1、259关键词：优先级；泊松分布；Matlab；SPSS；非线性规划；相似度5.7%一、 问题重述1.1 基本信息1） 医院的眼科门诊每天都开放，眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤；2） 白内障的手术较简单且没有急症，该医院安排周一和周三做其手术。通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。白内障病人的术前准备只需12天，做双眼的病人比做一只眼睛的多，大约占到60%；3） 外伤疾病通常属于急症。病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术；4） 其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后23天就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病
2、手术时可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。1.2 提出问题当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（先到先服务）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否
3、根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。 问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。二、 问题背景与分析2.1 问题背景1病床是医院医疗设备的重要组成部分，随着国内医疗制度的深化改革，大部分医院已经进入市场经济的运行模式。各医院的竞争日益激烈，医院要想在新的市场条件下保持竞争优势且兼顾社会效益
4、，就必须提高病床的使用效率，并对其进行科学有效的管理。2.2 问题分析2.2.1 问题一的分析问题一要求给出合理的评价指标体系并对病床安排模型的优劣进行评价。从病人的角度看，合理的安排就是让病人从挂号到出院的时间尽可能的短。但根据实际情况，病人的术后观察时间是由病情决定的，无法通过建模缩短，所以所建立模型的指标为病人平均等待时间。从医院的角度看，可以将医院病人的吞吐量作为评价指标。院方希望在一定时间入院治疗的病人越多越好，尽可能多的利用有限的床位从而获得最大利润。由于病床的周转次数与医院每天出院的人数是密切相关的在病床不够的情况下，医院每天出院的人数越多，能够入院的病人就越多，病床周转次数就越
5、多，医院的效益就越好。综合考虑病人和医院的利益，我们把病人平均等待时间，医院病人吞吐量作为评价指标。当前一项指标值越小，后一项指标值越大的时候，病床安排模型越好。2.2.2 问题二的分析针对问题二在确定病人入院规则时，要考虑以下几点:白内障病人只能安排在周一与周三做手术，而其它病人除外伤病人外不能在周一和周三做手术；不同病的人术前准备时间不同；外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院。病床的安排必须满足题目中的所有约束条件，并使得建立的入院规则能够让病人的等待时间尽量短。据此可以建立了使病人平均等待时间最短，医院病人吞吐量最大的多目标规划模型。结合题目要求，可采用优先级随时间变化的规则来进
6、行病床安排并按照问题1中确定的评价指标体系来进行评价其合理性。2.2.3 问题三的分析 针对问题三，患者入院时间区间的选取是比较抽象的，由于无法预知未来几天内门诊患者的情况，所以我们很难确定一个比较精确的患者入院日期的区间。基于此情况的考虑，我们可以在问题二中建立的模型的基础上，结合统计学知识预测出未来每天各种病症患者门诊的情况，然后将当前实际情况与预测的情况综合考虑大致给出一个患者的入院日期的区间。2.2.4 问题四的分析问题四假定该医院住院部在周六、周日不安排手术，则原本可以安排在周六、周日的手术必须安排到下周一至周五，使得等待住院的病人队列更长，也将导致病床的合理安排更为复杂。在此情况下
7、重新回答问题2，假设医院的手术安排不做调整，只需在问题2中所建模型中增加一个约束条件，即周六、周日不安排手术；假设医院的手术安排做出调整，可以发现，当周六，周日不进行手术时，外伤，视网膜疾病以及青光眼本应该在周六、周日做手术的要向后推迟，而对于白内障病人并不影响。若把白内障手术时间从周一、周三向后调整的话，视网膜疾病以及青光眼病人的手术推迟时间便可缩短。据此可以适当向后调整白内障手术时间，并比较各种调整后方案，并与原方案（即不医院不调整手术时间）相比，以问题一中确定的指标为评价原则，选取最优者作为最终安排方案。2.2.5 问题五的分析针对第五问，从便于管理的角度医院根据各类病人的到达来安排分配
