1、1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。证明线段的和差倍分 1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的
2、重心、相似三角形的性质等）。证明 角的和差倍分 1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。2.利用角平分线的定义。3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。证明线段不等 1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。*5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。证明两角的不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。*4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆
3、心角大。5.全量大于它的任何一部分。证明比例式或等积式 1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。*5.与圆有关的比例定理-相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。证明四点共圆*1.对角互补的四边形的顶点共圆。*2.外角等于内对角的四边形内接于圆。*3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）。*4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。*5.到顶点距离相等的各点共圆一周强化一、一周知识概述（一）相似三角形1、三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形，叫做相似三角形用符号“”表示相似
4、，读作“相似于”当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；由相似三角形的定义知如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如ABCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继
5、学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：三边对应成比例的两三角形相似判定定理2：两角对应相等的两个三角形相似判定定理3：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似方法总结：（1）判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一：两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三条边对应成比例理解时，可类比全等三角形的判定方法在中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角（或补角）”都是相等的，这是常用的判定方法（2）已有
6、两边对应成比例时，可考虑利用判定定理（1）或判定定理（3）但是，在选择利用判定定理（3）时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等2、直角三角形相似的判定如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”或“双直角三角形”，其应用较为广泛如图，可简单记为：在RtABC中，CDAB，则ABCCBDACD所以AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD.（三）相似三角形的性质1、相似三角形的周长的比等于相似比如图，其符号语言：2、相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比其符号语言：如图ABCABC，ADBC，ADBC，ABCAB
7、C，BF=CF，BF=CF，ABCABC，BAE=CAE，BAE=CAE，性质（1）与（2）可简记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比3、相似三角形的面积的比等于相似比的平方二、重点难点疑点突破1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：（1）相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角（或最小的角）一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；（2）相似三角形中，一对最长的边（或最短的边）一定是对应边；对应边所对
8、的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如：“平行线型”相似三角形，“相交线型”相似三角形，“旋转型”相似三角形从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形三、典型例题讲解1、寻找相似三角形
