1、高中数学北师大版选修45教师文档第一章+不等关系与基本不等式 1不等式的性质1.1实数大小的比较1.2不等式的性质学习目标1.了解不等关系与不等式.2.掌握不等式的性质.3.会用不等式的性质解决一些简单问题.预习自测1.对于任何两个实数a，b，abab0；ababbbb，bcac；性质3：abacbc；推论：ab，cdacbd；性质4：ab，c0acbc； ab，c0acb0，cd0acbd；推论2：ab0a2b2推论3：ab0anbn，nN；推论4：ab0ab，nN.自主探究1.利用不等式的性质，证明下列不等式：(1)ab，cbd；(2)ab0，dc0；(3)ab，ab0bd的推导过程是：c
2、d，对ab和cd应用不等式的同向不等式的可加性质得：acbd.(2)的推导过程是：dc0两边同乘(cd0)，则0，应用不等式可乘性质得.(3)00，不等式ab两边同乘，根据不等式的乘法性质得：，即.2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？提示比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差ab的符号.作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.典例剖析知识点1不等式的性质及应用【例1】 判断下列各题的对错(1)0ab()(2)ab，且cdacbd()(3)ab0，且cd0 ()(4
3、)ab()解析(1)，当a0时，此式成立，推不出ab，(1)错.(2)当a3，b1，c2，d3时，命题显然不成立.(2)错.(3)0 成立.(3)对.(4)显然c20，两边同乘以c2，得ab.(4)对.答案(1)(2)(3)(4)【反思感悟】 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.1.若ab0，cd B. D.解析思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证.思路二：根据不等式的性质直接推导.方法一：令a3，b2，c3，d2，则1，1，排除选项C，D；又，所以，所以选项
4、A错误，选项B正确.故选B.方法二：因为cdd0，所以0.又ab0，所以，所以0yx，故zyx.【反思感悟】 两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.2.比较x23与3x的大小，其中xR.解(x23)3xx23x30，x233x.知识点3不等式的证明【例3】 如果ab0，cd0，f.证明cdd0，又ab0，acbd0.不等式的两边同乘0，得：0，又f0，.【反思感悟】 利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不
5、等式的形式化归.3.已知abc，xy0axbyczaxcybz.同理axbyczbxaycz，axbyczcxbyaz.故结论成立.课堂小结1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“”、“b”、“ab，bc或ab，bc均可推得ac；而ab，bc不一定可以推得ac，可能是ac，也可能是ac.随堂演练1.已知下列四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0，能推出b，ab0可得c；abcd；adc，adbc，ab，adbc，acbd，abcd，acdb，即db，ac，acdb.答案acdb一、选择题1.若ab0，则下列不等式不能成立的是()A. B.C.|a|b| D.a2b2解析取a2，
6、b1，则不成立，选A.答案A2.已知ab，则下列不等式成立的是()A.a2b20 B.acbcC.|a|b| D.2a2b解析A中，若a1，b2，则a2b20不成立；当c0时，B不成立；当0ab时，C不成立；由ab知2a2b成立，故选D.答案D3.设an是等差数列，下列结论中正确的是()A.若a1a20，则a2a30B.若a1a30，则a1a20C.若0a1a2，则a2D.若a10，则(a2a1)(a2a3)0解析利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.设等差数列an的公差为d，若a1a20，a2a3a1da2d(a1a2)2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号不确定，故选项A错；若a1
7、a30，a1a2a1a3d(a1a3)d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若0a1a2，可知a10，d0，a20，a30，aa1a3(a1d)2a1(a12d)d20，a2，故选项C正确；若a10，则(a2a1)(a2a3)d(d)d20，故选项D错.答案C4.已知实数x，y满足axay(0a B.ln(x21)ln(y21)C.sin xsin y D.x3y3解析先依据指数函数的性质确定出x，y的大小，再逐一对选项进行判断.因为0a1，axy.采用赋值法判断，A中，当x1，y0时，1，A不成立.B中，当x0，y1时，ln 10，则下列不等式中正确的是()A.ba0 B
8、.a3b30C.a2b20解析a|b|0，a|b|0.不论b正或b负均有ab0.答案D二、填空题6.已知60x84，28y33，则xy的取值范围为_，的取值范围为_.解析xyx(y)，所以需先求出y的范围；x，所以需先求出的范围.28y33，33y28，.又60x84，27xy56，即0，ab0，ab0，0，ab.9.已知a，bR，求证：a2b2abab1.证明(a2b2)(abab1)(2a22b22ab2a2b2)(a22abb2)(a22a1)(b22b1)(ab)2(a1)2(b1)20，a2b2abab1.10.已知，满足试求3的取值范围.解设3()v(2)(v)(2v).比较、的系
9、数，得从而解出1，v2.分别由、得11，2246，两式相加，得137.2含有绝对值的不等式2.1绝对值不等式学习目标1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.预习自测1.a，bR，|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立. 2.|ab|表示点ab与原点间的距离，也表示a与b之间的距离.3.a，b，cR，|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0，即b落在a，c之间时等号成立.自主探究1.你能证明：若a，b为实数，则|ab|a|b|吗？提示|ab|a|b|ab|2(|a|b|)2(ab)2|a|22|a|b|b|2a22ab
10、b2a22|a|b|b2ab|ab|.|ab|ab显然成立，原不等式成立.2.你能证明：|a|b|ab|吗？提示因为|a|(ab)b|ab|b|ab|b|.所以|a|b|ab|，同理可证|b|a|ab|.所以|a|b|ab|.典例剖析知识点1利用绝对值不等式证明变量不等式【例1】 已知|x|1，|y|1，求证：1.分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1x2)(1y2)(1xy)2.证明|x|1x20，|y|0，x2y22xyx2y22xy1x2y2x2y212xyx2y2(1x2)(1y2)(1xy)2 |1xy|所以1.由于|x|1，|y|1，则|xy|1，即1xy0.【反思感
