1、（二）角平分线垂线，等腰三角形必呈现延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF射线OB例1、如图，在ABC中，ABC3C，AD是BAC的平分线，BEAD于F .求证：例2、如图，在ABC中，BAC的角平分线AD交BC于点D，且ABAD，作CMAD交AD的延长线于M. 求证：（三）角分线，分两边，对称全等要记全两个图形飞辅助线都是在射线ON上取点B，使OBOA，从而使OACOBC .1、如图，在ABC中，BAC=60，C=40，AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q，求证：ABBPBQAQ .2、如图，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBP
2、C与ABAC的大小，并说明理由 . 1、在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，P是线段AD上任意一点（不与A重合）.ABACPBPC .2、如图，ABC中，ABAC，A100，B的平分线交AC于D，ADBDBC .3、如图，ABC中，BCAC，C90，A的平分线交BC于D，ACCDAB .二、等腰直角三角形模型（一）旋转中心为直角顶点，在斜边上任取一点的旋转全等：操作过程：（1）将ABD逆时针旋转90，得ACM ABD，从而推出ADM为等腰直角三角形.（2）辅助线作法：过点C作MCBC，使CMBD，连结AM.（二）旋转中心为斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：连结AD.（1）使BF
3、AE（或AFCE），导出BDF ADE.（2）使EDFBAC180，导出BDF ADE.1、如图，在等腰直角ABC中，BAC90，点M、N在斜边BC上滑动，且MAN45，试探究 BM、MN、CN之间的数量关系.2、两个全等的含有30，60角的直角三角板ADE和ABC，按如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC. 试判断EMC的形状，并证明你的结论.1、已知，如图所示，RtABC中，ABAC，BAC90，O为BC中点，若M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持ANCM.（1）试判断OMN的形状，并证明你的结论.（2）当M、N分别在线段AC、AB上
4、移动时，四边形AMON的面积如何变化？2、在正方形ABCD中，BE3，EF5，DF4，求BAEDCF为多少度.（三）构造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以构造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角形.（四）将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：A、例题应用1、如图，在等腰直角ABC中，ACBC，ACB90，P为三角形ABC内部一点，满足PBPC，APAC，求证：BCP15 .三、三垂直模型（弦图模型）已知：如图所示，在ABC中，ABAC，BAC90，D为AC中点，AFBD于点E，交BC于F，连接DF .ADBCDF .变式1、已知：如图所示，在AB
5、C中，ABAC，AMCN，AFBM于E，交BC于F，连接NF .（1）AMBCNF；（2）BMAFFN .变式2、在变式1的基础上，其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P，（1）PMPN；（2）PBPFAF .四、手拉手模型1、ABE和ACF均为等边三角形结论：（1）ABFAEC . （2）BOEBAE60 （3）OA平分EOF .（四点共圆证）拓展：ABC和CDE均为等边三角形 （1）ADBE； （2）ACBAOB； （3）PCQ为等边三角形； （4）PQAE； （5）APBQ； （6）CO平分AOE；（四点共圆证） （7）OAOBOC； （8）OEOCOD .（7），（8）需构造等
6、边三角形证明）例、如图，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM以AB为一边向外作等边三角形ABE，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN（1）求证：AMBENB；（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为ABC的费尔马点若点M为ABC的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图，分别以ABC的AB、AC为一边向外作等边ABE和等边ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为ABC的费尔马点试说明这种作法的依据2、ABD和ACE均为等腰直角三角形（1）BECD；（2）BECD .3、四边形ABEF和
7、四边形ACHD均为正方形（1）BDCF；（2）BDCF .变式1、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，ASBC交FD于T，（1）T为FD中点；（2）变式2、四边形ABEF和四边形ACHD均为正方形，T为FD中点，TA交BC于S，ASBC .4、如图，以ABC的边AB、AC为边构造正多边形时，总有：五、半角模型条件：两边相等 .思路：1、旋转延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF 将ADN绕点A顺时针旋转90得ABF，注意：旋转需证F、B、M三点共线（1）MNBMDN； （2）； （3）AM、AN分别平分BMN、MND .2、翻折（对称）作APMN交MN于点
8、P 将ADN、ABM分别沿AN、AM翻折，但一定要证明M、P、N三点共线 .例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MNBMDN，（1）MAN45 （3）AM、AN分别平分BMN和DNM .变式：在正方形ABCD中，已知MAN45，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，AHMN，垂足为H，（1）试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；（2）求证：ABAH例2、在四边形ABCD中，BD180，ABAD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且满足EFBEDF，求证：在四边形ABCD中，B90，D90，ABAD，若E、F分别为边BC、CD上的点，且，求证：EFBEDF .
