1、万有引力定律在天文学上的应用万有引力定律在天文学上的应用本节教材分析这节课通过对一些天体运动的实例分析，使学生了解：通常物体之间的万有引力很小，常常觉察不出来，但在天体运动中，由于天体的质量很大，万有引力将起决定性作用，对天文学的发展起了很大的推动作用，其中一个重要的应用就是计算天体的质量在讲课时，应用万有引力定律有两条思路要交待清楚1把环绕天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动，即F引F向，用于计算天体(中心体)的质量，讨论卫星的速度、角速度、周期及半径等问题2地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力，即F引mg主要用于计算涉及重力加速度的问题本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在实
2、际中的具体应用利用万有引力定律除了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体教学目标一、知识目标1了解行星绕恒星运动及卫星绕行星运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力2了解万有引力定律在天文学上有重要应用3会用万有引力定律计算天体的质量二、能力目标通过万有引力定律在实际中的应用，培养学生理论联系实际的能力三、德育目标利用万有引力定律可以发现未知天体，让学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点教学重点1人造卫星、月球绕地球的运动；行星绕太阳的运动的向心力是由万有引力提供的2会用已知条件求中心天体的质量教学难点根据已知条件求中心天体的质量教学方法分析推理法、讲练法教
3、学用具有关练习题的投影片、投影仪课时安排1课时教学过程本节课的学习目标1利用万有引力等于向心力求出中心天体的质量2了解万有引力定律在天文学上的应用学习目标完成过程一、导入新课上节课我们共同学习了万有引力常量的测定现在请同学们回忆下面几个问题：1卡文迪许用什么装置来测定万有引力常量？其实验原理是什么？2为什么扭秤装置能测定相互作用很小的万有引力，其巧妙之处何在？回忆上节所学，找出问题答案1卡文迪许用扭秤装置来测定引力常量其实验原理是力矩平衡2扭秤装置所以能测定很小的万有引力，其根本原因是通过小平面镜及T型架的横杆对万有引力的作用效果进行了放大万有引力常量的测出，使万有引力定律对天文学的发展起了很
4、大的推动作用这节课我们就共同来学习万有引力定律在天文学上的应用二、新课教学(一)天体质量的计算A基础知识请同学们阅读课文第一部分-天体质量的计算同时考虑下列问题1万有引力定律在天文学上有何用处？2应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么？3求解天体质量的方程依据是什么？学生阅读课文第一部分，从课文中找出相应的答案1当测定出万有引力常量后，我们便可应用万有引力定律计算天体的质量使以前看似不可能的事变为现实2应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是：根据环绕天体的运动情况，求出其向心加速度，然后根据万有引力充当向心力，进而列方程求解3从前面的学习知道，天体之间存在着相互作用的万有引力，而行星(
5、或卫星)都在绕恒星(或行星)做近似圆周的运动，而物体做圆周运动时合力充当向心力，故对于天体所做的圆周运动的动力学方程只能是万有引力充当向心力，这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在B深入探究请同学们结合课文知识以及前面所学匀速圆周运动的知识，加以讨论、综合然后思考下列问题1天体实际做何运动？而我们通常可认为做什么运动？2描述匀速圆周运动的物理量有哪些？3根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法？4应用天体运动的动力学方程-万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式？各是什么？各有什么特点？5应用此方法能否求出环绕天体的质量？分组讨论，得出答案1天体实际运动是沿椭圆轨道运动的，而我们
6、通常情况下可以把它的运动近似处理为圆形轨道，即认为天体在做匀速圆周运动2在研究匀速圆周运动时，为了描述其运动特征，我们引进了线速度v，角速度，周期T三个物理量3根据环绕天体的运动状况，求解向心加速度有三种求法即：aa心ba心2rca心42r/T24应用天体运动的动力学方程-万有引力充当向心力，结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程，即aF引GF心ma心m即：G bF引GF心ma心m2r即：Gm2r cF引GF心ma心m即：Gm 从上述动力学方程的三种表述中，可得到相应的天体质量的三种表达形式：aMv2r/GbM2r3/GcM42r3/GT2上述三种表达式分别对应在已知环绕天体的
