1、数学建模液滴高度问题2013年河南科技大学数学建模选拔赛承诺书我们仔细阅读了数学建模选拔赛的规则我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨 询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的，如果引用别人的成果或其他 公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正 文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反 选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从 A/B/C中选择一项填写）： B 队员签名 ：1. 于蕊瑞 2. 咼亚娟 3. 王泽龙 日
2、期：2013年08月19日2013年河南科技大学数学建模竞赛选拔编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：评阅记录（评阅时使用）：评阅人评分备注液滴高度问题的求解一、摘要通过对题目的分析，结合所学热工及其物理知识，排除不相关因素后，确立 了以液体表面张力为研究重点的液滴接触角模型。 首先采用逆向思维可以分析出 影响接触角的因素有液体的表面张力， 固体表面粗糙度，液体分子间的相互作用 力以及气体与液体间的作用力等。经资料查证和经验分析可知，液体的表面张力 是主导作用，因此确立表面张力系数就是此次研究的重点。 通过对液体表面张力 V1及溶液和水平面接触角日等的分析，建立了饱和高度h 和极限高度h i的
3、 max min数学表达式。同时，通过对水平固体表面上液滴形态的合理性假设， 利用几何学关系，并通过定积分给出了液滴饱和体积计算方程，得到液体的饱和体积公式。 由于温度、液体密度、液体纯度同时对表面张力、表面张力系数产生影响，于是 选取在常温下0度到180度的接触角范围内分别选取几个特殊数据点计算出了饱 和高度、饱和体积、极限高度及极限高度和饱和高度的比值， 同时画出了完全不 浸润的情况下液滴在水平固体表面的形态，考虑到温度对表面张力系数的绝对影 响力，查资料得到液体表面张力系和温度的关系， 并将其带入原来的模型，从而得到比较完整的求解模型。关键词：液体表面张力 极限高度 You ng方程 椭
4、圆拟合 接触角二、问题重述在物理实验中发现一个有趣的现象如下：测量放在一种固体材料的水平平面上具有不同体积的液滴在静态时的高度 时，发现当该液滴与固体的接触角二0不变的情况下，随着液滴体积的递增， 液滴的高度递增，直到液滴体积达到某个（在此称之为）饱和体积时，液滴高度 达到最大值（在此称之为饱和高度）。当液滴体积从饱和体积开始递增时，液滴 的高度递减，而且随着体积的增大高度递减量越来越小，液滴高度似乎趋于一（在 此称之为）极限高度。我们要建立一个针对不同材料表面， 液滴的接触角度不同的情况下，求解液 滴饱和高度、极限高度、饱和体积及极限高度与饱和高度的比值的模型。二、问题假设1材料表面是理想光
5、滑的并且绝对水平。2、 重力加速度取值为9.78m/s。3、 温度为室温20摄氏度。4、 实验在无风条件下进行，即接触角不会发生动态变化，并且液滴保持静 止。5、 在标准大气压下进行试验。6、 液体纯净不含杂质。7、 试验台与海平面保持一致。8、 不同界面间只存在界面张力。9、 液滴体积较小时为球缺，体积较大时液滴边缘为椭圆状。四、符号说明S:固体表面张力ls:液固表面张力1 :液体表面张力d :水平固体表面液滴与水平面的接触角hmax :饱和高度hmin :极限高度P :溶液密度S:铺展系数P:表面压力R :饱和高度下液滴近似球体半径g: 重力加速度V:饱和条件下液滴体积a: 饱和高度下液滴
6、近似椭球体长轴半径b: 饱和高度下液滴近似椭球体短轴半径c : 饱和高度下液滴近似椭球体z轴半径五、模型建立考虑液滴置于理想的固体表面上，在光滑且均匀的固体表面上滴一滴液体， 通过固、液、气三乡交界点A,沿液滴面引一切线，切线和固体表面的夹角为接触 角厂从热力学观点看，液体落在固体表面时润湿情况，由 You ng s方程：s ls l scos=( - )/ ，其中有固体表面张力 ,它倾向于是液滴铺展开来。液固ls I表面张力 ，它倾向于使液滴收缩。以及液体表面张力 ，如图所示，液滴的体积不变，固液气三相的接触线在固体表面上的曲率半径 分别为：、：，液滴分别处于状态a、b、c，对应的接触角为二
