 ，则 30. 已知直线 与
4、双曲线 ： 交于 ， 两点，且 中点 的横坐标为 ，过 且与直线 垂直的直线 过双曲线 的右焦点，则双曲线的离心率为 31. 已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距离为 ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，则双曲线的焦距为 32. 已知 为双曲线 上任一点，过 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为 ，则 的值为 C. D. 与点 的位置有关33. 已知双曲线方程为 ，过 的直线 与双曲线只有一个公共点，则 的条数共有 34. 已知双曲线 的右焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为 的等边三角形（ 为原点），则双曲线方程为 35. 抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点
5、的连线交 于第一象限的点 若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 36. 双曲线 的左右焦点为 ， 是双曲线上一点，满足 ，直线 与圆 相切，则双曲线的离心率为 37. 已知双曲线 的顶点是 ，虚轴的一端点是 ， 为右焦点，若线段 （不含端点）上存在不同的两点 ，使得 和 均为以 为斜边的直角三角形，则双曲线的离心率 的取值范围是 38. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作平行于 的渐近线的直线交 于点 若 ，则 的离心率为 39. 已知“若点 在双曲线 上，则 在点 处的切线方程为 ”，现已知双曲线 和点 ，过点 作双曲线 的两条切线，切点分别为 ，则直线 过定点 40. 已知点
6、为双曲线 的对称中心，过点 的两条直线 与 的夹角为 ，直线 与双曲线 相交于点 ，直线 与双曲线 相交于点 ，若使 成立的直线 与 有且只有一对，则双曲线 离心率的取值范围是 二、填空题（共40小题；41. 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个焦点，且双曲线的离心率为 ，则该双曲线的方程为 42. 已知 为双曲线 的左焦点， 为 上的点若 的长等于虚轴长的 倍，点 在线段 上，则 的周长为 43. 抛物线 的弦 垂直于 轴，若 的长为 ，则焦点到 的距离为 44. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，则 ； 45. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ，则 ， 46.
7、 在平面直角坐标系 中，点 为抛物线 的焦点，则 到双曲线 的渐近线的距离为 47. 已知双曲线 ，直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点（ 在 的上方），且与 轴交于点 ，则 的取值范围为 48. 双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线相交于 ， 两点若 ，则双曲线的渐近线方程为 49. 设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上的一点，且 ，则 的面积等于 50. 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为 ，抛物线 的焦点为 若双曲线截抛物线的准线所得线段的长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 51. 已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 ， 两点，且 的中点为 ，则 的方程
8、为 52. 在双曲线 中，若过点 作弦 ，则弦 的最小值是 53. 已知双曲线 的两条渐近线均和圆 ： 相切且双曲线的右焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为 54. 平面内的直线 与双曲线 （，）最多有 个交点55. 设双曲线 的右顶点为 ，右焦点为 过点 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 ，则 的面积为 56. 过双曲线 的右焦点 的直线 与 只有一个公共点，则 的焦距为 ， 的离心率为 57. 已知曲线 （，且 ）与直线 相交于 ， 两点，且 （ 为原点），则 的值为 58. 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点与抛物线 的焦点相同则双曲线的方程为 59. 已知双曲线
9、的参数方程为 （其中 为参数， ），直线 过其左焦点 交双曲线的左支于 、 两点，且 ，点 为双曲线右焦点， 的周长为 ，则此双曲线的离心率为 60. 已知双曲线 的中心为原点， 是 的焦点，过 的直线 与 相交于 ， 两点若 的中点为 ，则双曲线 的标准方程为 61. 已知与向量 平行的直线 与双曲线 相交于 ， 两点，则 的最小值为 62. 若双曲线 的一个焦点为 ，则 63. 已知双曲线 的右顶点为 ，若该双曲线右支上存在两点 ， 使得 为等腰直角三角形，则实数 的取值范围为 64. 过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线于 ， 两点，若实数 使得 的直线恰有 条，则 65. 双曲线 的一