7、线速度v，角速度，周期T时求解中心天体质量的方法以上各式中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量，r表示两天体间距离，G表示万有引力常量5从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求出环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉C教师总结从上面的学习可知，在应用万有引力定律求解天体质量时，只能求解中心天体的质量，而不能求解环绕天体的质量而在求解中心天体质量的三种表达式中，最常用的是已知周期求质量的方程因为环绕天体运动的周期比较容易测量从前面的学习我们知道，当物体静止在地面上时，万有引力同时产生两个作用效果，一是物体的重力，一是物体随地自转的向心力，而随
8、地自转的向心力非常小，故有：F引mg而当物体绕地球运转时，不再有随地自转的向心力此时有：F引mg综上所述，我们可知，F引mg这也是这一章中，除动力学方程外的又一重要方程既然万有引力可以充当向心力，且它又等于物体的重力，所以我们便可得到另一个重要的方程：mgF心综合以上，在这一章中我们所用的方程总共有三个，即：F引F心F引mgmgF心D基础知识应用1求解中心天体质量时，列方程的依据是_2把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动轨道，平均半径为1.5108 km，已知引力常量为：G6.6710-11 Nm2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？(结果取一位有效数字)参考答案：1万有引力充当向心力
9、221030 kg分析：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天故：T365243600 s3.15107 s由万有引力充当向心力可得：Gm故：M kg 21030 kg(二)发现未知天体A基础知识请同学们阅读课文第二部分-发现未知天体，考虑以下问题：1应用万有引力定律除可估算天体质量外，还可以在天文学上起什么作用？2应用万有引力定律发现了哪些行星？阅读课文，从课文中找出相应的答案：1应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体2海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的B深入探究人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的？人们在长期的观察中
10、发现天王星的实际运转轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差，所以怀疑在天王星周围还可能存在未知行星，然后应用万有引力定律，结合对天王星的观测资料，便计算出了另一颗行星的轨道，进而在计算的位置上观察到新的行星C教师总结万有引力定律的发现，为天文学的发展起到了积极的作用，用它可以来计算天体的质量，同时还可以来发现未知天体D基础知识应用1太阳系的第八颗行星-海王星是_国的_于_(时间)发现的2太阳系的第九颗行星-冥王星是_(时间)，应用万有引力定律发现的参考答案：1德；加勒；1846年9月23日21930年3月14日三、知识反馈1根据观察，在土星外层有一个环，为了判断是土星的连续物还是小
11、卫星群，可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系下列判断正确的是()A若v与R成正比，则环是连续物B若v2与R成正比，则环是小卫星群C若v与R成反比，则环是连续物D若v2与R成反比，则环是小卫星群2已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，万有引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为_3某人在某一星球上以速度v竖直上抛一物体，经时间t落回抛出点，已知该星球的半径为R，若要在该星球上发射一颗靠近该星运转的人造星体，则该人造星体的速度大小为多少？4一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T求该行星的质量和平均密度参考答案：
12、1AD23g/4GR3星球表面的重力加速度g人造星体靠近该星球运转时：mgGm(M：星球质量，m：人造星体质量)所以v4设宇宙飞船的质量为m，行星的质量为M宇宙飞船围绕行星的中心做匀速圆周运动Gm()2R所以M又vR3所以四、小结学习本节的解题思路如下：F引mgmgF心五、作业1阅读本节内容2课本P110(1)3思考题：已知地球的半径为R，质量为M地，月球球心到地球球心的距离r月地60 R3.8108 m，月球绕地球运行周期T27.3天，地球对物体的重力加速度g09.8 m/s2，试证明地球对月球的引力和地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力参考答案：月球绕地球做半径为r月地的匀速圆
13、周运动，如果提供月球做匀速圆周运动的向心力与地球对物体的引力是同性质的力，则由牛顿运动定律可得月球绕地球做圆周运动的向心加速度a月为：地球上物体的重力加速度g为由月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度公式可知：a月2r月地()2r月地()23.8108 m/s22.6964410-3 m/s2已知地球表面的重力加速度g09.8 m/s2由此可知，由月球以及地球附近的物体绕地球做匀速圆周运动所需的向心加速度之比，跟由同性质的万有引力对它们提供的向心力所获得的向心加速度之比近似相等所以，地球对月球的引力跟地球对其附近物体的引力是同性质的力，都是万有引力六、板书设计七、本节优化训练设计1(1997
