1、3.1 实验分析153.1.1 双缝干涉条纹与光强分布153.1.2 不同缝间距下对结果的影响193.1.3 单缝衍射调制下的干涉条纹与光强分布203.2 实验模拟223.2.1 双缝干涉条纹与光强图样223.2.2 不同缝间距下条纹与光强图样233.2.3 单缝衍射调制下的干涉条纹图样254 结论30参考文献31致谢321 引言由于 matlab 具有极其丰富的特点和作用，因此被广泛的应用于国内外高校进行辅助教学和科学研究。在物理学中的应用也很广泛，例如在量子力学中的研究【1-2】,经典力学中的研究 【3-4】,以及在物理实验中也应用广泛 【5-15】。而在中国知网中能查阅到 matlab
2、在物理教学中的应用有 40多篇，因此， 对于师范类的教师学习 matlab，尤其是从事物理教学的教师而言学习matlab 不仅可以改进教学手段，增强教学效果，还能提供形象化的材料激发学生的学习兴趣，并能强化学生对授课内容的理解 【5】【8】【15】。而现在问题的关键是怎样将它应用范围拓宽，尤其对于在中学阶段matlab 的应用鲜有， 又由于教学任务和时间的矛盾以及经费的问题，导致中学阶段的实验又偏少， 因此学生对物理的感性认识严重不足，使学生普遍感到物理学习的困难，而在中学一般都配有多媒体的设施，这就使matlab 的应用成为可能。所以，利用matlab 进行辅助中学物理的教学是一条既经济有实
3、用的方法，既能提高和丰富教师的教学水平又可以促进学生的学习，从而获得可观的教学效果。通过阅读基于matlab 的大学物理实验模拟【 6】物理图像的可视化研究 【8】，物理模型可视化与物理教学 【15】等利用 matlab 进行物理教学的论文和期刊，以及参考 光学实验的计算机模拟【10】和matlab 应用数学工具箱级数手册【17】模拟了光的双缝干涉实验和牛顿环条纹分布模拟图样。由于 夫琅禾费单缝衍射和杨氏双缝干涉包含着光的衍与干涉现象诸多重要特征，于是本文通过 matlab 对夫琅禾费单缝衍射与杨氏双缝干涉进行可视化为例，来证明matlab 对丰富物理教学以及促进学生学习有着重要的辅助作用。通
4、过对夫琅禾费单缝与杨氏双缝干涉实验的实验结果进行理论分析，讨论在相同入射光波长条件下改变缝宽与在相同缝宽条件下改变入射光波长对单缝衍射条纹的影响，以及在杨氏双缝干涉实验中讨论不同的缝宽下或在单缝衍射调制下的干涉对条纹分布的影响。并利用 matlab 进行可视化，绘制出在相应的不同条件下夫琅禾费单缝衍射的衍射条纹图样和双缝干涉图像，并对图像进行简要的分析。由于从公式中对如何影响衍射条纹的各个因素的理解较为抽象，导致难以形成具体的直观认知， 因此通过利用 matlab 使各个因素与条纹变化情况相互之间的联系用图像表示出来，形象地描绘出具体的变化情况，由此可以使学生听讲时在对夫琅禾费单缝及杨氏双缝干
5、涉的理解起到促进加深的作用，也可对实验有一定的指导。matlab 自身拥有许多的优点，例如 内部提供非常丰富，简洁的库函数， 其以矩阵为基本的数据结构，代替了 c 繁重琐碎的子函数编写程序，并且还可以根据使用者的需要编写新的函数或者对源程序进行修改来构建新的工具箱， 不仅丰富了 matlab 的库函数，还使使用更加便捷与人性化。除此之外， matlab 还具有强大的图形和符号功能，其自身带有许多绘图的库函数，可以绘制多种多样的二维和三维图形，同时还能利用图形界面对图形进行相应的编辑处理，因此能够处理许多抽象复杂的数据使其形象化。具有丰富、灵活实用的运算符。由于 matlab 是由 c 语言编写
6、而成的，一次具有与 c 语言一样快捷实用的运算符，如果能够灵活使用 matlab 的运算符就会编制出非常简洁、实用的计算程序。 matlab 对程序语法的语法限制相对 c 而言不是非常严格， 因此利用 matlab 程序编写的自由度很大。 matlab 具有实用价值并且功效显著的工具箱。其包含两个部分，其一是重点的部分，其二是供多种挑选的工具箱。重点部分由数百个关键的内置函数组成。工具箱分为两个部分，其一是功效性质的工具箱，其二是学科性质的工具箱。这些工具箱具有重要的功效，使用它们能够对不同的学科领域进行研究。譬如在处理物理问题中常用matlab 自带的 GUI 用户图形处理界面。2 夫琅禾费