9、例1、如图，在ABCD 中，E是AB延长线上一点，连结DE，交AC于点G，交BC于点F，那么图中相似的三角形（不含全等三角形）共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对 解：由AEDC，可得AEGCDG，DFCEFB.由BCAD，可得BFEADE，FCGDAG，DCFEAD.故选 B.点评：本题主要是考查相似三角形识别的掌握情况可运用平行线去直接找相似三角形，也可利用相似三角形的判定定理来找相似三角形，但要注意不要漏找2、画符合要求的相似三角形例2、在大小为44的正方形方格中，ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画出一个A1B1C1，使得A1B1C1ABC（相似比不为1），且点A
10、1、B1、C1都在单位正方形的顶点上（1）（2）分析：设单位正方形的边长为1，则ABC的三边为，从而根据相似三角形判定定理1或3可画A1B1C1，易得在44的正方形方格中，满足题设的A1B1C1只能画出以上三个，若正方形方格数不加限制，则和ABC相似且不全等的三角形可以画无数个3、利用相似三角形定义求线段长例3、已知ABC中，AB=8，AC=6，点D，E分别在AB，AC上，如果以A，D，E为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，且相似比为，求AD和AE的长通过相似比，将AD，AE的长转化到方程中求解由于已知的两个三角形相似，并没有具体的对应关系，所以结论具有不确定性，应分类讨论如图（1
11、）所示，当ADEABC时，有，AE=2如图（2）所示，当ADEACB时，小结：数形结合思想方法是解答有关相似三角形问题的基本方法在解题时需借助图形深入理解数量之间的关系，并对问题进行全面的、进一步的分析与探索4、相似三角形的判定例4、根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由（1）AB=3.5，BC=2.5，CA=4，AB=24.5，BC=17.5，CA=28；（2）A=35，B=104，C=44，A=35；（3）AB=3，BC=2.6，B=48，AB=1.5，BC=1.3，B=48（1）中所给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”；（2）中给出的是两个三角形中
12、的两组角，考虑用“两角对应相等”；（3）中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”（2）因为C=180AB=41，B=180AC=101所以两个三角形中只有A=A，所以ABC与ABC不相似例5、如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F求证：（1）ADFEDB；（2）CD2=DEDF（1）ADF与EDB都是直角三角形，要证它们相似，只要再找一个角对应相等即可；（2）注意到CD是斜边AB的中线，AD=BD=CD，由结论（1）不难得出结论（2）证明：（1）DFAB，ADF=BDE=90，又FA=BA， F=B，ADFE
13、DB（2）由（1）得，ADBD=DEDF又CD是RtABC斜边上的中线， AD=BD=CD故CD2=DE本题综合考查了直角三角形的性质与相似三角形的判定等这是一道阶梯型问题，第（2）题根据（1）得出有关比例式，然后使用“等线代换”使问题简捷获证其实第（2）题也可这样思考：把它转化为比例式，证明这三条线段所在的CDEFDC请同学们完成这一证明例6、如图，AD是ABC的角平分线，BEAD于E，CFAD于F 求证：待证式中的四条线段不是在两个三角形中，无法直接根据两个三角形相似得出，需要插入一个“中间比”，由题设易证ABEACF，BDECDF，从中不难找到这个中间比AD是ABC的角平分线，1=2BE
14、AD，CFAD，3=4=90ABEACF，当无法直接由两个三角形相似得出结论中的比例式时，一般可寻找“中间比”帮忙；5、相似三角形的性质的应用例7、如图所示，D是BC上一点，ABCDBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BEBF解析：BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答因为ABCDBA，且BC=36，AB=28，所以相似比又因为BE，BF分别是ABC，ABD中AC，AD边上的中线，点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，
15、注意把相似三角形的对应元素确定准确例8、如图所示，PNBC，ADBC，交PN于E，交BC于D首先，先说明APN与ABC相似，再根据相似三角形的性质和比例的有关知识结合已知条件，就可求出这三个问题的结论（1）因为PNBC，所以可得APNABC又因为相似三角形面积比等于相似比的平方，因为SABC=18cm2，所以SAPN=2cm2两个三角形相似，具有的性质包括：（1）周长比等于相似比；（2）对应高（中线、角平分线）的比等于相似比；（3）面积比等于相似比的平方本题的关键是由相似三角形面积的比等于相似比的平方这一性质建立比例式，列方程求解，体现了数形结合的思想例9、如图，ABC是一块直角三角形余料，C
16、=90，AC=6cm，BC=8cm，现要把它加工成正方形零件，试说明哪种加工方法的利用率较高此题实质上是比较两种图形中正方形的面积的大小，即比较这两个正方形的边长的大小（1）如图（1），设正方形CDEF的边长为x cmEFAC，解之得（2）如图（2），设正方形DEFG的边长为y cm作CNAB于N，交DG于M由勾股定理得AB=10cm由，得ACBC=ABCNDGAB，CDGCAB（相似三角形对应高的比等于相似比）即解之，得由于所以第（1）种加工方法的利用率较高反思：有关三角形的内接正方形、矩形的问题的解题方法，通常是利用三角形对应高之比等于相似比，当题目中无高时可考虑作适当的垂线段以帮助解题一