14、年全国)某行星的一颗小卫星在半径为r的圆轨道上绕行星运动，运行的周期是T，已知引力常量为G，这个行星的质量是_2(2001年春季)两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动，现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量3行星的平均密度是，靠近行星表面的卫星的周期是T，试证明T2为一个常数4设想有一宇航员在某行星的极地上着陆时，发现物体在当地的重力是同一物体在地球上重力的0.01倍，而该行星一昼夜的时间与地球相同，物体在它赤道上时恰好完全失重若存在这样的星球，它的半径R应多大？5质量为m的物体在离地某高处的重力是它在地表附近所受重力的一半，求
15、物体所处的高度(已知地球的平均半径为R)参考答案：1分析：本题考查应用万有引力定律计算天体质量，行星对卫星的引力提供卫星做匀速圆周运动所需的向心力解：由于Gmr，得M2分析：此为天体运动的双星问题，除两星间的作用外，其他天体对其不产生影响两星球周期相同，有共同的圆心，且间距不变，其空间分布如右图所示解：设两星质量分别为M1和M2，都绕连线上O点做周期为T的圆周运动，两星到圆心的距离分别为L1和L2，由于万有引力提供向心力故有GG 由几何关系知：L1L2R 联立解得M1M23分析：将行星看做一个球体，卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供解：设半径为R，则密度与质量M、体积V的关系为MV
16、R3对卫星，万有引力提供向心力整理得T2为一常量4分析：题设条件指出，物体在赤道上恰好完全失重，这是由于该星球自转所造成的在赤道上平面物体所受星球的万有引力恰好等于它随星球自转所需向心力随物体向星球极地移动，其视重将增大在极地位置，物体所需向心力为零解：设行星的半径为R，在赤道上质量为m的物体随星体自转，物体受力如上图所示，根据牛顿第二运动定律得mg-FNm2R依题FN0，所以g2R在极地地区物体重力仅为地球上重力的0.01倍，可知g0.01g自转周期与地球相同，即TT8.64104 s，可知该星球半径为5分析：本题考查地球表面物体所受重力的大小与万有引力之间的关系物体所受的重力可近似看成等于
17、地球对它的万有引力解：在地面附近有G1G，在离地h高度处有G2G，由题意知2，解得：h(-1)R备课资料一、天体密度的计算要想计算天体的密度，设天体半径已知，即可得到天体的体积，再求得天体的质量、天体的密度就可求得求天体质量时，首先应以此天体作为中心天体，具体求解时可有两条思路：aF引F向，bF引mgaF引F向，即Gr，得：M(其中：M为中心天体质量，m为环绕天体质量，T为环绕天体的绕行周期，r为环绕天体的轨道半径)设中心天体的半径为R，则其体积为VR3所以如果环绕体在中心体表面运行，则rR，所以bF引mg，即Gmg，得M(其中：g为中心体表面或附近的重力加速度)设中心体半径为R，则体积VR3
18、所以二、科学家发现太阳系第十大行星英国天文学家约翰默里博士可能发现了太阳系第十大行星这颗奇异的行星极为遥远，与目前已知太阳系最远的行星冥王星相比，它的公转轨道大约比冥王星远1000倍这颗行星与太阳的距离是地球到达太阳距离的3万倍默里博士的这个发现源自彗星理论，每一颗彗星都是受外力驱动才进入太阳系的，以致被我们观察到默里博士研究了13颗彗星的运行轨道后，他认为存在着一个巨大物体的作用，将那些彗星送入了现在的运行轨道这颗行星可能是在别处诞生的一颗新星，在银河系漫游时被太阳系的行星系统捕捉到了这颗肉眼观测不到的行星体积是已知太阳系最大行星木星的几倍以上这颗行星环绕太阳运行一周需要600万年的时间这一
19、速度可以解释人们以前为什么没有发现它的原因：它的移动速度极为缓慢三、对天体运动问题的分析(一)万有引力定律与天体圆运动问题的分析方法1万有引力定律若两个质量分别为m和M的质点相距r，则其间相互作用的万有引力的大小为FGmM/r2 应该明确的是：(1)式中的G被称为引力常量，其值为G6.6710-11 Nm2/kg2(2)式适用于两个质点间万有引力大小的计算，而对于两个质量分布均匀的球体间的万有引力大小的计算，也可用式，只是式中的r应理解为两球心间的距离2天体圆运动问题的分析方法对于那些在万有引力作用下，围绕某中心天体(M)做圆运动的天体(m)来说，其圆运动问题的分析应紧紧把握住“引力充当向心力
20、”这一要点来进行，即GmM/r2man式中的向心加速度anv2/rr242r/T2至于an应取何种表达形式，应依具体问题来确定已知月球绕地球转动周期为T，轨道近似为圆，月、地间距离为r则地球的质量M为多大？分析与解对于这种典型的“天体圆运动问题”的分析，我们把握住“引力充当向心力”的分析要点，同时考虑到题设条件中给出了周期T，因此可以用T来表示向心加速度于是有GmM/r242rm/T2可解得地球质量为M42r3/GT2(二)开普勒行星运动定律与天体椭圆运动问题的分析方法1开普勒行星运动定律第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过
21、相等的面积即vrsin常量式中v为行星的运动速度，r为从太阳引向行星的矢径，则为速度与矢径之间的夹角第三定律：行星绕太阳做椭圆运动的公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比即T2/R342/GM式中G为引力常量，M则为太阳的质量2天体椭圆运动问题的分析方法若把适用于行星绕太阳做椭圆运动的开普勒定律推广到一般的绕中心天体(M)做椭圆运动的天体(m)上，开普勒定律的形式不变只是此时式中的“常量”成了一个与新的中心天体相关的常量；式中的M也成了新的中心天体的质量而不再是太阳的质量了于是，对于一般的天体的椭圆运动问题的分析，则可以依靠推广了的开普勒定律当然，在一些较为特殊的天体椭圆运动问题中，有时也可以
