1、逢质必2.1.加减法：同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇。a+b和a-b的奇偶性相同。2.乘法：一偶则偶，全奇为奇。4x、6x必为偶数，3x、5x不确定。a）b）c）未知数可以不是整数（时间、金钱）的方程。属于非限方程，只能考查方程组求总体，一般的方法是凑和赋0。d）赋0法：未知数个数多于方程个数，且未知数可以不是整数。答案是一个算式的值，而非单一未知数的值，即必须是N（x+y+z）的形式。操作：赋其中的一个未知数为0，从而快速计算出其它未知数。赋0法只限用于求总体的情况，如果求单一值则不适用。工程问题一、工程量=效率时间，效率=工程量时间，时间=工程量效率。注意：工程问题在于找对切入点。二、工程
2、问题切入点：1.给定时间型（完工时间）：赋值工作量为完工时间的最小公倍数。2.给效率型：具体值列方程，效率比赋值销量为对应的比值。行程问题一、行程问题的三量关系：路程=速度时间，速度=路程时间，时间=路程速度。二、火车过桥问题。总路程=火车车身长度+桥长=火车速度过桥时间。三、等距离平均速度：1.公式：V=2V1V2/（V1+V2），前一半路程的速度是V1，后一半路程的速度是V2，问全程的平均速度是多少。推导：V=S/t，设前一半路程为S，后一半路程为S，则V=2S/（S/V1+S/V2）=2V1V2/（V1+V2）。2.适用于：往返（一来一回为等距离）、上下坡（上下坡为等距离）。四、相遇与追
3、击：1.直线相遇：总路程S=（V1+V2）t2.直线追击：追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）t3.环形相遇：a）出发点相同，方向不同。b）公式：S= （V1+V2）c）相遇一次S=一圈，相遇N次，S=N圈4.环形追击：a）同点出发，同向而行。b）追击路程S=V1t-V2t=（V1-V2）tc）追上一次，S追=1圈，追上N次，S追=N圈5.多次相遇a）两端出发：第n次相遇，两人共走（2n-1）S，n是次数，S是全程，如果第7次相遇，共计走了13S，13个全程。b）同端出发：第n次相遇，两人共走2nS，2n个全程。c）小结：给相遇次数，问路程或时间：根据相遇次数推路程，根据路程算时间。给相
4、遇时间，问相遇次数：根据时间算路程，根据路程算次数。6.流水行船a）概念：V顺、V逆、V水、V船。顺水航行：V顺=V船+V水逆水航行：V逆=V船-V水V船=（V顺+V逆）/2静水速度=船速 ，漂流=水速7.比例行程：S=VTa）S一定，V与T成反比；V一定，S与T成正比；T一定，S与V成正比。b）方法：确定不变量，再去找比例。经济利润问题一、经济利润问题涉及的公式1.利润=售价-成本。2.数量关系中，利润率=利润/成本。资料分析中，利润率=利润/收入。3.售价=成本（1+利润率）。4.折扣=售价/原价。5.总价=单价数量，总利润=单个利润数量。二、经济利润问题涉及的方法：1.求具体价格：列式计
5、算、方程。如：成本，售价，利润。2.求比例：赋值法。利润率，打折。3.赋值技巧：常设成本为1、10、100，好算的数，如果成本当中涉及数量，也可以对数量赋值。分段计价1.在生活中，水电费、出租车计费等，每段计费标准不等。2.计算方法：按标准，分开。计算后，汇总。排列组合与概率一、分类与分布1.分类（要么要么）：相加。2.分布（先后）：相乘。二、排列与组合1.排列：与顺序有关。2.组合：与顺序无关。3.判断标准：从已选的主体中任意挑选出两个，调换顺序。有差别，与顺序有关（A）；无差别，与顺序无关（C）。4.相邻捆绑法有必须相邻的，先把相邻的捆绑起来，考虑内部顺序，捆绑后在与其它排列。5.不相邻插