17、、填空题1.如果线段a、b、c、d是成比例线段且a=3，b=4，c=5，则d=_；2.如果两个相似三角形对应高的比为45，那么这两个相似三角形的相似比为_；对应中线的比为_；对应角平分线的比为_；对应周长的比为_；对应面积的比为_.图4703.如图470，线段AC、BD相交于点O，要使AOBDOC，应具备条件_，还需要补充的条件是_或_或_.4.两个相似三角形的最短边分别是9 cm和6 cm，它们的周长和是60 cm，则大三角形的周长=_cm，小三角形的周长=_cm.二、选择题1.两地实际距离是500 m，画在图上的距离是25 cm，若在此图上量得A、B两地相距为40 cm，则A、B两地的实际
18、距离是A.800 m B.8000 mC.32250 cm D.3225 m2.RtABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与ABC相似，x的值为A.1 B.2C.3 D.43.下列各组三角形中，相似的为A.ABC中，A=35,B=50ABC中，A=35,C=105B.ABC中，AB=1.5，BC=1.25，B=38ABC中，AB=2,BC=,B=38C.ABC中，AB=12，BC=15，AC=26ABC中，AB=20，BC=25，CA=40图771三、解答题如图471，已知ADEABC，AD=3 cm，DB=3 cm，BC=10 cm，A=70、 B=50.求：（1）ADE的度数
19、；（2）AED的度数；（3）DE的长.参考答案：一、1.d=2.45 45 45 45 1625.3.AOB=DOC B=C A=D 4.36 cm 24 cm二、1.A 2.B 3.B三、（1）50 （2）60 （3）5 cm相似图形精选练习1、已知：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E求证：（1）ABCDCB；（2）DEDCAEBD2、如图，在ABC中，CAB=60，点D是ABC内的一点，使CDA=ADB=CDB.线段DA是线段DB、DC的比例中项.3、如图，在RtABC中，ACB=90，边AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于
20、点F，BGAB，交EF于点GCF是EF与FG的比例中项4、如图，在正方形ABCD中，F是BC上一点，EAAF，AE交CD的延长线于E，连结EF交AD于G.（1）求证：ABF ADE；（2）求证：BFFC DGEC；5、如图3，在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，EDF=A（1）找出图中相似的三角形，并证明；6、如图，ABC中D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD，E为垂足，连结AE.（1） ED=DA；（2）EBAEAB；（3） BE2=ADAC7、如图ABC中，B=C=（0600）.将一把三角尺中300角顶点P放在BC边上，
21、当P在BC边上移动时，三角尺中300角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合.设CPQ=.（1）用、表示1和2；（2）当在许可范围内变化时，取何值总有ABPPCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有ABPQCP？（3）试探索有无可能使ABP、QPC、ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由.1、证明：（1）四边形ABCD是等腰梯形，ACDB，ABDC，BCCB，ABCBCD，（2）ABCBCD，ACBDBC，ABCDCB，ADBC，DACACB，EADABC，EDAC，EDADAC，EDADBC，EADDCB， ADECBD， DEB
22、DAECD，DE2、解：CDA=ADB=CDB， CDA=ADB=CDB=120 ACD=180-120-CAD = 60-CAD. 又CAB=60， BAD=60 ACD=BAD. ACDBAD. . 即线段DA是线段DB、DC的比例中项.3、证明：EFAC，BCAC，EFBCAE=CE，AF=FBCF=AF=FBAFE=GFB，AEF=GBF，AEFGBFCF是EF与FG的比例中项4、证明:（1）. （2） DGCF 又 5、（1）解：DEFABC，BDECEF 证明如下：AB=AC，DE=DF，EDF=A，DEFABC DEF=B=CBED+DEF=C+CFE，BED=CFEBDECEF
23、（2）证明：BDECEF，十几年的学校教育让我们大学生掌握了足够的科学文化知识，深韵的文化底子为我们创业奠定了一定的基础。特别是在大学期间，我们学到的不单单是书本知识，假期的打工经验也帮了大忙。DEFABC， 6、证明:（1） CEBD CED=90 又 BDC=60ECD=30二、大学生DIY手工艺制品消费分析 CD=2ED CD=2DA ED=DA （2） ED=DA DEA=DAE10元以下 1050元 50100元 100元以上EDC=60 EAD=DEA=30图1-2 大学生购买手工艺品可接受价位分布BAD=45 EAB=15又BDC=DBA+BAD DBA=15EAB=EBA（3） EAB=EBA BE=AE（一）对“漂亮女生”饰品店的分析AED=ACE AEDACE1 www。cer。net/artide/2004021313098897。shtml。AE2=ADAC 即BE2=AD7、解：（1）1=1500，2=300+；创新是时下非常流
