1、所以 1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBD=AB/AD=1/ADBD=1/CD215 题解答：因为 M 为 AB 的中点，所以 AM=MB，AD-DB=AM+DM-（MB-DM）=2DM AC2-BC2=AD*AB-DB*AB=（AD-DB）AB=2DM*AB26、（在 19 题基础上增加一条平行线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E、交 CD于 F，FGAB 交 BC 于点 G， 求证：CE=BG27、（在 19 题基础上增加一条平行线）于 F，FGBC 交 AB 于点 G，连结 EG
2、， 求证：四边形 CEGF 是菱形28、（对 19 题增加一个结论）于 F，CE=CF29、（在 23 题中去掉一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC为直径的圆 O1，过点 D 的圆 O1 的切线平分 BC30、（在 19 题中增加一个圆）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分BAC 交 BC 于 E，交 CDCED 平分线段 AF31、（在题 1 中增加一个条件）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，A=30 度， 求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第 117 页第 3 题） 32、（在 18 题基础
3、上增加一条直线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作BCE=BCD P 为 AC 上任意一点，直线 PQ 交 CD 于 Q，交 CB 于 M，交 CE 于 NPQ/PN=QM/MN32 题证明：作 NSCD 交直线 AC 与点 S， 则 PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题 33在“题一中”，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE、DE， 求证：DEAB= AEBE题 33 证明CB2= BDAB 因 EB=
4、CBEB2= BDEB：BD=AB：BE 又EBD=ABEEBDABEAB=DE：AEDE题 34（在 19 题基础上增加一条垂线）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，AE 平分 CD 于 F，EGAB 交 AB 于点 G， 求证：EG2= BEEC证明：延长 AC、GE，设交点为 H，EBGEHCEH=EG：EHEG= BE又 HGCD，CF=FDEH=EGEG2= BE题 35（在题 19 中增加点 F）AE 平分BCA 交 BC 于点 E，交 CD 于 F， 求证：2CFFD = AFEF题 36、（在题 16 中，减弱条件，删除ACB=90 度这个条件）已知，AB
5、C 中， CDAB，D 为垂足，DEAC 于 E，DFBC 于 F， 求证：CE/BC=CF/AC题 37（在题 17 中，删除ACB=90 度和 CDAB，D 为垂足这两个条件，增加 D 是 AB 上一点， 满足ACD=ABC）已知，ABC 中，D 是 AB 上一点，满足ACD=ABC，又 CE 平分BCDAE2= AD题 38已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，PC 为ABC 的切线求证：PA/AD=PB/BD题 39（在题 19 中点 E“该为 E 为 BC 上任意一点”）E 为 BC 上任意一点，连结 AE，CFAE，F 为垂足，连结 DF， 求证：ADFAEB题
6、 40：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题 41已知，如图，ABC 中， CDAB，D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD， 求ACB 的度数。题 42已知，CD 是ABC 的 AB 边上的高， D 为垂足，且 AD/CD=CD/BD， 则ACB 一定是 90 度吗？为什么？题 43：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，ADC 的内切圆O1，BDC 的内切圆O2，SO1：SO2=AD：题 44：已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，ADC 的内切圆O1 的半径R1，BDC的内切圆O2 的半径
7、R2，ABC 的内切圆O 的半径 R，求证：R1+R2+R=CD题 45、已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，作以 AC 为直径的圆 O1，和以 BD为直径的圆 O2，设 O1 和 O2 在ABC 内交于 P PAD 的面积和PBC 的面积相等题 45 解：CAP=CDP=DBP（圆周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD 和CPB 互补（APC+BPD=180 度）S PAD=1/2APPDsinAPD S PBD=1/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题 46（在题 38 的基础上变一下）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，