22、利用“位置的特殊性”和“轨道的对称性”而借助于万有引力定律来分析如图所示，卫星绕质量为M的地球做椭圆运动，在近地点和远地点处与地心分别相距a和b，则卫星在通过近地点和远地点时其运动速度大小之比为v1v2_卫星从近地点运动到远地点所经历的最短时间为t_解析：对于这种一般的天体椭圆运动问题，通常是利用开普勒定律来分析求解的由开普勒第二和第三定律分别有：v1av2bk(常量)T2/()342/GM由此便可分别解得：卫星在近地点和远地点处运动速度大小之比为v1v2ba；卫星从近地点到达远地点所经历的最短时间为tT当然，此例中式给出的结论亦可由万有引力定律求得由万有引力定律可得，卫星在近地点和远地点处分
23、别有式中的R为椭圆轨道在近地点和远地点这两个对称的特殊位置处的曲率半径由上式便可求得v1与v2之比如式所给出四、万有引力定律应用时应分清的几个概念1天体半径和卫星轨道半径在中学物理中通常把天体看成一个球体，天体半径就是球的半径，反映了天体的大小卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径一般情况下，天体卫星的轨道半径总大于该天体的半径当卫星贴近天体表面运行时，可近似认为轨道半径等于天体半径一宇宙飞船到某星球上探测，宇航员想知道该星球的密度，而身边只有一块手表，他该怎么办呢？解析：当宇宙飞船绕着星球运行时，可将其视为该星球的一颗卫星，根据关系式GMm/r2mr42/T2(这里r是宇宙飞船
24、的轨道半径)，而(R为星球半径)因此要想求得星球的密度必须使飞船的轨道半径rR，才能得出3/GT2所以宇航员只要让飞船贴近该天体的表面绕行一周，用手表测出周期，即可求得星球的密度2自转周期和公转周期自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运动一周的时间一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天在应用中要注意区别已知太阳光射到地球需时t500 s，地球同步卫星的高度h3.6104 km试估算太阳和地球的质量解析：设太阳质量为M1，地球质量为M2，地球同步卫星质量为m由地球绕太阳做圆周运动知：GM1M2/r2M2r42/
25、T2，求得M1式中rvt，v为光速再根据地球同步卫星绕地球做圆周运动得：m(R地h)，得M2代入数据可求得M1、M2注意T、T分别是地球的公转周期和自转周期当然，也有的天体自转周期和公转周期相同，如月球的自转周期等于它绕地球的公转周期，故月球总是以同一面朝向地球3同步卫星和一般卫星地球同步卫星和其他地球卫星虽然都绕地球运行，但它们之间却有着明显的区别地球同步卫星是相对于地球静止，和地球自转具有相同周期的卫星，它的周期T24 h由于卫星受到的地球引力指向地心，在地球引力的作用下同步卫星不可能停留在与赤道平面平行的其他平面，它一定位于赤道的正上方如我国发射的电视转播卫星，不是定点在北京上空或其他什
26、么地点的上空，而是停在位于赤道的印度尼西亚上空根据牛顿第二定律GMm/r2m02r，得r可见同步卫星离地心的距离是一定的，代入数据得r4.24104 km，且线速度vr03.08103 m/s也是一定的，其绕行方向与地球自转同向而一般卫星的周期、线速度等可比同步卫星大，也可比同步卫星小，但线速度最大值为v7.9 km/s，最小周期大约85 min，轨道也可以是任意的，轨道平面一定通过地球球心同步卫星离地距离r，运行速率v1，加速度a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则()Aa1/a2r/R Ba1/a2R2/r2Cv1/v2R2/r2 Dv1/
27、v2解析：同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据ar2知a1/a2r/R第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行的速度，同步卫星也属于一种卫星，故速率v，所以v1/v2，本题应选AD4赤道上的物体和近地卫星放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用，一个是地球对它的万有引力，另一个是地面对物体的支持力这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即G-NmR02，这里Nmg物体的向心加速度aR020.034 m/s2，远小于地面上物体的重力加速度g9.8 m/s2，故在近似计算中可忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大小相等绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故Fmgma卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g，对近地卫星来讲gg9.8 m/s2地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在