7、单缝衍射2.1 实验分析2.1.1 夫琅禾费单缝衍射条纹与光强分布无论是水波、声波或光波，当其波阵面的一部分以某种方式受到阻碍时，就会发生偏离直线传播的衍射现象。越过障碍物的波阵面的各部分因干涉而特定的波的强度分布叫做衍射图样。单缝衍射实验装置如下图（2-1-1）所示，当一束平行光垂直照射宽度可与光的波长比较的狭缝时，会绕过缝的边缘向阴影区衍射，衍射光线经透镜会聚到焦平面处的屏幕 P 上，形成衍射条纹。图 2-1-1-1 夫琅禾费单缝衍射单缝衍射条纹的分布：近似判断方法 菲涅耳波带法。如图（2-1-1）所示，单色平行光垂直照射宽度为 b 的狭缝 AB（图中把缝宽放大约百倍），按惠更斯原理，AB
8、 面上各子波波源的球面波向各方向传播，在出发处相位相等。其中沿入射方向传播的，经透镜 L 会聚于 PO 处时，相位仍然相等，故加强为中央亮线；与入射线成j角方向传播的，经透镜会聚于 Pk，其明暗取决于各光线间的光程差。从 A 点作 AC 线垂直于 BC，从 AC 线到达点 Pk 的所有光线都是等光程的，因而沿缝宽的各光线之间的光程差取决于从 AB 到 AC 之间的行进路程，而最大光程差BC = b sinj,设想用相距为 /2 的若干平行于 AC 的平面分割BC，同时也就把狭缝上的波阵面分成一些等面积的部分，即菲涅耳半波带，从两个相邻半波带的对应点发出的光线到达 AC 面时的光程差均为 /2，
9、相位差为，经透镜会聚后相位差仍为 ，故强度互相抵消。据此可以推测：对应某确定的j方向，若单缝波阵面可分成偶数个半波带时，Pk 处为暗条纹；若单缝波阵面可分为奇数个半波带时，Pk 处将有明条纹；若半波带数为非整数，Pk 处于明暗之间。总之，当j适合BC = b sinjk（1，2，）（1） 时则产生暗条纹，当j适合BC = b sinj（2k1）2（2，）（2） 时则产生明条纹。对于强度的计算，为了清晰起见，图中狭缝的宽度 AB 已经放大。平行光束垂直于缝的平面入射时，波面和缝的平面重合，将缝分割为一组平行于缝长的窄带， 次波将由每一条这样的窄带发出，其振幅正比于窄带的宽度 dx。若设光的初相位
10、为 0，b 为缝 AB 的宽度，Ao 则为所有的窄缝所射出的次波的合振幅，并且是在j=0 的方向上。窄缝上的单位宽度的振幅为 Ao/b,而次波，即由宽度为 dx 的窄带所发出的，其振幅为 Aodx/b,则各窄带（即狭缝处）所发次波的振动可用下式表示dEo =Aodx coswt b（1）这些次波都类似等同是球面波，并不断向前移动。现在，首先对与射入方向成j角（ 称为衍射角）的传播方向的全部的次波进行研究。在射入光束的平行波面AB 上各个次波都有相等的相位，通过透镜 L 的光叠加在焦平面 F 上的同一位置 P 处。对于 Pk 点的合振幅的计算，各次波的相位关系务必要代入,其由各窄带到 Pk 点的
11、光程所决定。现在作垂直于衍射方向 BC 的平面 AC，要确定在 Pk 点相遇的各次波的相位关系必须根据 BC 面上的各个点的相位分布关系。利用从平面 BC 上沿衍射方向的各个点通过透镜至 Pk 的光程都一样，从而只要计算出从平面 BC 到平面 AB 的各平行直线段的光程差即可。在图 1-1 中，MK 为衍射角等于j的任一条光线。令 AM=x,则 MK=xsinj,这就是所要求的光程差，即分别从 M 和 A 两点射出的次波沿着与 Mk 平行的方向到达平面 AC 说产生的。综上，可得 AC 面上 K 点的光的振动表达式dE =Ao dx cos（ 2px sinj-wt）（2）bldE = Ao
12、dx ebpi （ 2l x sinj-wt ）（3）则复振幅为dE = Ao dx ei 2l x sinj（4）为计算方便，公式中设到达 Pk 点的各次波有相同的振幅（即光程与振幅成反比的关系和倾斜因子是不考虑的）。依据惠更斯-菲涅尔的理论，将公式对总的缝宽（从 x=0 到 x=b）进行积分。最后可得在观察点 Pk 叠加起来的衍射为j的所有次波合振幅pb sinjAp = Aopbsin（ l sinj）lsin 2 u2（5）令U = o ，故 Pk 的光强为 I p= Iou 2= Io sin c u（6）图 2-1-1-2 夫琅禾费单缝衍射光强分布推导衍射图样的光强分布不同的衍射角