8、D 为垂足，PC 为ABC 的切线，又 CE 平分ACB交ABC 与 E，交 AB 与 D ， 若 PA=5，PC=10， 求 CDCE 的 值题 47在题 46 中，求 sinPCA题 48（由题 19 而变）AE 平分ACB 交 BC 于 E，EGAB 交 AB 于点 G， 求证：（1）AC=AG（2）、AG2= AD（3）、G 在DCB 的平分线上（4）、FGBC（5）、四边形 CEFG 是菱形题 49题 49 解答：题目 50（题 33 再变）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，延长 CB 到 E，使 EB=CB，连结 AE交 CD 的延长线于 F，如果此时 AC
9、=EC， 求证： AF= 2FE题 50 解：过点 E 作 EMCF，M 为垂足，则 AD：DB=AC2：CB2=4：1又 DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：ADFEMFAF：EF=AD：AF=2EF题目 51（题 50 中连一线）交 CD 的延长线于 F，连结 FB，如果此时 AC=EC， 求证： ABC=EBF（题 51 的几种解法） 解法 1、作ACB 的平分线交 AB 于点 G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题 51 解法 2作ACB 的平分线交 AB 于点 G，交 AE 于点 P， 则点 G 为ACE 的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形 CGFE
10、为等腰梯形再证CBGEBF题 51 解法 3作ACB 的平分线交 AB 于点 G，交 AE 于点 P， 则点 G 为ACE 的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBP题 51 解法 4（原题图） 由题 50 得，AF=2EFEF=AC：BE=2 又CAF=BEF=45 度ACFEBFACF=EBF 又ACF=CBA题 51 解法 5作 MECE 交 CD 的延长线于 M， 证ABCCME（ASA）ABC=M再证MEFBEF（SAS）EBM=M题 51 解法 6作点 B 关于点 C 的对称点 N，连结 AN， 则 NB=2BE，又
11、由题 50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N（对称点）题 51 解法 7过点 C 作 CHBF 交 AB 于 M，B 为 CE 的中点， F 为 HE 的中点又由题 50，AF=2EF，H 为 AF 的中点又 CHBFM 为 AB 的中点MCB=MBC 又EBM=MCB题目 52（题 50、51 结论的引伸）已知，ABE 中，AC=EC，ACE=90 度，CDAB 交斜边 AB 于 F，D 为垂足， B 为 CE 的中点，连结 FB，（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB：BF=AE：（6）、CD：DF=AE：AF
12、（7）、AD：DB=2AF：（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1 题目 53 （题 52 的一部分）已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB 求证：、AF=2EF、ABC=EBF（题 53 的 14 个逆命题中，是真命题的请给出证明） 题目 54（题 53 的逆命题 1）、ABC=EBF 平面几何一题多变题目 55（题 53 的逆命题 2） 已知如图，题目 56（题 53 的逆命题 3） 已知如图，题目 57（题 53 的逆命题 4） 已知如图，、CFAB题目 58（题 53 的逆命题 5） 已知如图，题目 59（题 53 的逆命题 6） 已知如图，题目 60（题 53 的
13、逆命题 7） 已知如图，题目 61（题 53 的逆命题 8） 已知如图，题目 62（题 53 的逆命题 9） 已知如图，题目 63（题 53 的逆命题 10） 已知如图，题目 64（题 53 的逆命题 11） 已知如图，题目 65（题 53 的逆命题 12） 已知如图，题目 66（题 53 的逆命题 13） 已知如图，题目 67（题 53 的逆命题 14） 已知如图，、CFAB 题目 68已知如图，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 平分ACB，如果 SACM=30，SDCM=6， 求 SBCD=？（题 68 解答） 解：设 SBCD=x,则 SACM/ SCMB=30/
14、（6+ x）=AM/MB SACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又 AC2= ADAB BC2= BDAC2/ BC2=AD/BDCM 平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/（6+x）2=36/x 解方程得 x=4 或 x=9SBCD=4 或 SBCD=9题目 69已知如图，ABC 中，ACB=90 度，D 为斜边 AB 上一点，满足 AC2= ADCDAB题目 70已知如图，ABC 中，ACBC,ACB=90 度，CM 平分ACB，且 CM+CB=AC， 求证：1/AC-1/BC=2题 70 证明：过点 M 作 MDBC，D 为垂足，作 MDAC，E 为垂足， 设 ME=x,A
