1、图1.1机械系统图1.2要求完成的任务（1）推导传递函数 Y（s）/X（s） , X（s）/P（s）,（2） 给定 m=0.2g,b2 = 0.6N *s/m,k1 = 8N/m,k2 = 5N / m，以 p 为输入u（t）（3）用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。（4）求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。（5）对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含 Matlab源 程序或Simulink仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3任务分析由初始条件和要求完成的主
2、要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析， 列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代 入，即可得出Y（s）/X（s），X（s）/P（s）两个传递函数。由于本系统是一个单位负 反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在 MATLAB中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系 统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的 截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单自由度有阻尼振系的力学模型如图 2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器以物体的平衡位
3、置0为原点，建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为mx = ex kx （2-1）式中：ex为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。2-1（2-2）将上式写成标准形式，为mx ex kx 二 0令p2= , 2n =,则上式可简化为m mx 2n x p2 = 0 （2-3）这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取 x = est，其中s是待定常数。代入（2-1）式得（s2 2ns p2）est = 0,要使所有时间内上式都能满足，必须s2 2ns p2 =0，此即微分方程的特征方程，其解为S,2 = _n”n2 _ p2 （2-4）于是微分方程（2-1 ）的通解为st _nt , n2
4、_p2t in2 _p2t、+ c2e2 =e （c1e +c2 ）式中待定常数C1与C2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式,n2二p2是实数、零、还是虚数。对应的根 si与S2可以是不相等的负实根、相 等的负实根或复根。若si与S2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系 数，记为Cc,即Cc= 2mp。引进一个无量纲的量 ,称为相对阻尼系数或阻尼比。当np或 1根式.n2 -p2是实数，称为过阻尼状态，当 nvp或 1，即n2 - p2 C2,C1n,或1。利用欧拉公式可将（2-2）式改写为2 2_n t）（ 2-10）i p22t C2e2 卩）乂1込；p2匚n2t DzS
5、inp或x 二 Aesi n （p2 - n2t ） （ 1-11）令 Pd =jp2 - n2，贝Ux 二 Aesi npdt ） （2-12）式中A与为待定常数，决定于初始条件。设t= 0时，X = X0， x = x0，则可求得Ax2 （X。nx0）2,-tg （2-13）V Pd X。+ nx。将A与代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式 （2-13）可知， 系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线_Ae之内随时间不 断衰减的衰减振动。如图3-3所示。XXorI1tiLJy图2-3这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为巳=p2 一 n2 =P , 2
6、（2-14）式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面： 一方面是阻尼使自由振动的 周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例 =n/p=0.05 时,fd=0.9990f,Td=1.00125T;而在 =0.20 时,fd=0.98f ,Td=1.02T, 所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计， 即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相 等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著， 阻尼使振幅随着时间不（2-16）断衰减，其顺次各个振幅是
7、：t=t1 时，A1=Ae-nt1; t=t1+Td 时，A2=Ae（t1 Td）;t=t1+2Td 时，A3=Ae（t1 2Td），.。而相邻两振幅之比是个常数。即= Aj/Aj1 =enTd式中n称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振 幅衰减也越快。当 =0.05时，n= 1.37, A2=Ai/1.37=0.73Ai,每一个周期内振 幅减少27%,振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3% 可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（2-6）式的自然对数以避免取指 数的不便，即二 Ln （Aj/Aj .J 二 nTd （2-17）式中S称为对
8、数减幅或对数衰减率。将Td =2二 / . p2 - n2 代入，得:=2 n/、p2 -n2 =2二 / .J- 2 （2-18）当 num=5;de n=（0.6,5）; margi n（nu m,de n） %画系统的开环对数幅频、相频特性运行结果如图3-1图3-1 Y（s）/X（s）的开环波特图（2）对于 X（s）/P（s）:G（s）= num=0.6,5;de n=（ ）;行结果如图3-2所示：3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断（1）对于 丫（s）/X（s）画奈奎斯特图时MATLAB语句如下: den=0.6,5; nyq uist （nu m,de n）运行结果如图3-3所示：故
9、P=O，从 变到 时，系统的开环幅相曲线不能包围（-1,0）点周数N=o,则系统位于右半平面的闭环极点数为：Z=P-2N=0,故系统是稳定的。（2）对于 X（s）/P（s）画奈奎斯特图时MATLAB语句如下： nu m=0.6,5; den= ;运行结果如图3-4所示：，由于系开环传函 G（s）=统开环传递函数不存在右半平面的极点，故 P=0， 从 变到 时，系统的开 环幅相曲线不能包围（-1, jO）点周数N=0，则系统位于右半平面的闭环极点数 为:4.系统开环频率特性各项指标的计算（ 1）对于 Y（s）/X（s） ： （ ）计算各项频率指标时采用的 MATLAB 语句如下 :den=（0.
10、6,5）; margin（num,den）; gm,pm,wcg,wcp=margin（num,den）计算幅值裕度 gm（ ）、相位裕度 pm（ ）、穿越频率 wcg（ ）、截止频率 wcp（ ）运行结果gm =Infpm =180wcg =NaN wcp =由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为 0，相位裕度为 180 是正值，故系统稳定。（2）对于 X（s）/P（s） :de n=（1.2*10八-4,10八-3,10.8,40）计算幅值裕度 gm（ ）、相位裕度 pm（ ）、穿越频率 wcg（ ）、截止频率 wcp（ ） 运行结果15.6933wcp =307.8588 由结果可知
11、该系统幅值裕度为无穷，截止频率为308rad/s,相位裕度为15.7是正 值，故系统稳定。总结本次课设是对一个弹簧 -质量 -阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根 据这个实际的机械系统的受力分析得出它的受力微分方程， 对其进行拉普拉斯变 换，可以得出传递函数。 在求开环传递函数的过程中我遇到了一些困难， 在老师 的指点和同学的帮助下我发现自己其实把问题想得过于复杂了， 原来这是一个单 位负反馈的稳定系统，求出的传递函数即为开环传函。接下来便是 MATLAB 的 应用，利用 MATLAB 可以轻松地对系统做出频率特性分析，画出 Bode 图和奈 奎斯特图，并通过奈奎斯特判据判断闭环系统的稳定
12、性。也可以利用 MATLAB 语句直接求出各项频率特性指标， 从而可以进一步对系统做出分析， 完成既定目 标。通过本次课设，加强了我对 MATLAB 程序的应用能力，这是一款功能强大 而又实用性很强的程序， 对于我们专业的学习有着很强的帮助性； 另一方面也加 强了我对课本理论知识的理解，通过 MATLAB 的分析也印证了平时自己学习理 论知识时所用分析方法的正确性。最后通过本次课设也提高了我个人独立思考、 查阅资料和解决问题的能力，使我受益匪浅。1 王子才 . 控制系统设计手册 . 北京：国防工业出版社， 19932 王树青，乐嘉谦 . 自动化与仪表工程师手册 . 北京：化学工业出版社， 20103黄德先等. 过程控制系统 . 北京：清华大学出版社， 20114蒋慰孙，俞金寿 . 过程控制工程 . 第二版 . 北京：中石化出版社， 20045黄德先等 . 化工过程先进控制 . 北京：化学工业出版社， 20066王孝武，方敏，葛锁良 .自动控制理论 .北京：机械工业出版社 .20097胡寿松 .自动控制原理（第五版）8.科学出版社 .2007胡寿松 .自动控制原理习题解析