6、空法先将可以相邻的进行排列，排列后行程若干个空位。再将不相邻的插入到行程的空位中去。谁不相邻，拿谁插空。6.枚举法按照面额或数值的大小，从大到小列举枚举，不漏不重。注意每种数值的个数不得超过条件给的上限。概率1.给情况求概率公式：概率=满足需求的情况数/全部的情况数。注：正难则反，满足概率=1-不满足概率2.给概率求概率分类：P（A）=P1+P2+.Pn分布：P（A）=P1P2.Pn容斥原理1.在计数时，先不考虑重复的部分，先把符合条件的加在一起，最后再把重复的剔除、遗漏的补上，做到“不重不漏”。2.题型：两集合、三集合。3.方法：公式法、画图法。4.容斥问题在于找对题型和方法。5.两集合。a
7、）A+B-AB=总数-都不满足。b）推导：大框为总数，圈A和圈B，中间为AB，圆圈外的为都不满足的，可以发现总数-都不满足的=圆覆盖的面积=A+B-AB。c）AUB：合集，两个集合共同覆盖的面积。AB：交集，两个集合共有的面积。6.三集合：标准型。a）标准型公式（给了两两之间的交集）：全部-都不=A+B+C-（AB+BC+AC）+ABC。全部为大框，都不为圈外的部分，三个圆分别为A、B、C，求AUBUC。先把符合的A、B、C加在一起，即A+B+C。刨除重复的部分：AB、BC、AC都加了2次，但是只要1次，因此需要减去1次。ABC：在A+B+C中加了3次，只要1次；但是在减AB、BC、AC，把A
8、BC减了3次，需要再加上一个ABC。7.三集合：非标准型。a）非标准型公式（给的为两者满足、三者满足）：全部-都不=A+B+C-两者满足-2三者满足。先把A、B、C加在一起，即A+B+C。满足两种的每部分加了2次，要1次，因此把两者满足的部分减去1次。满足三中的加了3次，要1次，因此减去2次。8.容斥问题解体方法：a）公式法：题目当中，所给所求都是公式的一部分。b）画图法：公式法解决不了的，问“只”满足。画图，标数字（从里往外标、每部分一层），列算式（尾数法）最值问题1.识别：题目问法为“至少才能保证”。2.方法：保证数=最不利数+1。若要最不利就是要考虑最倒霉的情况，考虑最不利要有思维的过度
9、。3.引例：袋子中装有5个红球，8个白球，10个黄球。a）至少取出（）个，才能保证有红球：8+10+1=19。b）至少取出（）个，才能保证至少有2个同色的球：3+1=4。c）至少取出（）个，才能保证至少有8个同色的球：5+7+7+1=20。如果拿10个球完成了8个同色，这只是一种可能出现的状况，但是不能保证一定完成，而如果拿20个球一定能保证完成8个同色球。d）最不利数（求保证数的关键点）：不够，全给你。够，少给一个气死你。构造数列（和定最值）和一定，求某个量的最多或最少。题干是否有各不相同，如果没有，默认相同。2.方法（三步走）：a）定位：求最大还是最小。b）反向构造（要有最值思想）：和一定
10、是此消彼长的关系。即若求最多，其他尽量少；若求最少，其它尽量多。c）加和求解。若结果不为整，问最多往小取，问最少往大取。3.都至少：“都”表示交集，如三者都喜欢，三项都参加过，问的是交集的最小值，是命题趋势。例：有100人，其中高的80人，富的70人，帅的60人，问“高富帅”至少有多少人。高富帅是三者都满足的“都。至少”即交集最小，带入公式：80+7+60-2100=10。结论：Sn-（n-1）M，Sn为高富帅的和，n代表项数，M是总体。原理：a）两集合公式：A+B-AB=全-都不，要求AB最小，移项得：AB=A+B-全+都不，“A、B、全”是固定值，要让AB最小，则“都不”=0，此时：AB=A+B-全。b）三集合：ABC= AB+C-全=A+B-全+C-全=A+B+C-2全四集合：A+B+C+D-3全