10、个焦点为 ，则 的值是 66. 已知点 ，点 ，且动点 满足 ，那么动点 的轨迹与直线 有两个交点的充要条件为 67. 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且以 为其一条渐近线，则双曲线方程为 ，过其右焦点且长为 的弦有 条68. 已知抛物线 的准线与圆 相切，双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长 69. 给出下列命题： 函数 既有极大值又有极小值，则 或 ； 若 ，则 的单调递减区间为 ； 过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围为 或 ； 双曲线 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，则 的最小值为 其中为真命题的序号是 70. 已知双曲线 的离心率为
11、， 为双曲线 的左、右顶点， 为双曲线 在第一象限上的任意一点 为坐标原点，若直线 ， 的斜率分别为 ，记 ，则 的取值范围是 71. 已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点，当 周长最小时，该三角形的面积为 72. 在平面直角坐标系 中，以直线 为渐近线，且经过抛物线 焦点的双曲线的方程为 73. 已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且以 为其一条渐近线，则双曲线方程为 ，过其中一个焦点且长为 的弦有 74. 设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则该双曲线的离心率是 75. 如图，双曲线 的两顶点为 ，虚轴两端点为 ，两焦点为 ，若以 为直径的圆内切于菱形 ，切点分别为
12、 ，则 （1）双曲线的离心率 （2）菱形 的面积 与矩形 的面积 的比值 76. 如图，点 ， 分别 为双曲线 的左右焦点，点 ， 分别为双曲线上三个不同的点，且 经过坐标原点 ，并满足 ，则双曲线的离心率为 77. 过双曲线 ： 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交 于点 若点 的横坐标为 ，则 的离心率为 78. 若曲线 与直线 有一个交点，则实数 的取值范围是 79. 设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 ，若点 满足 ，则该双曲线的离心率是 80. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若双曲线上存在一点 使 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 三、解答题（共20小题；共260分）81
13、. 已知双曲线 的中心是原点，右焦点为 ，一条渐近线 ，设斜率为 的直线 过点 （1）求双曲线 的方程；（2）若双曲线 与 无交点，求实数 的取值范围82. 已知直线 与双曲线 交于不同的两点 ，且线段 的中点在圆 上，求 的值83. 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 （1）求该双曲线 的方程；（2）若直线 ： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，求 的取值范围84. 过双曲线 的右支上的一点 作一直线 与两渐近线交于 ， 两点，其中 是 的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当 坐标为 时，求直线 的方程；（3）求证： 是一个定值85. 设 ， 分别为双曲线 的左，右顶点，双
14、曲线的实轴长为 ，焦点到渐近线的距离为 （1）求双曲线的方程；（2）已知直线 与双曲线的右支交于 ， 两点，且在双曲线的右支上存在点 ，使 ，求 的值及点 的坐标86. 设 ， 是双曲线 上的两点，点 是线段 的中点（1）求直线 的方程（2）如果线段 的垂直平分线与双曲线相交于 ， 两点，求 87. 已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上， 分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点 ，且 的面积为 ，又双曲线的离心率为 ，求该双曲线的方程88. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 ，（1）求双曲线 的离心率；（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 ， 于 ， 两点（， 分别在第一、四象限），
15、且 的面积恒为 试探究：是否存在总与直线 有且只有一个公共点的双曲线 ?若存在，求出双曲线 的方程89. 已知双曲线 的两个焦点分别为 ，双曲线 上一点 到 ， 的距离差的绝对值等于 （1）求双曲线 的标准方程；（2）经过点 作直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，且 为 的中点，求直线 的方程；（3）已知定点 ，点 是双曲线 右支上的动点，求 的最小值90. 已知双曲线 ： 的离心率为 ，实轴长为 ，直线 ： 与双曲线 交于不同的两点 ，（2）若线段 的中点在圆 上，求 的值；（3）若线段 的长度为 ，求直线 的方程91. 已知双曲线 ，它的弦 的长是实轴长的 倍，如果弦 所在的直线 过点 ，
16、求直线 的方程92. 在空中，取直线 为轴，直线 与 相交于 点，夹角为 ， 围绕 旋转得到以 为顶点， 为母线的圆锥面. 已知 直线 平面 ， 与 的距离为 ，平面 与圆锥面相交得到双曲线 . 在平面 内，以双曲线 的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为 轴，建立直角坐标系（2）在平面 内，以双曲线 的中心为圆心，半径为 的圆记为曲线 ，在 上任取一点 ，过点 作双曲线 的两条切线交曲线 于两点 、 ，试证明线段 的长为定值，并求出这个定值93. 设 ， 分别为双曲线 的左，右顶点，双曲线的实轴长为 ，焦点到渐近线的距离为 94. 已知点 和 ，动点 到 ， 两点的距离之差的绝对值为 ，