7、、二1、1 2 1二2，考虑线张力的影响，由力学平衡可以得到：cos 二=cos -丄s 丫1 P其中二是线张力的合力，在液滴体积不发生变化的条件下，三相接触线曲率 半径的变化引起接触角的变化，从而使得接触角不再是唯一的，可以在某一范围 内变化。当曲率半径趋于无穷大是，该方程就可以转化为 You ng方程，当液体可 以完全润湿固体表面时，接触角是唯一确定的。以下我们就针对特殊情况时来讨 论。通过对液滴与固体表面接触分析得知，液滴最终能达到静态平衡并具有一定sV的外形，主要受到使液滴铺展开来的固体表面张力 ，使液体收缩的液固表面IsV张力 ，以及液体表面张力。经过分析查证可知润湿有三种类型，即沾
8、湿、浸湿与铺展，又有润湿角的影响以及能量分析得出结论： 9 =180。完全不润湿9 90。不润湿9 v 90o润湿9 =0。完全润湿9 v 0o三力失去平衡，润湿方程不适用 润湿情况下具体受力图如下不润湿情况下，接触角大于90度在此情况之前该液体高度可能一直增加， 直至达到饱和高度，且认为在饱和 高度处受力平衡，为球缺状态。此时体积为饱和体积，如果体积再度增加，高度 反而下降，下降规律使其存在极限高度。对整个过程建立数学模型时，体积是重 要影响因素，形态是重点研究对象。通过实际液滴图像发现，小体积液滴边缘为 圆形，随着液滴提及的增加边缘更接近于椭圆。 于是便采用圆或椭圆方程的拟合 算法更能获得
9、精确的数据，而且计算简单，容易理解，能方便、快速、有效地处 理相对位置和偏转。通过研究，考虑液滴体积较小时水珠边缘为圆形可使用基于圆拟合的算法，在体积较小的情况下有较高的精确度， 但对液滴体积较大时该算 法误差相对较大。当液滴中体积增加时液滴边缘近似为椭圆，欲采用直接拟合法 获得椭圆参数，用以提高计算精度。通过仿真拟合得知椭圆不能满足题目的 需求, 并且液滴体积较小( 5uL)，水珠图像边缘接近于圆，因此该题用圆拟合。s ls l s Is液滴处于理想状态，有you ng方程 =+ *cos 0 得cos 0 =(-)I/立体关系 画出平面图和体积，高度必然下降，S0b直至达到某一最小高度一-
10、一 11 T勵息 “ 平衢g应用热力学知识，采用功能关系式得到结合数学知识得到 R = (R- hmin ” C0S & 化简后有 R=hmin / (1-C0S 9再结合压力方程P=；J (1-C0S 9 / hmin液滴底层受到重力作用与hmin有关，最终整理得gin l-COSR/F则R=hmin /(1- cos 9 )= . dcosR/巾 / (1- cos 9又由资料得知2 lCOS91- ( P g hmax / )得饱和高度hmax- 2 XCOSf g计算饱和体积由球缺的面积积分可知2 2 2 dV= x dy=二(R - y )dy角度高度比半径饱和体积极限咼度饱和高度1
11、0 :1.414E+0003.130E-0022.213E-008P 3.363E-0044.756E-004201.414E+0001.571E-0024.343E-0086.700E-0049.475E-004301.414E+0001.054E-0026.310E-0089.986E-0041.412E-00340 :1.414E+0007.977E-0038.048E-008P 1.320E-0031.866E-003501.414E+0006.456E-0039.501E-0081.631E-0032.306E-003601.414E+0005.457E-0031.063E-0071
12、.929E-0032.728E-00370 11.414E+0004.757E-0031.143E-007P 2.213E-0033.130E-003801.414E+0004.245E-0031.189E-0072.480E-0033.507E-003901.414E+0003.858E-0031.203E-0072.728E-0033.858E-0031001.414E+0003.562E-0031.190E-007P 2.956E-0034.180E-003110 |1.414E+0003.331E-0031.155E-0073.161E-0034.470E-003R R 2 R 2 2
13、V缺=R十 dV= R二 xdy卄(R - y)dymax max max2 1 3=Rhmax- 3 hmax则题目第一问极限高度的表达式为 hmin = 1 (1 -COS，)/ -g六、模型求解利用上述模型，分别计算了水在不同的材料表面上，利用 C+计算得出接触角为10、20、30 180度的情况下的各个数据如下：1201.414E+0003.150E-0031.105E-0073.342E-0034.726E-003130 J1.414E+0003.010E-0031.046E-0073.497E-0034.945E-0031401.414E+0002.903E-0039.864E-0