8、病床。首先可以通过数据分析统计出病人的到达服从什么分布，再根据各类病人的限制条件，以病人等待时间最短为目标函数建立规划模型，求出病人在医院的平均逗留时间最短时的病床分配方案。分配过程中由于外伤急诊病人的特殊性，我们将外伤病人优先考虑，保证所有的外伤急诊病人能得到及时的住院和救治，在这之后再统一安排余下各类病人的病床分配。三、 模型假设1. 所有挂过号的病人不会中途退出系统，住院接受治疗直至出院；2. 该医院的眼科手术资源充足，在考虑病床安排时不考虑手术条件的限制；3. 题目所给数据是合理、正确的。四、 符号说明符号符号说明病人手术前的平均等待时间医院病人吞吐量（每天医院的出院病人数）第i个病人
9、从就诊到出院的时间间隔第i个病人的入院等待时间第i个病人的术前准备时间第i个病人的总等待时间日期j入院的病人数第s类病病人的手术时间第i个病人入院的时间第i个病人第一次动手术的时间第i个病人到门诊就诊的时间五、 模型的建立与求解5.1.1 建立评价体系病床安排模型的合理评价指标体系应遵循两个原则：1. 病人平均等待时间从病人的角度看，当评价医院病床安排得是否合理时，主要应考虑到病人在医院治病所花的总的时间，而医院可以安排的时间是病人何时入院、何时进行第一次手术，这两项安排直接影响到病人入院接受手术的时间。在此，定义第i个病人从去医院门诊就诊到入住医院的时间间隔为入住等待时间，用符号表示，定义第
10、i个病人从入住医院到第一次手术开始的时间间隔为手术等待时间，用符号表示。则第i个病人总等待时间的数学表达式为:而病床的安排是对所有住院眼科病人而言。现设在2008-07-13到2008-09-11期间，总共有n个眼科病人住院，则最终用这n个病人的平均等待时间作为评价病床安排模型的指标之一。从病人的角度来看，病人的平均等待时间越短，病人对医院的满意度就越高，对应的病床安排模型就越合理。2. 医院病人吞吐量从医院的角度出发，院方希望在一定时间入院治疗的病人越多越好，尽可能多的利用有限的床位从而获得最大利润。为了知道医院在一定时期内眼科出院病人数，本文定义指标医院病人吞吐量，表示单位时间内（按天计）
11、，医院的出院病人数。假设在2008-08-08到2008-09-11期间，总共有m个眼科病人出院，总天数为d。所以，用数学表达式表示病人吞吐量指标为：本问题中，在确定的病床安排模型下，医院病人吞吐量为一定值。因此，不同的病床安排模型将对应不同的吞吐量。由于在2008-08-08到2008-09-11期间，总天数d是一个定值，因此，当吞吐量越大时，表明有越多的病人能够入住医院进行手术，医院的满意度就越高，则模型就建立得越好。到此，合理的评价指标体系已经建成，它由上述2项指标共同组成。其合理性体现为以下几点：1）考虑了该医院的基本设施情况以及工作安排情况，这是所建立的模型应满足的基本条件；2）综合
12、考虑了医院和病人的双方的利益；3）兼顾公平性原则。5.1.2 模型的求解根据EXCEL求解，可得病人的平均等待时间T=13.15186，医院病人吞吐量W=8.628571。分疾病的数据如下：表1 各疾病的各项指标数据等待入院时间手术准备时间术后观察时间总等待时间相对等待时间白内障12.683542.3797472.902777815.063290.8384312.682693.6346152.963414616.317310.76676512.31252，4166678.076923114729170.64584412.723882.36567210.16831715.089550.59742
13、外伤16.036363620.248869根据求解，除去外伤病人的等待时间为2天，其他病人的等待时间均超过了14天，其中主要原因为星期一的双眼白内障患者依据FCFS原则先入院，却要等到下周一才能进行手术，等待过程中浪费了医院的病床资源。因此医院的病人吞吐量也才8.628571。5.2 问题二5.2.1 模型的建立病床的安排必须满足题目中的所有约束条件，并且能够按照问题1中确定的评价指标体系来进行评价其合理性，同时要能根据已知的拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。我们在满足题目约束条件的情况下，以问题1中确定的各项评价指标最合理为目标来建立模型。设每天入院的病人数为（j表示日期），由于
