1、指数函数经典例题标准答案指数函数1指数函数的定义： y ax （a 0且a 1） 的图象和性质。函数 y ax（a 0且a 1）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 Ra10a1图 象111性 质（1） 定义域： R（2）值域：（0，+）（3）过点（ 0，1），即 x=0 时，y=1（4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数指数函数是高中数学中的一个基本初等函数， 有关指数函数的图象与性质的 题目类型较多， 同时也是学习后续数学内容的基础和高考考查的重点， 本文对此 部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨1比较大小例 1 已知函数 f (x) x2 bx c满足 f (1 x
2、) f (1 x)，且 f(0) 3 ，则 f(bx)与f(c ) 的大小关系是 分析：先求 b，c的值再比较大小，要注意 bx，cx 的取值是否在同一单调区间 内解： f (1 x) f (1 x) ，函数 f (x) 的对称轴是 x 1 故b 2，又 f(0) 3， c 3函数 f(x)在 ，1 上递减，在 1， 上递增若x0，则3x2x1， f(3x)f(2x)；若x 0，则3x 2x 1， f(3x) f(2x)综上可得 f(3x) f(2x)，即 f(cx) f(bx) 评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数
3、进行讨论 2求解有关指数不等式例 2 已知 (a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x，则 x 的取值范围是 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解： a2 2a 5 (a 1)2 4 4 1 ，函数 y (a2 2a 5)x 在 ( ， ) 上是增函数，3x 1 x，解得 x 1 x的取值范围是 1， 44 评注：利用指数函数的单调性解不等式， 需将不等式两边都凑成底数相同的 指数式，并判断底数与 1 的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论 3求定义域及值域问题例 3 求函数 y 1 6x 2 的定义域和值域解：由题意可得 1 6x 20，即6x 21，x 20，故
4、x2 函数 f (x)的定义域是 ，2 令t 6x 2，则 y 1 t ，又 x2 ， x 2 0 0 6x 21，即 0 t1 0 1 t 1 ，即 0 y 1 函数的值域是 0，1 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4 函数 y a2x 2ax 1（a 0且a 1）在区间 1，1 上有最大值 14，则 a 的值 是 分析：令 t ax可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t的取值 范围解：令 t ax，则 t 0，函数 y a2x 2ax 1可化为 y （t 1）2 2 ，其对称轴为 t 1 当 a1 时， x1，1 ，1ax a，即1taa
5、a当ta 时， ymax2(a 1)22 14 解得a3 或a 5（舍去）当 0 a1 时， x 1，1 ，aax 1，即a t 1，aa1 1 2 t 时， ymax 1 2 14 ，aa解得a 1或a 1 （舍去）， a 的值是 3或13 5 3 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用， 比如：换元法， 整体代入等5解指数方程例 5 解方程 3x 2 32 x 80 解：原方程可化为 9 （3x）2 80 3x 9 0 ，令 t 3x （t 0），上述方程可化为9t2 80t 9 0，解得 t 9或t 1 （舍去）， 3x 9， x 2 ，经检验原方程的 9解是 x 2 评注
6、：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根 6图象变换及应用问题例 6 为了得到函数 y 9 3x 5的图象，可以把函数 y 3x 的图象（ ）A向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B向右平移 9个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度D向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数 y 9 3x 5转化为t 3x 2 5 ，再利用图象的平移规律进 行判断解： y 9 3x 5 3x 2 5 ，把函数 y 3x的图象向左平移 2 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度，可得到函数
7、y 9 3x 5的图象，故选（ C） 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法， 利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小：1）若 ，比较与2，曲线 分别是指数函数 , 和 的图象 ,则 与1 的大小关系是 ( ).(分析:首先可以根据指数函数单调性 , 确定, 在 轴右侧令 , 由小到大依次为 , 故应选 .小结: 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目 由数到形的转化 ,第(2) 题则是由图到数的翻译 ,它的主要目的是提高学生识图 ,用图的意识 . 求最值3，求下列函数的定义域与值域1(1)y
8、 2 x 3; (2)y 4x+2x+1+1.5、设 ，求函数 的最大值和最小值，则原来的函数成为分析：注意到 ，设，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值 解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴，故函数最小值为轴 远，故函数的最大值为，因端点 较 距对称6（9 分）已知函数 y a2x 2ax 1（a 1） 在区间1,1上的最大值是 14，求 a 的值.1解： y a2x 2ax 1（a 1）， 换元为 y t2 2t 1（ t a） ，对称轴为 t 1. a 当a 1，t a，即 x=1 时取最大值，略 解得 a=3 （a= 5舍去 ）7已知函数 （ 且（1）求 的最小值
9、； （2）若求 的取值范围解：（ 1）时， 有最小值为（ 2） ，解得当 时， ；当 时， 28（10分）（1）已知 f （x） x2 m是奇函数，求常数 m的值；3x 12）画出函数 y |3x 1|的图象，并利用图象回答： k为何值时，方程 |3 k无解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1（2）当k0时，直线y=k与函数 y |3x 1|的图象无交点 ,即方程无解;当k=0或k 1时, 直线y=k与函数 y |3 1| 的图象有唯一的交点，所以方程 有一解;当 0k0 且 a1).a x 1(1) 求 f(x) 的定义域和值域； (2) 讨论 f(x) 的奇偶性； (3) 讨论 f(
10、x) 的单调 性.解：(1) 易得f(x) 的定义域为 xxR.x设 yax 1,解得 ax- y 1 ax0当且仅当- y 1 0时，方程有解 . ax 1 y 1 y 1y1解- 0 得-1y1.y1f(x) 的值域为y-1y1 .1)证明：设 x10(1 2x1 )(1 2x2 )故对任何 aR， f(x)为增函数 (2) x R ，又 f(x)为奇函数f (0) 0 得到 a 1 0 。即 a 12x16、定义在 R 上的奇函数 f (x)有最小正周期为 2，且 x (0,1)时， f (x) 42x 1 f (x) x2x4x 1在( 0，1)上为减函数。3) f(x) 在(0，1)
11、上为减函数。21 f (1) f (x) f(0) 即 f(x) (2,1)52同理 f(x) 在( 1，0)时， f(x) ( 1, 2)25又 f ( 1) f (0) f (1) 0当 ( 12, 52) (52,12) 或 0时 f (x) 在 1，1内有实数解。分析 本题主要考查指数函数的图像和性质、 函数奇偶性的函数图像， 以及 数形结合思想和分类讨论思想 .解法 1：（分类讨论 ）：又 a1，由指数函数图像易知，应选 B.解法 2：因为 yax是偶函数，又 a1，所以当 x0 时，yax是增函数； x0且y1.(2)y 4x+2x+1+1 的定义域为 R. 2x0, y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1 x2(2 x+1)21.y4x+2x+1+1 的值域为 y y1 .4，已知-1x2, 求函数 f(x)=3+2 3x+1-9 x的最大值和最小值 解：设 t=3x,因为-1x2，所以 1 t 9，且 f(x)=g(t)=-(t-3) 2+12,故当 t=3即 x=1时， f(x) 取最大值 12，当 t=9 即 x=2时 f(x) 取最小值-24