15、C=b,BC=a,则 CM=2 x，AE=b-x,由 AE/AC=ME/BC，得（b-x）/b=x/a,x=ab/（a+b） 又 CM+CB=AC2 x+a=b,ab/（a+b）=（b-a）/ 2整理得：b2-a2=2ab 两边都除以 ab,1/AC-1/BC=2题目 71（依题 68 变）已知如图，ABC 中（ACBC），ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 平分ACB,且 BC、AC 是方程 x2-14x+48=0 的两个根， 求 AD、MD 的长。题目 71 解：显然，方程 x2-14x+48=0 的两根为 6 和 8， 又 ACBCAC=8，BC=6由勾股定理 AB=10ACD
16、ABC，得 AC2= ADAD=6.4AM/MB=AC/CB解得，AM=40/7MD=AD-AM=24/35题目 72已知如图，ABC 中，ACB=90 度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点 A正好落在 BC 上，而且AMN 是正三角形， 求AMN 与ABC 的面积之比。题 72 解：ACB=90 度，AB=2ACB=30 度由题意，四边形 AMAN 是菱形，ABMABCAM/AC=BM/AB设 AM=x, AB=2AC=2ax/a=（2a-x）/2ax=2a/3由三角形面积公式，得SAMN：SABC=2：9题目 73AB+CDAC+BC题 73 的证明：由三角形面积公式，得
17、ABCD=ACBC 2ABCD=2AC又勾股定理，得 AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC（等式性质）CD =（AC+BC）2CD+CD2 （AC+BC）2（AB+CD）2 又 AB、CD、AC、BC 均大于零AB+CD题目 74已知，ABC 中，ACB90 度，CDAB，D 为垂足求证：题 74 证明：如图，作 CBAC 交 AB 于 B,于是有ABBC2AB又勾股定理，得 AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC（等式性质）CD =（AC+BC）2（AC+BC）2（AB+CD）2 又 AB、CD、AC、BC 均大于零AB+CD
18、AC+BC在ABB中,BBCB-CB+得 AB BB+CDAC+BC CB-CB题目 75已知如图，ABC 中， CDAB，D 为垂足，CT 平分ACB，CM 为 AB 边上的中线， 且ACD=DCT=TCM=MCBACB=90 度题目 75 的证明：延长 CT 交三角形 ABC 的外接圆于 N，连结 MN， 则 N 为弧 AB 的中点，所以 MNAB，又 CDAB，MNCDDCT=TNM 又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN 的垂直平分线必过点 M，又 CM 为 AB 边上的中线，MNABAB 的垂直平分线必过点 M，即 M 为两条弦的垂直平分线的交点，M 为三角形 ABC 的外接圆
19、的圆心， 因此 AB 为ABC 的外接圆的直径。ACB=90 度题目 76ACB 的平分线 CG 交 AB 边上的中垂线于点 G ， 求证：MC=MG题目 77已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，CM 为 AB 边上的中线，CD 是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,求 CD、CM、CE 的长题目 78已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点， 且弧 AC=弧 CE，又 AE 交 CD 于 M，AM=CM题目 79（题 78 再变）已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且弧 A
20、C=弧 CE， 又 BC 交 AE 于 G，连结 BEBG2= ABBE- AGGE题目 80已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且直线 DC 于直线 BE 交于 P，CD2= DMDP题目 81已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点，且直线 DC 于直线 BE 交于 P，如果 CD 平分 AE， 2DMDP= BEEP题目 82已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，E 为ABC 上一点， 且弧 AC=弧 CE，又直线 AC 与直线 BE 交于 H， AB=BH题目 83（由题 44 变）直角三角形两条直角边的和等于斜边与内切圆直径的和。题目 84已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，MN 切ABC 与 C 点求证： BC 平分DCN题目 85已知，ABC 中，ACB=90 度，CDAB，D 为垂足，MN 切ABC 与 C 点，AFMN，F 为垂足，AEMN，E 为垂足， 求证：CD=CE=CF题目 86已知，ABC 中，ACB=90 度， 以 BC 为直径的圆交 AB 于点 D，以 AC 为半径的圆交 AB于点 E，B