14、医院的住院部共有病床79张，显然应该有用分别表示外伤、白内障、白内障（双眼）、视网膜疾病、青光眼五种手术类型，用分别表示周一、周二周日这七天，用表示第s类病病人的手术时间，所以由于白内障手术只安排在周一、三做且白内障（双眼）手术分别在周一、周三各做一次，视网膜疾病和青光眼手术不安排在这两天做，所以应该有按照问题1确定的用来评价病床安排模型的指标，我们的目标是在满足题中基本约束条件的情况下，使病人平均总等待时间T最短，使医院病人吞吐量W最大。因此，可定义目标为：其中，表示第i个病人到门诊就诊的时间，表示第i个病人入院的时间，表示第i个病人第一次动手术的时间。下面确定，即日期j入院的病人数，表示第
15、i个病人在日期j入院，是一个在0与1之间的数，我们对其取整,即当时表示第i个病人在日期j入院，等于1时表示第i个病人不在日期j入院，由此可确定日期j入院的病人数结合题目要求，得约束条件为：综合以上分析，建立多目标规划模型I2进行如下：5.2.2 模型的求解在实际安排时，为了得到较全面的安排性能，需要综合考虑多种安排因素。多级反馈队列安排算法结合了先来先服务、高时间比、优先级等多种算法的设计思想。因此，本模型采用多级反馈队列安排算法求解。下面介绍该算法的具体思想。多级反馈队列安排算法设置多个队列，各队列具有不同的优先级，但同一队列内优先级相同。医院按照队列的优先级进行安排，即优先安排优先级较高的
16、队列，当优先级较高的队列为空时再安排优先级较低的队列。各个队列内部按照先来先服务原则排列。根据各个队列优先级的不同，分配的空床位百分比就不同，一般优先级越高的队列分得的空床位百分比越大。根据医院手术的类型：外伤、白内障、白内障（双眼）、视网膜疾病、青光眼，将病人分为5个队列，每个队列代表一种手术类型，依据手术类型将5个队列分别记为A、B、C、D、E。下图是一个由这5个队列组成的多级反馈队列安排模型。将A、B、C、D、E五个队列的长度依次记为下面对各个队列的优先级进行确定。由于外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，所以队列A的优先级最高（用1表示），且不随时间改变。即只要有外伤疾病患者到
17、门诊就诊，第二天就让患者入院，住院后第二天便安排手术。其它四类眼科手术由于手术时间的限制，队列B、C、D、E的优先级是动态变化的。由于医院在周一、三做白内障手术，且此类病人的术前准备时间需1、2天，并且做双眼的比例较高，而且是周一先做一只，周三再做另一只，所以在周一的前1、2天，即在周六、日应该优先安排白内障（双眼）和白内障，且白内障（双眼）的优先级较高。此时队列B、C的优先级分别为3、2。在周三的前1、2天，即在周一、周二应该优先安排白内障患者入院，然后再安排另外两种疾病。为了对队列D（代表视网膜疾病病人）、E（代表青光眼病人）分配的床位进行量化，我们根据队列长度分配住院名额，分别赋予队列D
18、、E一个相应的百分比。多级反馈队列安排算法的具体实施步骤为：1. 判断病人属于哪种手术类型，根据手术类型进入相应的队列排队；2. 统计第二天病人出院人数；3. 计算空床的数目（原有剩余空床数与第二天腾出的空床数之和）；4. 判断是否有空床位，没有则停止；若有，继续执行下步骤：1） 判断是否有外伤病人，若有，从队列A中依次取出元素（指病人）入院；2） 若当前时间是周六、日，优先安排白内障（双眼）病人，即取完队列C的元素后再去取队列B的元素；3） 若时间是周一、二，则优先安排白内障病人，即先去取队列B的元素，后再将余下的床位按计算所得的百分比分配给视网膜疾病和青光眼病人；4） 若时间是周三、四、五
19、，则先对视网膜疾病和青光眼病人按照各自的百分比分配床位；5.2.3 结果分析利用上面的多级反馈队列安排算法，结合Matlab编程（主要程序部分见附录1），得到新的安排方案。我们利用问题1中确定的评价指标分别对原方案和新方案进行评价，并对评价结果进行比较分析。计算得到原方案和新方案的各项指标如下表（时间的单位以天计算）表2 新方案的指标数据类型平均等待时间吞吐量（人/天）原方案13.151868.628571新方案9.7468098.942857由上表可知，根据所建模型得到的新方案相对原方案而言，病人的平均等待时间有明显减少，减少了25.89%，吞吐量也有增多，增多了3.64%。因此新模型所得到
