1、考研数学中值定理证明题技巧 以及结论汇总第一部分：中值定理结论总结. 11、介值定理. 12、零点定理. 23、罗尔定理. 24、拉格朗日中值定理. 25、柯西中值定理. 26、积分中值定理. 3第二部分：定理运用. 3第三部分：构造函数基本方法. 9一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系. 10二、二阶导数与原函数之间关系. 11第四部分：中值定理重点题型分类汇总（包含所有题型). 14题型一：中值定理中关于的问题题型二：证明f(n)()=0题型三：证明f(n)()=C0(0)题型四：结论中含一个中值，不含a,b，导数的差距为一阶题型五：含两个中值,的问题题型六：含a,b及中值的问题题
2、型七：杂例题型八：二阶保号性问题题型九：中值定理证明不等式问题第一部分：中值定理结论总结1、介值定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点使得f()=C(ab).Ps:c是介于A、B之间的，结论中的取开区间。介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,则f(x)在a,b上有最大值M，最小值（m,若mCM,则必存在a,b,使得f()=C。闭区间上的连续函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。此条推论运用较多）Ps：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函
3、数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。2、零点定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)0,那么在开区间内至少存在一点使得f()=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b).那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得f(x)=0;4、
4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点(ab),使得f(b)-f(a)=f().(b-a).5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间a,b上连续；（2）、在开区间(a,b)内可导;（3）、对任一x(axb),g(x)0,那么在(a,b)内至少存在一点,使得f(b)-f(a)g(b)-g(a)=f()g()Ps：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。6、积分中值定理：若函数f(x)在a,b上连续，则至少存在一点a,b使得baf(x)dx=f()(b-
5、a)Ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。但是在开区间上也是满足的，下面我们来证明下其在开区间内也成立，即定理变为：若函数f(x)在a,b上连续，则至少存在一点(a,b)使得baf(x)dx=f()(b-a)证明：设F(x)=xaf(x)dx，xa,b因为f(x)在闭区间上连续，则F(x)在闭区间上连续且在开区间上可导（导函数即为f(x)）。则对F(x)由拉格朗日中值定理有：(a,b)使得F()=F(b)-F(a)b-a=baf(x)dxb-a而F()=f()所以(a,b)使得baf(x)dx=f()(b-a)。在每次使用积分中值定理的时候，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉
6、格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用，因为课本给的定理是闭区间。第二部分：定理运用1、设f(x)在0,3上连续，在(0,3)内存在二阶导函数，且2f(0)=20f(x)dx=f(2)+f(3).证明：(1)(0,2)使f()=f(0)(2)(0,3)使f()=0证明：先看第一小问题：如果用积分中指定理似乎一下子就出来了，但有个问题就是积分中值定理是针对闭区间的。有的人明知这样还硬是这样做，最后只能是0分。具体证明方法在上面已经说到，如果要在开区间内用积分中指定理，必须来构造函数用拉格朗日中值定理证明其在开区间内符合。（1）、令x0(0f(t)dt=F(x),x0,2则
7、由题意可知F(x)在0,2上连续，,2)内可导.则对F(x)由拉格朗日中值定理有：(0,2)使F()=F(2)-F(0)2f()=20f(t)dt2=f(0),(0,2)从而，mM，那么由介值定理就有：c2,3,使f(c)=f(0)(2)、对于证明题而言，特别是真题第一问证明出来的结论，往往在第二问中都会有运用，在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西，我们要时刻注意下如何将第一问的东西在第二问中进行运用：第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为0，这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题，如果有三个函数值相等，运用两次罗尔定理那不就解决问题啦，并且第一问证明出来了一个等式，如果有f(a)
8、=f(b)=f(c)，那么问题就解决了。第一问中已经在(0,2)内找到一点，那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢，有了这样想法，就得往下寻找了，2f(0)=f(2)+f(3)，看到这个很多人会觉得熟悉的，和介值定理很像，下面就来证明：f(x)在0,3上连续，则在2,3上也连续，由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值，分别设为M,m;则mf(2)M,mf(3)M.f(2)+f(3)2f(2)+f(3)2f(0)=f()=f(c),(0,2),c2,3则有罗尔定理可知：1(0,),f(1)=0，2(,c),f(2)=0(1,2)(0,3),f()=0Ps：本题记得好像是数三一道真题，考
