1、运算律加法求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则（1）交换律:abba；（2）结合律:（ab）ca（bc）减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba（b）数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|；当0时,a的方向与a的方向相同；当0时,a的方向与a的方向相反；当0时,a0（a）（）a；（）aaa；（ab）ab向量加法的多边形法则多个向量相加,利用三角形法则,应首尾顺次连接,abc表示从始点指向终点的向量,只关心始点、终点.4共线向量定理向量a（a0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使得ba.只有a0才保证实数的存在性和唯一性.二、常用结论汇总规律多一点（1）若P为
2、线段AB的中点,O为平面内任一点,则（）（2） （,为实数）,若点A,B,C三点共线,则1.三、基础小题强化功底牢一点（1）向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量（）（2）|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关（）（3）若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上（）（4）当两个非零向量a,b共线时,一定有ba,反之成立（）答案:（1）（2）（3）（4）（二）选一选1下列说法正确的是（）A单位向量都相等B模为0的向量与任意向量共线C平行向量不一定是共线向量D任一向量与它的相反向量不相等解析:选B对于A,单位向量的模相等,方向不一定相同,所以A错误；对于B,模为0的向
3、量为零向量,零向量和任意向量共线,所以B正确；对于C,共线向量是方向相同或相反的非零向量,也叫平行向量,所以C错误；对于D,零向量与它的相反向量相等,所以D错误故选B.2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是（）A|一定成立 B一定成立C一定成立 D一定成立选A在平行四边形ABCD中,一定成立,一定成立,一定成立,但|不一定成立故选A.3设a,b都是非零向量,下列四个选项中,一定能使0成立的是（）Aa2b BabCab Dab选C“0,且a,b都是非零向量”等价于“非零向量a,b共线且反向”,故答案为C.（三）填一填4若菱形ABCD的边长为2,则|_.|2.25已知a与b是两个不共线向量,且
4、向量ab与（b3a）共线,则_.由题意知存在kR,使得abk（b3a）,所以解得典例给出下列命题:若ab,bc,则ac；若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；ab的充要条件是|a|b|且ab；若ab,bc,则ac.其中正确命题的序号是_解析正确ab,a,b的长度相等且方向相同,又bc,b,c的长度相等且方向相同,a,c的长度相等且方向相同,故ac.正确,|且,又A,B,C,D是不共线的四点,四边形ABCD为平行四边形；反之,若四边形ABCD为平行四边形,则且|,因此,.不正确当ab且方向相反时,即使|a|b|,也不能得到ab,故|a|b|且ab不是ab的充要
5、条件,而是必要不充分条件不正确考虑b0这种特殊情况综上所述,正确命题的序号是.答案解题技法向量有关概念的关键点（1）向量定义的关键是方向和长度（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度（5）零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线题组训练1给出下列命题:两个具有公共终点的向量,一定是共线向量；a0（为实数）,则必为零；,为实数,若ab,则a与b共线其中错误的命题的个数为（）A0 B1C2 D3选D错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误,当a0时,不论为何值,a0.错误,当0时,ab0,
6、此时,a与b可以是任意向量故错误的命题有3个,故选D.2设a0为单位向量,下列命题中:若a为平面内的某个向量,则a|a|a0；若a与a0平行,则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1,则aa0,假命题的个数是（）A0 B1选D向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故是假命题；若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a|a|a0,故也是假命题综上所述,假命题的个数是3.典例（1）（2018全国卷）在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则（）A. B.C. D.（2）如图,在直角梯形ABCD中,2, 且rs,则2r3s（）A
7、1 B2C3 D4解析（1）作出示意图如图所示 （）（）.故选A.（2）根据图形,由题意可得（）（）.因为rs,所以r,s,则2r3s123.答案（1）A（2）C解题技法向量线性运算的解题策略（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则（2）找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果（4）与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量