20、的新方案优化效果明显。此处摘选部分方案如下（详细见附录三）表3 病人疾病门诊日期住院日期手术日期出院日期2008/7/132008/7/142008/7/152008/7/212008/7/252008/7/272008/8/632008/7/282008/7/302008/8/242008/8/12008/8/1152008/8/462008/7/312008/8/12782008/7/26105.3 问题三5.3.1 模型的建立病人门诊时的大致入住时间不仅与该病人的就诊当天的日期有关，而且受到其他病人入住时间的影响，其入院的时间是关于该病人的当前就诊时间 T，该病人所得的病的类型 K1，当
21、前病房的剩余量N,出院人数F，就诊人数L 以及就诊病人得病的种类 K2的函数也即其入院时间为：如果按照医院的先来先服务原则，则病人的具体的入院时间就是一个确定的值，但是先到先服务原则不能兼顾到大部分的病人的满意情况，并且还会使得某些病人长时间得不到服务的情况。如果兼顾到大多数病人的情况，则病人的入住时间就为一个不确定的数，此时问题的难度也加大。我们对附录所给7月13日至9月11日的数据进行统计，统计该医院每天就诊的人数并对该数据运用SPSS 软件对其进行 Poisson分布的单样本的非参数的检验，SPSS 运行结果如下表所示表4單一樣本 Kolmogorov-Smirnov 檢定 2N61Po
22、isson 參數a,b平均數1.63932.1803.96722.5246.8689最極端差異絕對.047.050.036.067.046正.029.025.023負-.047-.015-.036-.064-.046Kolmogorov-Smirnov Z 檢定.364.394.280.527.360漸近顯著性 （雙尾）.999.9981.000.944a. 檢定分配是Poisson 分配。b. 從資料計算。从检验的结果可以看出医院每天的病人就诊时间基本服从 Poisson 分布，并且不同的病人服从不同参数的泊松分布，白内障病人、白内障（双眼）病人、青光眼病人、视网膜疾病、外伤其每天病人就诊人
23、数分别服从值为 1.6393,2.1803,0.9672,2.5246，0.8689的泊松分布。首先我们假设后来的病人不会因为优先权的原因抢占该天住院的床位，因而后来的病人对前面等待的人的住院情况不会产生影响，所以此时病人的入院时间就能根据该天前的病人入院情况从而得到确定。然后由于医院手术时间的限制，从全局的角度考虑白内障的单眼患者一般都使其在周一或者周三进行手术，由于手术有其相应的准备时间，所以推算后从周六到周二这一段时间内他们的优先权是很大的，在这段时间内的白内障患者的入院顺序即为该白内障患者在队列中所有白内障患者所排的时间顺序按先来先入院的原则安排其入院时间。其他的眼科疾病（青光眼、视网
24、膜疾病）不能在周一或周三做手术，由于其手术的准备时间都为两天，所以该类患者在白内障病人的入院时期，其他眼科疾病在期间入院的概率是不大的。因此白内障患者的入院时间其可能的入院时间按我们在问题二中建立的模型的原则来安排的情况下其入院时间一般为周六至下周二，而青光眼与视网膜疾病的患者其入院的时间一般为周二至周五左右，而根据问题所给附录数据我们可以发现，对于外伤患者来说一般情况下在就诊的后一天，该病人就能入院就诊。经过以上的结合医院的手术特点为病人提供的大致的入院区间，病人可以根据其当天就诊的日期结合我们所分析的病人入院的区间，尽快的定性估计出其所需的等待时间，使自己心里大致有底大概会在何时入院，并且
25、在入院前做好充分的准备。5.3.2 模型的求解由于上述的分析是从一般的医院的根据模型二中确定的原则较为模糊的考虑病人的入院时间区间，然而实际的情况是非常复杂的，因为影响病人入院时间的因素是很多的，从理论上推理计算求出病人入院的区间，其难度是非常大的，因为考虑的情况很多，所以我们才用计算机模拟的方法来处理该类问题，用其得出的数据来进一步的分析眼科病人入院的情况。为了考虑问题以及编程的方便，我们将其转化为求病人就诊时间到入院时间的等待天数来做，因为估计出了该病人的平均等待时间后结合病人自己当时的就诊日期就能计算出该病人的入院时间区间。将第二天到来的病人人数设为一个服从泊松分布的随机数后，我们利用 9 月 5 号之前的病人情况分析 9 月 5 号到 9 月 11 号这一周内不同病人的入院等待时间区间，运用 MATLAB 编程得出结果如下表所示：表5模拟预测不同疾病平均等待天数日期9.57.3684.8322.8149.62.8462.8342.1349.72.4842.4549.82.4562.2