13、对应于光屏上不同的观察点，首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置，即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：dsin 2 u（） =duu 22 sin u（u cos u - sin u） = 0u 3将上式对 u 求导，得： sin u = 0u = tan u分别解以上两式，可得出所有的极值点。（1） 单缝衍射中央最大值的位置由sin u = 0 ,解得满足Uo = pb sinjo 的那个方向，即sinjo = 0 （中央最大值的位置）（2） 单缝衍射最小值的位置由sin u = 0 ,解得满足 U = pb sinjk 的一些衍射方向，即klsinjk = k l（ k=+1,+2
14、,+3,.）（最小值位置）（3） 单缝衍射次级最大的位置这些最大值通过解 u=tanu 可求,利用图解法求得 u 的值。作直线 y=u 和正切曲线y=tanu,它们之间的交点即是这个超越方程的解： Uk=1.4303,2.459,3.4709,.即次最大条纹的中心位置，代入相对光强分布方程得到次最大光强的大小。图 2-1-1-3 夫琅禾费单缝衍射超越方程2.1.2 缝宽及入射光波长对条纹的影响根据单缝衍射图像的特点（1） 各级亮条纹最大值的光的强度是不相等的。其中央最大值光的强度最强， 中央亮条纹的最大值都远大于次级亮条纹的最大值，并伴随着级数 k 的减小而很快地增大，即便是第一级次条纹光强最
15、大值也不（2） 到中央光强最大值的 5%。（3） 透镜的中心到各级亮条纹所张的角度称为角宽度，中央亮条纹的角宽度等于2 l，即等于其他各级亮条纹角宽度的 2 倍。这个结论可如下证明：屏上各级最小值到中心的角宽度满足sinjk = k l。在j很小时，它可近似写成Dj= k l，由于在最小值的位置公式中，k 可取所有不为零的正负整数，而中央亮条纹以k=+1 的最小值位置为分界，故公式近似地为2Dj= 2 l若任意的两相邻暗纹之间为亮纹，故两侧亮纹的角宽度为-Dj= （k + 1） lk l= lbbb（3） 根据sinjk = k l，可知最小处形成的每一侧的暗纹是等间距的，而次最大 b值彼此则
16、间距是不会相等，不过随着级数 k 增大，次最大值也就越接近于间距相等。（4） 上述只对单色光进行分析，若光源是白光，由于衍射图样中的明暗条纹位，因此，除中央最大值，衍射是由置与波长 有关，则条纹的角宽度正比于l不同的波长所产生的图样将相互分开。于是观察到的衍射图样的中央亮纹的中心能是白色的，中央亮条纹的边缘部分将有彩色现象，其他各级彩色条纹则依次交叠展开。（5） 以下讨论一下缝宽 b 衍射图样的影响。中央最大值的半角宽度Dj与波长* 成正比，与缝宽 b 成反比，即Dj= l（6） 随着缝的宽度加大， 和 b 的比值减小。在 b 的极限情况下，Dj 0 ，这里可认为衍射图样压缩成为一条亮线。由此
17、可见，障碍物使光强分布偏离几何光学规律的程度，可以用中央最大值的半角宽度来衡量。（3）式表明， 只有在 b,衍射现象才可忽略不计；反之， 越大或 b 越小，衍射现象就愈显 著 。 由Dj= l可得波长越长，缝宽越小,条纹宽度越宽,衍射现象就越明显。若 b 一定,改变 对同一级（k 值定）条纹 ，j,反之, ，j若 一定,改变 b 对同一级（k 值定）条纹 b，j缝越细，衍射越明显；b，j缝宽到一定程度，无衍射现象，为直线传播。2.2 实验模拟2.2.1 夫琅禾费单缝衍射条纹和光强图样1. 程序clear; % 清除变量x0=; % 建立空矩阵f=inline（x-tan（x）;% 定义函数解超