8、运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值1设D为ABC所在平面内一点,3,则（）A BC D选A由题意得.2（2019太原模拟）在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若,则实数_.如图,由得,.典例设两个非零向量a与b不共线,（1）若ab,2a8b,3a3b,求证:A,B,D三点共线；（2）试确定实数k,使kab和akb同向解（1）证明:ab,2a8b,3a3b,2a8b3a3b5（ab）5,共线又它们有公共点B,A,B,D三点共线（2）kab与akb同向,存在实数（0）,使kab（akb）,即kabakb.（k）a（k1）b.a,b是不共线的非零
9、向量,解得或又0,k1.解题技法1共线向量定理的3个应用证明向量共线对于向量a,b,若存在实数,使ab（b0）,则a与b共线证明三点共线若存在实数,使,则A,B,C三点共线求参数的值利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值2.向量共线问题的注意事项（1）向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用（2）证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线1在四边形ABCD中,a2b,4ab,5a3b,则四边形ABCD的形状是（）A矩形 B平行四边
10、形C梯形 D以上都不对选C由已知,得8a2b2（4ab）2,故.又因为与不平行,所以四边形ABCD是梯形2已知向量e10,R,ae1e2,b2e1,若向量a与向量b共线,则（）A0 Be20Ce1e2 De1e2或0选D因为向量e10,R,ae1e2,b2e1,又因为向量a和b共线,存在实数k,使得akb,所以e1e22ke1,所以e2（2k1）e1,所以e1e2或0.3已知O为ABC内一点,且（）,t,若B,O,D三点共线,则t（）A. B.C. D.选B设E是BC边的中点,则（）,由题意得,所以（）,又因为B,O,D三点共线,所以1,解得t,故选B.4已知O,A,B三点不共线,P为该平面内
11、一点,且,则（）A点P在线段AB上B点P在线段AB的延长线上C点P在线段AB的反向延长线上D点P在射线AB上选D由,得,点P在射线AB上,故选D.1设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则（）A B.C. D选A由题意得（）（）（）.2已知向量a,b不共线,且cab,da（21）b,若c与d共线反向,则实数的值为（）A1 BC1或 D1或选B由于c与d共线反向,则存在实数k使ckd（k0）,于是abk.整理得abka（2kk）b.由于a,b不共线,所以有整理得2210,解得1或.又因为k0,所以0,故.3设向量a,b不共线,2apb,ab,a2b,若A,B,D三点共线,则实数p
12、的值为（）A2 B1C1 D2选B因为ab,a2b,所以2ab.又因为A,B,D三点共线,所以,共线设,所以2apb（2ab）,所以22,p,即1,p1.4（2019甘肃诊断）设D为ABC所在平面内一点,4,则（）A. B.C. D.选B法一:设xy,由4可得,44,即34x4y,则解得即,故选B.法二:在ABC中,4,即,则（）,故选B.5在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足,则等于（）C3 D.选C因为,所以3.故选C.6已知ABC的边BC的中点为D,点G满足0,且,则的值是（）A. B2C2 D选C由0,得G为以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此2,则2.故选
13、C.7下列四个结论:0；0；0；0,其中一定正确的结论个数是（）选C0,正确；,错误；0,正确；0,正确故正确8.如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为AB,AD上的点,且,AC,MN交于点P.若,则的值为（）选D,（）.点M,N,P三点共线,1,则.故选D.9设向量a,b不平行,向量ab与a2b平行,则实数_.因为向量ab与a2b平行,所以可设abk（a2b）,则所以.10若,（1）,则_.如图,由,可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点,则,结合题意可得1,所以.11已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O,且a,b,则_,_.（用a,b表示）如图,ba,ab.baab12（2
14、019长沙模拟）在平行四边形ABCD中,M为BC的中点若,则_.如图,在平行四边形ABCD中,所以（）（）,所以,所以,所以,所以.13设e1,e2是两个不共线的向量,已知2e18e2,e13e2,2e1e2.（1）求证:（2）若3e1ke2,且B,D,F三点共线,求k的值解:（1）证明:由已知得（2e1e2）（e13e2）e14e2,2e18e2,2.又与有公共点B,（2）由（1）可知e14e2,3e1ke2,且B,D,F三点共线,存在实数,使,即3e1ke2e14e2,得解得k12.第二节平面向量基本定理及坐标表示1平面向量基本定理（1）定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那