14、083.626E-0035.128E-003150 J1.414E+0002.825E-0039.318E-008P 3.727E-0035.271E-0031601.414E+0002.770E-0038.883E-0083.800E-0035.374E-003170 J1.414E+0002.739E-0038.603E-008:3.844E-0035.436E-003180 |1.414E+0002.728E-0038.507E-0083.858E-0035.457E-003将上述数据与结论进行对比分析可知，液体饱和直径随着接触角变化有一定 的规律。于是将上述表格用SPSS拟合图形得出饱
15、和半径于接触角的变化曲线如 下：Og.L0.030-0 020-O.OIO- o.ooo-10 20 30 40 50 60 70 8Q 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180角度同时可以归纳出极限高度与接触角的变化曲线，结果如下：4 OODE-S-3 OOOb-3-2.0D0BS-1.0OD&3-O.OCQBO I- I I I I I I I- f I I I I10 20 30 4C 50 6G 70 BQ 90 100 1W 120 130 140 1 1fi0 170 1B0以上均是浸润情况下，在完全不浸润即接触角为 180度时，液滴为球形:其实
16、由于重力等因素的存在，液滴的实际存在状态为椭球形:七、误差分析在该模型的建立过程中，我们较好的讨论了模型的普通形式和其特殊形式， 例如液滴的椭圆模型和圆模型，因为接触角在 35度以上适合用椭圆模型，35度 以上适合用圆模型，但因椭圆模型涉及较为复杂的运算， 故只是较为详细的讨论 了圆模型，这样势必就会引起一些误差，也就是不足之处，另外一个较好之处是 运用了单一变量法，通过不同的液体，简单的测出所需数据，建立模型，进而求 解模型。当然，在该模型中还存在一些缺点，比如说在刚才提到过所使用的圆模型，不可避免的会引起误差，还有 You ng定理也是在理性情况下，没有使用普通公 式。另外，接触角的测量肯
17、定也存在系统误差，最后，在计算液滴体积时，存在 着绝对误差。影响液体表面张力系数的因素有温度，材料，粗糙度，液体浓度， 液体纯度以及液体的浸润性等。八、参考文献1、 关于线张力对液滴固体接触角的影响问题应用基础与工程科学 学报 2009 年第四期( 6)2、 严应政 李国华 杨氏方程推导应用中的几个疑点及其他 西北建筑工程 学院学报3、 朱海 邓若鹏 陈元杰 利用一套新的控温装置对液体表面张力系数与温 度关系的研究 复旦大学物理系4、 朱海 邓若鹏 陈元杰 设置控温装置研究液体表面张力系数与温度的关 系 复旦大学物理系5、 液体表面张力系数与温度的关系的实验研究 谭兴文 西南大学 物理科学 与
18、技术学院6赵修建 多孔Ti02薄膜自洁净玻璃的亲水性和光催化活性 高等学校化学学报7、卿涛 邵天敏 温诗铸 相对湿度对材料表面粘附力影响的研究 摩擦学 学报 2006九、附录运算时采用 c+6.0 ，运算程序如下：#include#include#define pi 3.1415926void main()int angle = 10;double hmax18;double hmin18;double h;double R18;double V18;int i;printf(hmax:n);for( i = 0; i 18; i+)hmaxi = sqrt( 2.0 * 0.0728 * (
19、1 - cos(angle * pi / 180) / 9780.0); printf(%0.3en , hmaxi);angle = angle + 10; printf(nnhmin:n); for(i = 0; i 18; i+)hmini = hmaxi / sqrt(2);printf(%0.3en,hmini);angle = 10;printf(nnh:n);for(i = 0; i 18; i+) h=hmaxi/hmini;printf(%0.3en,h);angle = 10;printf(nnR:n);for(i = 0; i 18; i+)Ri = hmaxi / (1 - cos(angle * pi / 180);printf(%0.3en,Ri);angle = angle + 10;printf(nnV:n);for(i = 0;i 18; i+)Vi = pi * hmaxi * hmaxi * (Ri - hmaxi/3.0);printf(%0.3en, Vi);关系分析时采用图形拟合，使用软件 SPSSStatistics 需要导入C+结果制成的 excel 表格，运行过程及产生文件见附件。