9、察的知识点蛮多，涉及到积分中值定理，介值定理，最值定理，罗而定理，思路清楚就会很容易做出来。2、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:(1)、(0,1)使得f()=1-(2)、两个不同点、(0,1),使得f()f()=1本题第一问较简单，用零点定理证明即可。（1）、首先构造函数：F(x)=f(x)+x-1,x0,1F(0)=f(0)-1=-1F(1)=f(1)=1F(0)F(1)=-10)上具有二阶连续导数，f(0)=0(1)、写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式(2)、证明在-a,a上至少存在一点使得af()=33第一问课本上记住了写出来
10、就行，考的很基础a-af(x)dxf() 2f() 2（1）、f(x)=f(0)+f(0)1!x+2!x=f(0)x+2!x(2)、第二问先将第一问的式子f(x)代入看看有什么结果出来f(x)dx=xdx，f()此处不能直接拿到积分号外面，因为他不是与x无a-aa-af()22关的数。做到这儿，我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来，有了这样想法就得寻求办法。题目中说道f(x)有二阶连续导数，为何要这样说呢，我们知道连续函数有最大值，最小值，往往会接着和介值定理一起运用。所以有：因为f(x)有二阶连续导数，所以存在最大值和最小值，设为M,m则对于区间-a,a，mf(x)M,mx2f()x2M
11、x22ma3=mxdx xdx=f()xdxM Ma3222323aaa-a-a-a3m 3f(x)dxMaa-a所以由介值定理有结论成立。Ps：本题是以前的一道真题，具体哪年也记不得了，主要就是考到介值定理的运用。题目中说的很明白的，有二阶连续导数，往往当题目中提及到什么连续啊，特别是对于导函数连续的，我们总得注意下他有最大值，最小值，进而与介值定理联合运用。f(x)dx=0,f(x)cosxdx=0.5、设f(x)在0,上连续，且00证明：在(0,)内至少存在两个不同点1、2使得f(1)=f(2)=0本题看似很简洁，但做起来去不容易。结论是证明等式成立且为0，很容易让我们想到罗尔定理，我们
12、如果能找到三个点处函数值相等，那么是不是就能有些思路了呢。令：F(x)=x0f(t)dt,x0,，F(0)=F()=0f(x)cosxdx=cosxdF(x)=cosxF(x)0+sinxF(x)dx=0sinxF(x)dx=0拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。构造函数G(x)=sintF(t)dt,x0,似乎只需在找出一点F(c)=0即可。，如果一切如我们所想，证明也就完成了。 0 0 00似乎已经找到这个点了。但是积分中值定理中，是取闭区间，如果要用的话得先构造函数用x0具体的证明步骤和上面涉及到的一样，自己去证。证完后就得到c(0,),使得G(c)=0,即sincF(c)=0,所以
13、F(c)=0所以有：F(0)=F(c)=F()=0,c(0,)接下来的证明就和第一题中第二小问一样了，具体就不去证明了，自己证，关键掌握方法，思路。Ps：本题是02年左右的数一一道证明题，看看题目很简洁，但具体来做，如果对定理的运用不熟练，还是不好弄出来。本题中涉及到积分，而且又要证明等式成立且为0，容易想到积分中值定理，以及罗尔定理。但是积分中值定理是对于闭区间而言，而我们要用到开区间，只能自己构造函数来证明其在开区间内成立，如果在实际做题的时候你不证明直接用，估计一半的分都没了。本题关键的就是寻找这个点C，找出来了其他的都不是问题，既然是关键点，那得分点也肯定最多了，你不证明这个点，直接套
14、用课本中定理（如果用的话，得分类讨论了），硬是说C点就成立，那估计一半的分都没了。一般都会构造出g(x)=XXXe或者e或者x,n为任意常数对于中值定理这章，就先给出上面一些经典的题目，大家好好体会下，多做些题，多思考。下面来讲讲对于证明题中的，函数如何来构造：基本上都是从结论出发，运用求导或是积分，或是求微分方程，解出来也可。本人自己总结了一些东西，与大家交流下：第三部分：构造函数基本方法一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系：x -x n1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系，想想构造带有e或者ef(x)=f(x)可以构造g(x)=f(x)e-xx-xf(x)+f(x)=0可构造g(
15、x)=f(x)exf(x)+f(x)=可构造g(x)=f(x)ex-exf(t)dt=f(x)这个也是原函数与一阶导函数问题，构造函数g(x)=e-xf(t)dtxaxaf(x)-(f(x)-x)=1先将其变形下：f(x)-f(x)=1-x左边是导函数与原函数关系可构造：f(x)e-x右边可以看成是x-x也成了导函数和原函数之间关系，如是可以构造：xe-x从而要构造的函数就是：g(x)=(f(x)-x)e-x2、如果还涉及到变量X，想想构造xnxf(x)+f(x)=0可构造g(x)=f(x)xf(x)=-2f(x)x可构造g(x)=f(x)x2xf(x)+nf(x)=0可构造g(x)=f(x)
16、xn3、另外还可以解微分方程来构造函数：如xf(x)+f(x)=0f(x)f(x)=-x,lnf(x)=-x2+clnf2(x)ex=cf2(x)ex=C1222所以构造函数g(x)=f2(x)ex2二、二阶导数与原函数之间关系构造带有e或者exf(x)=f(x)如何构造如下：-xf(x)+f(x)=f(x)+f(x)对于此式子，你会不会有所想法呢，在上面讲到一阶导函数与原函数之间的构造方法，等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数（只不过原函数是f(x)）之间关系，从而等式左边可以构造f(x)ex等式右边可以构造f(x)ex总的构造出来函数为：g(x)=(f(x)-f(x)ex另：如果这样变形：(f(x)-f(x)+(f(x)-f(x)=0构造函数如下：g(x)=(f(x)+f(x)e-x，可以看上面原函数与导函数之间关系如何构造的。从而对于此函数构造有两
