1、（2）在ABC中，C27，AD和DE分别是ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且ADDC，BEDE，请你根据题意画出示意图，并求B的度数4（2016顺义区一模）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”例如：RtABC，取边AB的中点D，线段CD就是ABC的等腰线段（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）如图，在EFG中，若G2F，且EFG有等腰线段，请直接写出F的度数的取值范围5（2020秋亭湖区校级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个
2、三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”（1）如图1，在ABC中，D是边BC上一点，若B30，BADC40，求证：AD为ABC的“等角分割线”；（2）如图2，ABC中，C90，B30；利用直尺和圆规，作出ABC的“等角分割线”；若BC6，求出中画出的“等角分割线”的长度（3）在ABC中，A42，若ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的ACB的度数6（2019秋高安市期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那
3、么称这两个三角形互为“等角三角形”从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”理解概念（1）如图1，在RtABC中，ACB90，CDAB，请写出图中两对“等角三角形”概念应用（2）如图2，在ABC中，CD为角平分线，A40，B60求证：CD为ABC的等角分割线，CD是ABC的等角分割线，直接写出ACB的度数7（2019秋西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组
4、对边相等的四边形叫做等边四边形（1）如图，在ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD，BE相交于点O，若A60，DCBEBCA请你写出图中一个与A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在ABC中，如果A是不等于60的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且DCBEBCA探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论8（2019秋临沭县期中）若等腰三角形的顶角为36，则这个三角形称为黄金三角形如图，在ABC中，BABC，D在边CB上，且DBDAAC（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MHAD于H，分别交直线AB，AC于
5、点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明9（2018秋海安市期末）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心（1）如图，小海同学在作ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使ADBECF，连接DE，EF，DF，得到DEF若点O为ABC的外心，求证：点O也是DEF的外心10（2020汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC，当
6、+180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”图1、图2、图3中的ABC均是ABC的“旋补三角形”（1）如图2，当ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD BC；如图3，当BAC90，BC8时，则“旋补中线”AD长为 （2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明11（2020天心区开学）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形（1）如图1，已知等腰直角ABC，ACB90，ACBC4，P为AC上一点，当AP 时，ABP与CBP为偏等积三角形
7、（2）如图2，ABD与ACD为偏等积三角形，AB2，AC6，且线段AD的长度为正整数，过点C作CEAB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知ACD为直角三角形，ADC90，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：ACD与ABE为偏等积三角形12（2018秋海淀区期末）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若ECED则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称
8、点D在直线OC上如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标： ；若AE2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2AE3请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围： （用含n的代数式表示）13（2019秋东城区期末）对于ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，Mn都在ABC的边上，且PM1PM2PM3PMn，那么称点M1，M2，M3，Mn为ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，P
9、M3，PMn为ABC关于点P的等距线段（1）如图1，ABC中，A90，ABAC，点P是BC的中点点B，C ABC关于点P的等距点，线段PA，PB ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；（2）ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是ABC关于点P的等距点，且PC1，求线段DC的长；（3）如图2，在RtABC中，C90点P在BC上，ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C若BCa，直接写出PC长的取值范围（用含a的式子表示）2021年八年级数学上新定义
10、题型参考答案与试题解析，则它的特征值k或【解答】解：当A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：50特征值k当A为底角时，顶角的度数为：1808020综上所述，特征值k为故答案为你认为直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线”；，AD和DE分别是ABC的“三分等腰线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且ADDC，BEDE，请根据题意写出B度数的所有可能的值38或22（1）如图（1）中，线段CD即为所求；（2）如图（2）中，线段AE，BF即为所求；（3）你认为直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线”；故答案为：斜边上的中线如图（3），线段BE，CT即为所求；（4）设Bx，当ADDE时，如图
11、1（a），ADCD，CCAD33，DEEB，BEDBx，AEDDAE2x，332+2x+x180x38B38当ADAE时，如图1（b），AEDADE2x，2x+x33+33x22B22当EADE时，90x+33+x180x不存在，应舍去综合上述：B的度数的所有可能值为3838，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值103.5或126；【定义】如图，如图所示，（1）如图当B42，AD为“好线”，则BABD，ADCD，这个三角形最大内角是BAC103.5如图当B42时，CD为“好线”，则ADAC，CDBD，故这个三角形最大内角是ACB126综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值
12、是103.5103.5（2）设BxCCAD27BEDBxAEDDAE2x272+2x+x180，x42，B42AEDADE2x2x+x27+27，x18，B1890x+27+27+x180，满足条件的x42或18（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设Fx，则G2x，如图2，线段EM是等腰线段，EMG是等腰三角形，EMEG，MEMF，FMEFx，EMGG2x，2x90x45如图3，GN为等腰线段，若NFNG，GNGE，FNGFx，EENG，EGNx，ENG2x，E2x，x+2x+2x180x36若NFNG，NENG，EFG为等腰直角三角形，F45F的度数的取值范围为0x45【解答】（1）证明：
13、B30ADBBAC1804030110又BB，ABD的三个内角与ABC的三个内角的度数分别相等，BAD40ADCB+BAD70又C40DACBACBAD70ADC，ACDC，ACD是等腰三角形，AD为ABC的“等角分割线”；（2）解：画BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求；如图2所示：理由如下：C90BAC9060AD平分BAC，DACDAB30B，ADC60BAC，又CC，ADC的三个内角与ABC的三个内角分别相等，BADB，ADBD，ABD是等腰三角形，设CDx，ADC中，C90，DAC30AD2CD2x，BDAD2x，BC6，x+2x6，x2，AD2x4；（3）当ACD是等腰
14、三角形，DADC时，ACDA42ACBBDC42+4284当ACD是等腰三角形，DAAC时，ACDADC69BCDA42ACB69111当ACD是等腰三角形，CDAC的情况不存在，当BCD是等腰三角形，DCBD时，ACDBCDB46ACB92当BCD是等腰三角形，如图5，DBBC时，BDCBCD，设BDCBCDx，则B1802x，则ACDB180由题意得，1802x+42x，解得，x74ACD1802x32ACB106当BCD是等腰三角形，CDCB的情况不存在，ACB的度数为111或84或106或92（1）ABC与ACD，ABC与BCD，ACD与BCD是“等角三角形”；（2）在ABC中，A40
15、ACB180AB80CD为角平分线，ACDDCBACB40ACDA，DCBA，CDDA，在DBC中，DCB40BDC180DCBB80BDCACB，CDDA，BDCACB，DCBA，BB，CD为ABC的等角分割线；（3）当ACD是等腰三角形，如图2，DADC时，ACDA42当ACD是等腰三角形，如图，3，DAAC时，ACDADC69当BCD是等腰三角形，如图4，DCBD时，ACDBCDB46（1）A60A，OBCOCB30BODEOCOBC+OCB60与A相等的角是BOD，EOC如图1，过点B作BGCD于G，过点C作CFBE于FDCBEBCOBOC，在BGO和CFO中，BGOCFO（AAS），BGCF，BODA，BDGBOD+ABEA+ABECEF，BDGCEF，BGDCEF90，BGCE，BGDCFE（AAS）BDCE，四边形BCED是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED是等对边四边形理由如下：如图2中，作BGCD于G，CFBE于FA+DOE180，ADO+AEO180AEO+CEF180，ADOBDG，BDGCEF，BDGCEF，BGDCE