11、悟】 通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.1.证明：|xa|xb|ab|.证明|xa|xb|xa|bx|xabx|ba|ab|.|xa|xb|ab|.知识点2利用绝对值不等式证明函数不等式【例2】 函数f(x)的定义域为0，1，f(0)f(1)，且对任意不同的x1，x20，1都有|f(x2)f(x1)|x2x1|，求证：|f(x2)f(x1)|.证明设0x1x21，若x2x1，则|f(x2)f(x1)|x2x1|.即|f(x2)f(x1)|.若x2x11，则|f(x2)f(x1)|f(x2)f(0)f(1)f(x1)|f(x2)f(1)f(
12、0)f(x1)|f(x2)f(1)|f(0)f(x1)|x21|x10|.而|x21|x1|1x2x11(x2x1)1.综上所述，对任意不同的x1，x20，1都有|f(x2)f(x1)|.【反思感悟】 对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.2.设f(x)ax2bxc，当|x|1时，总有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.证明|f(1)|1，|f(1)|1，|f(0)|1，|f(2)|4a2bc|3f(1)f(1)3f(0)|3|f(1)|f(1)|3|f(0)|7.知识点3绝对值不等式的应用【例3】 若关于x的不等式|
13、x2|x1|1时，f(x)作出f(x)的大致图像如图所示，由函数f(x)的图像可知f(a)5，即a15，a4.同理，当a1时，a15，a6.答案6或4课堂小结证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即|a|b|ab|a|b|；|a1a2a3|a1|a2|a3|；|a|b|ab|a|b|.随堂演练1.若a，b都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是()A.|ab|ab B.a2b22|ab|C.|ab|a|b| D.2解析当a0，b0时，|ab|ab.故A不恒成立.答案A2.已知|x1a|，|x2a|，求证：.证明|x1x22a|(
14、x1a)(x2a)|(|x1a|x2a|)().3.设|xa|，|yb|，求证：|(xy)(ab)|.证明|(xy)(ab)|(xa)(yb)|xa|yb|，即a2时，f(x)易知函数f(x)在x处取最小值，即13，故a8.综上a4或8.答案D3.如果存在实数x，使cos 成立，那么实数x的集合是()A.1，1 B.x|x0，或x1 D.x|x1，或x1解析由|cos |1，所以1.又1.1，当且仅当|x|1时成立，即x1.答案A4.正数a、b、c、d满足adbc，|ad|bc|，则()A.adbc B.adbc D.ad与bc大小不定解析adbc，a22add2b22bcc2，a2d2b2c
15、22bc2ad，|ad|bc|，a22add2b22bcc2，a2d2b2c22ad2bc，3bc2adbc.答案C5.已知定义在0，1上的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0，1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0，1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为()A. B. C. D.解析先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解.取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x).|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)
16、|0，要使|f(x)f(y)|k恒成立，只需k.k的最小值为.答案B二、填空题6.已知2a3，3b4，则a|b|的取值范围为_.解析3b4，0|b|4，4|b|0，又2a3，6a|b|3.答案(6，37.x，yR，若|x|y|x1|y1|2，则xy的取值范围为_.解析利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点x到原点和点1的距离之和，所以|x|x1|1，当且仅当x0，1时取“”.同理|y|y1|1，当且仅当y0，1时取“”.|x|y|x1|y1|2.而|x|y|x1|y1|2，|x|y|x1|y1|2，此时x0，1，y0，1，(xy)0，2.答
17、案0，2三、解答题8.已知|x1|，|y2|，|z3|，求证：|x2yz|.证明|x2yz|x12(y2)z3|x1|2(y2)|z3|x1|2|y2|z3|.|x2yz|.9.若a，bR，且|a|b|1，证明方程x2axb0的两个根的绝对值均小于1.证明法一设方程x2axb0的两根为x1，x2，根据根与系数的关系，有a(x1x2)，bx1x2，代入|a|b|1得|x1x2|x1x2|1，若用|x1|x2|x1x2|对式作放缩代换，有|x1|x2|x1|x2|1，即(|x1|1)(|x2|1)0，得|x1|10，|x1|1.若用|x2|x1|x1x2|对式作放缩代换，有|x2|x1|x1|x2
18、|1.同理，由(|x2|1)(|x1|1)0，得|x2|1.因此，方程x2axb0的两个根的绝对值均小于1.法二假设方程x2axb0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x1|1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有|a|(x1x2)|x1x2|x1|x2|1|x2|，|b|x1x2|x1|x2|x2|.将以上两个不等式相加，得|a|b|1.这与已知|a|b|1矛盾.究其原因是假设错误所致.因此方程x2axb0的两根的绝对值均小于1.10.已知f(x)ax2bxc，且当|x|1时，|f(x)|1，求证：(1)|c|1；(2)|b|1.证明(1)由|f(0)|1，得|c|1.(2)由|f(
19、1)|1，得|abc|1，由|f(1)|1，得|abc|1，|b|(|abc|abc|)1.2.2绝对值不等式的解法学习目标1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.预习自测1.设x，a为实数，|xa|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x0时，|x|x；当xa (a0)xa或xa.3.|x|0)axa.4.a0时，|x|a的解集为；|x|a的解集为R.5.|f(x)|0)af(x)a (a0)f(x)a或f(x)a.7.|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x).9.|f(x)|g(x)|f2(x)|g(x)|f2(x)g2(x).自主探究1.如何