17、记点 的轨迹为 （1）求轨迹 的方程；（2）设 与直线 交于两点 ，求线段 的长度95. 已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左，右焦点分别是 的左，右顶点，而 的左，右顶点分别是 的左，右焦点 与双曲线 恒有两个不同的交点 和 ，且 （其中 为原点），求 的取值范围96. 已知双曲线 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，虚轴长为 （2）若直线 与双曲线 相交于 ， 两点（， 均异于左、右顶点），且以 为直径的圆过双曲线 的左顶点 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标97. 已知双曲线 ，过点 的直线 与双曲线 相交于 ， 两点（1）若 ，求直线 的方程；（2）若点 ， 在 轴的同一侧，
18、求直线 的斜率的取值范围98. 双曲线 的两个焦点分别为 ，离心率为 （1）求双曲线 的渐近线方程；（2）过点 能否作出直线 ，使 与双曲线 交于 两点，且 ?若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由99. 已知双曲线 的一个焦点是 ，且 （2）设经过焦点 的直线 的一个法向量为 ，当直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ， 时，求实数 的取值范围，并证明 中点 在曲线 上；（3）设（）中直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，问是否存在实数 ，使得 为锐角?若存在，请求出 的取值范围；若不存在，请说明理由100. 是双曲线 上一点， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 ， 的斜率之积为 .（1）
19、求双曲线的离心率（2）过双曲线 的右焦点且斜率为 的直线交双曲线于 ， 两点， 为坐标原点， 为双曲线上一点，满足 ，求 的值答案第一部分1. C 2. A 【解析】依题意得 所以双曲线的方程为3. A 4. B 【解析】因为抛物线 的准线方程为 ，则在双曲线中有 ，又因为双曲线 的渐近线为 ，所以 ，联立解得 所以双曲线的方程为 5. A 【解析】由题意，得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 6. C 【解析】提示：，所以 ，所以 7. C 【解析】渐近线为 ，可求得 ，再根据双曲线的定义，于是可得 或 （舍）8. C 【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，若直线与双曲线相交，数形结合，得 9. B
20、 【解析】由 ，可得 ，所以 ，即 ，又 ，所以双曲线的离心率 10. A 【解析】双曲线的一条渐近线方程为 .则与直线 的交点坐标为 ，所以 ，所以 ，则抛物线方程为 ，则抛物线方程为 .11. D 【解析】由题意过双曲线 的左焦点 作直线 与双曲线交于 ， 两点，使得 ，若这样的直线有且仅有两条，可得 ，并且 ，解得 ，或 ，并且 ，解得 ，综合可得，有 条直线符合条件时，12. C 13. B 【解析】提示： 是锐角，14. D 【解析】提示：圆心 到双曲线的一条渐近线 的距离为 ，再结合 ，即可求得15. B 【解析】由双曲线 ，可得 ，故 ，所以 ，渐近线方程为 ，不妨设 的方程为
21、，代入方程 ，解得：所以 16. C 17. C 18. B 【解析】设双曲线的左焦点 ，离心率 ，则双曲线为等轴双曲线，即 ，双曲线的渐近线方程为 ，则经过 和 两点的直线的斜率 ，则 ，则 ，所以双曲线的标准方程：19. B 20. D 21. D 【解析】渐近线方程是 ，设 ，过点 且平行于 的直线为 ，则 的方程为 ，设 与渐近线 的交点为 ，则 ， 点到 的距离是 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 22. B 23. D 【解析】设 ，渐近线方程为 ，对称点为 ，即有 ，且 ，解得：，将 ，即 ，代入双曲线的方程可得 ，化简可得 ，即有 ，解得 24. D 【解析】提示：
22、，联立可求25. B 【解析】将 代入 得 ，不妨取 ，将 代入双曲线的渐近线方程 ，得 ，因为 ，所以 ，即 ，则 ，26. A 【解析】椭圆 的半焦距 要使直线与双曲线有两个交点，需要双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即 ，即 ，所以 ，整理得 ，所以 又 ，则此双曲线实半轴长的取值范围是 27. D 【解析】方法一：如图所示，由 得 根据对称性得四边形 的面积为 ，故双曲线的方程为 方法二：设 所以 ，由点 在双曲线的渐近线 上，得 四边形 的面积为 由 得 ，28. D 【解析】因为双曲线 与直线 无交点，所以由题意可得，又因为 ，所以离心率 的取值范围是 29. C 【解析】由题意得 ，又因为 ，所以 30. B 【解析】设 ，由 ， 代入双曲线方程，作差整理可得 ，化简得 ，即 ，有 ，得 31. B 【解析】由双曲线的左顶点 与抛物线焦点 的距离为 ，得 由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，得 由解得 ，焦距为 32. C 【解析】设 ，则 ，即 ，由双曲线 的渐近线方程为 ，则由 解得交点 ；由 解得交点 ，则有33. B 【解析】如图， 为过点 分别与渐近线平行的