15、么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数1,2,使a1e12e2.（2）基底:不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（1）基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底；（2）基底给定,同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e1,e2,有a1e12e21e12e2,则可以得到2平面向量的坐标运算（1）向量的加法、减法、数乘向量及向量的模:设a（x1,y1）,b（x2,y2）,则ab（x1x2,y1y2）,ab（x1x2,y1y2）,a（x1,y1）,|a|. （2）向量坐标的求法:若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标设A（x1,y
16、1）,B（x2,y2）,则（x2x1,y2y1）,|.3平面向量共线的坐标表示设a（x1,y1）,b（x2,y2）,其中b0,则abx1y2x2y10.当且仅当x2y20时,ab与等价即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例 二、基础小题强化功底牢一点（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底（）（2）一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底（）（3）平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示（）（4）若a（x1,y1）,b（x2,y2）,则ab的充要条件可表示成.（）（2）（3）（4）1已知平面向量a（1,1）,b（1,1）
17、,则ab（）A（2,1） B（2,1）C（1,0） D（1,2）选D因为a（1,1）,b（1,1）,所以ab（1,1）（1,1）（1,2）2在ABC中,点D在边AB上,且,设a,b,则（）A.ab B.abC.ab D.ab选B（）ba,故选B.3已知平行四边形ABCD中,（3,7）,（2,3）,对角线AC与BD交于点O,则的坐标为（）选D（2,3）（3,7）（1,10）,.4（2018全国卷）已知向量a（1,2）,b（2,2）,c（1,）若c（2ab）,则 _.2ab（4,2）,因为c（2ab）,所以42,解得.5在平行四边形ABCD中,a,b,3,M为BC的中点,则_（用a,b表示）因为3
18、,所以（ab）,又因为ab,所以（ab）ab.ab考点一平面向量基本定理及其应用典例如图,以向量a,b为邻边作平行四边形OADB,用a,b表示,.解ab,ab,ab.ab,ab,ababab.综上,ab,ab,ab.1平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决（2）在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理2应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以有无穷多组（2）利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则
19、或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算1在ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且APAB,BQBC,若a,b,则（）A.ab BabC.ab Dab选A由题意知（）ab.2已知在ABC中,点O满足0,点P是OC上异于端点的任意一点,且mn,则mn的取值范围是_依题意,设 （01）,由0,知（）,所以,由平面向量基本定理可知,mn2,所以mn（2,0）（2,0）典例已知A（2,4）,B（3,1）,C（3,4）设a,b,c,且3c,2b,（1）求3ab3c；（2）求M,N的坐标及向量的坐标解由已知得a（5,5）,b（6,3）,c（1,8）（1）3ab3c3（5,5）（6,3）3（1,8）
20、（1563,15324）（6,42）（2）设O为坐标原点,3c,3c（3,24）（3,4）（0,20）M（0,20）又2b,2b（12,6）（3,4）（9,2）,N（9,2）,（9,18）变透练清1.本例条件不变,若ambnc,则m_,n_.mbnc（6mn,3m8n）,a（5,5）,解得112已知O为坐标原点,向量（2,3）,（4,1）,且3,则|_.设P（x,y）,由题意可得A,B两点的坐标分别为（2,3）,（4,1）,由3,可得解得故|.1平面向量坐标运算的技巧（1）向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标（2）解题过
21、程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程（组）来进行求解2向量坐标运算的注意事项（1）向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同（2）向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算（3）向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分典例已知a（1,0）,b（2,1）（1）当k为何值时,kab与a2b共线；（2）若2a3b,amb,且A,B,C三点共线,求m的值解（1）a（1,0）,b（2,1）,kabk（1,0）（2,1）（k2,1）,a2b（1,0）2（2,1）（5,2）,kab与a2b共线,2（k2）（1）50,k.（2）2（1,0）3（2,1）（8,3）,（1,0）m（2,1）（2m1,m）A,B,C三点共线,8m3（2m1）0,m.1平面向量共线的充要条件的2种形式（1）若a（x1,y1）,b（x2,y2）,则ab的充要条件是x1y2x2y10.（2）若ab（b0）,则ab.2两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线（或平行）,可解决三点共线的问题