18、越方程x0=fzero（f,0）,fzero（f,4）,fzero（f,7）% 解赋予空矩阵x0 = 04.49347.7252n1=3;% 解的个数xm=（n1+1）*pi;% 自变量的最大值xx=linspace（0,xm,1000）;% 建立自变量向量y=xx;% 建立正比列函数figure % 创建图形窗口hold on % 保持plot（xx,tan（xx）,LineWidth,2） % 画曲线plot（xx,y,r -,2） % 画曲线grid on % 加网格axis（0,xm,-20,20） % 设置曲线范围fs=16;% 字体大小title（超越方程iturm=tanitur
19、m 的解FontSize,fs） % 标题u=-8:0.1:8;% 中间变量u（u=0）=eps;% 为零时变最小量i=（sin（u）./u）.2;% 光强公式figure %创建图形窗口plot（u,i,r-,2）% 绘制曲线xlabel（衍射角 fai,19,Fontname黑体）%定义横坐标ylabel（相对光强 i）%定义纵坐标夫琅禾费单缝衍射光的强度分布）%标题text（3.6,0.85,Single-slit diffraction% 标记grid on% 绘制网格c=255;% 颜色大小figure% 创建图形窗口图 2-2-1-1 单缝衍射超越方程模拟图image（i*1000
20、） % 画图像ColorMap（gray（c）% 形成线性灰度色图axis off% 隐轴夫琅禾费单缝衍射条纹分布）% 标题2. 图像分析：每两个相邻暗条纹之间有一最大值（即次最大），这些最大值的位置可由超越方程 u=tanu 解得。模拟图中通过交点可清晰准确的看出 u 的值，由此得出次最大的位置，代入相对光强分布方程便可得到次最大光强的大小。图 2-2-1-2 单缝衍射光的强度分布模拟图图 2-2-1-3 单缝衍射条纹分布模拟图通过模拟图可得知单缝衍射光的强度分布中央最宽亮度最亮，两侧排列着宽度强度较小的亮条纹，相邻的亮条纹之间有一条暗条纹，并且从图中看出中央亮条纹是第一级亮条纹宽的两倍，第
21、一级次最大值也不到中央最大值的 5%。图像基本符合理论。2.2.2 不同缝宽下的条纹和光强分布% 清除标量l=710e-9;% 红光波长d=0.5,0.1,0.05*1e-3;% 设置缝宽矩阵n=-1:0.0001:1;% 自变量向量fai=n*pi/180;% 角度向量FAI,D=meshgrid（fai,d）;% 绘制三维网格，建立矩阵u=2*pi*D.*sin（FAI）/l;% 若零改为小量% 光强figure% 创建图形窗口plot（fai,i,-,2） % 画曲线单缝夫琅禾费衍射不同缝宽的光强曲线）%标题）% 标记横坐标）% 标记纵坐标text（0.012,0.93,红线 repre
22、sentd=0.05% 标注text（0.012,0.83,绿线 representd=0.1% 标注text（0.012,0.73,蓝线 representd=0.5grid on% 绘制网格image（i*1000） % 画图单缝夫琅禾费衍射不同缝宽下的条纹分布至上而下：d=0.5 d=0.1 d=0.05）% 标注图 2-2-2-2 不同缝宽下的衍射光强模拟图图 2-2-2-1 不同缝宽下的衍射条纹分布模拟图由模拟图像得知不同缝宽下衍射光强和条纹图像会改变，得知缝宽是影响 其变化的要素之一，而从图中可观察到，随着缝宽的越来越窄，条纹间距就越大， 光的强度就越明显，衍射现象就越显著。2.2.3 不同波长下的条纹和光强图像% 清除变量k=3;d=0.1e-3;% 缝宽l=700,550,400*1e-9;% 建立波长矩阵0.001:% ; 建立自变量向量FAI,L=meshgrid（fai,l）;% 建立三维网格矩阵u=2*pi*d*sin（FAI）./L;% 若为零改小量plot（fai,i（1,:）,r ,fai,i（2,:g ,fai,i（3,:b ,2）% 画曲线单缝夫琅禾费衍射不同波长下的光强曲线grid on% 保持cm
