1、外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。内容解析:函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关知识，并且在初中，已经学习了函数概念本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律. 在函数教学
2、前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程.第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，到1718年约翰贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和常数的任一形式所构成的量”，强调了函数要用公式来表示，再到18世纪中叶欧拉给出的定义“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数”，再次发展到1823年柯西“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数
3、叫作函数”，其间经历了多次表述上的演变，1930年维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数定义，“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与x之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为，元素x称为自变元，元素y称为因变元”，从初中到高中的教材中可以看到一些函数概念发展的历史痕迹， 只是表现了两个有代表性的形式 ，但作为高中数学教师，应该深刻理解这一发展历程，我们知道概念的形成过程决定着它的教学过程，所以，我们必须理解这一过程，并能从中得出这一概念的教学设计。学生在初中阶段已学过把函数看成变量之间的依赖关系，在此基础上，本节课通过具体实例，抽象概括出用集合与对应的语言来刻画函数概念老师
4、们想一想从函数概念的最初的提出到总结为集合与对应的语言描述要经过200多年的历史演变,而我们要把这种演变在一节课的时间内完成真的是任重而道远啊!想想我们也是挺了不起的喽!通过本节课的学习，培养学生对数学语言的学习和转换的能力，渗透静与动的辩证唯物主义观点在初中，学生已经学习过函数概念初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数其中x称为自变量这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式后来，人们逐渐意
5、识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究 符号函数,对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强但用集合、对应的观点来解释，就十分自然进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf（x），xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x
6、）|xA叫做函数的值域这个概念与初中概念相比更具有一般性实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的不同点在于，表述方式不同高中明确了集合、对应的方法初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点与初中相比，高中引入了抽象的符号f（x）f（x）指集合B中与x对应的那个数当x确定时，f（x）也唯一确定另外，初中并没有明确函数值域这个概念函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个”“唯一确定”也就
7、是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，而有的没有数与之对应，每一个都要有而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数函数是中学数学中最重要的数学概念之一,是中学数学的核心概念之一，是贯穿高中数学由始至终的一条虹线，是联系其它内容和其它学科的最好纽带.其中蕴含着“函数与方程”，“数形结合”，“转换与化归”等数学思想,其核心是：两个非空数集之间“一对一、多对一”的对应关系.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系
8、；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围.因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打下了感性基础，而且注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴含的规律，逐渐养成善于提出问题的习惯，学会数学用数学语言表达和交流，发展数学应用意识.二、教学目标和目标解析（1）从实际生活和学生已有知识出发，通过丰富实例，建立函数概念的背景，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生体会函数的实质. （2）能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素 （3）会判断两个函数是否为
9、同一函数 （4）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力；通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识。由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念然后再进一步理解它学生在初中函数学习中，只停留在
10、对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解.学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，所以要充分铺垫，循序渐进.三、教学问题诊断分析刚升入高中的学生对函数的概念还是停留在初中函数概念的基础上，尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而又循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。即使是学生学习了高中函数的概念，但是先入为主，并不能将初中函数概念理解过渡到高中函数概念的理解上。造成困难的原因主要有两个方面:第一是函数概念本身的原因,刚才我们提到了函数的发展过程，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程。这不但因为函数概念系统复杂、涉及
11、因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换。在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维。与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高。认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上的困难是比较自然的。第二，函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方
12、面表现在它可以用图像、表格、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准,在高中最重要的一种数学思想数形结合,可以理解为是这种转换的一种体现。教学中存在问题有如下几点：1.学生对函数概念中的关键词、句关注不够，理解不透，领会不深如“非空的数集”、“任意”、“唯一”、“对应关系f”。 教学中，可以通过反例让学生加以认识比如忽视了“非空”和“数集”，
13、就把一般的映射关系理解成为函数，更为重要的是对“任意”、“唯一”这一核心关键词理解不到位，导致对函数概念理解的很模糊。2.不能正确的理解函数符号意义。可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）比如函数。f（1）-2，f（0.5）1， f（2）无定义，最终，让学生明白，f（x）是集合B中的一个数，是与集合A中的x对应的那个数当x取具体数字时，f（x）也是一个具体的数3.对为什么集合B不是函数的值域不理解可以通过举实例，通过实例进行对概念的辨析，这是理解概念的一种较好的方法。例如在学生忽视了数集这一条件时，我们就可以给学生举一个范例，我们班有64名同学，有65套桌椅，按照某种排座位方式，每位同学坐一
14、套桌椅，学生构成的集合到桌椅构成的集合能看成一个函数吗？四、教学支持条件分析在学生学习函数概念之前，学生已经学习了初中函数的概念和集合的有关知识。这些内容都是我们本节课的铺垫五、教学过程设计情境引入：问题1：在初中，我们学习过函数，你能说出它的概念吗？请举几个函数的例子。回顾初中所学函数（如一次函数y=ax+b a0等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数， x叫做自变量）；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。设计意图：温故知新，再现初中函数的定义，为下面
15、的教学做铺垫。问题2: 中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？这可以看作是一个函数吗？带着这个问题我们进入今天的探究学习。通过电话或者是网络在中考成绩查询系统查询，输入一个准考证号得到一个总分，中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统。在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.（强调对应）高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一生活中的实例，使学生感到数学与实际生活密不可分，调动学生的探究积极性，把学生的注意力引入课堂，对抽象的概念消除了畏难情绪，为后
16、继学习做好心理的准备.同时也由初中函数概念的“变量说”到高中函数概念的“对应说”的提升奠定了基础，实现高中函数概念的第一次认识。新课探究：阅读课本15-16页的内容,回答以下问题:问题3: 你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？炮弹飞行时间t的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集从学生熟悉的函数表示入手，由易到难；可以用几何画板展示，体会数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，体会学科之间的联系，注意两变量的范围限制，了解数学、物理的联系。问题4：观察分析图中
17、曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集 ，臭氧层空洞面积s的变化范围是数集.理解图象也可以表示两个变量之间的对应关系，体会对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.逐渐学会看图，抓住契机对学生进行环保教育。问题5：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？你能指出两变量的范围吗？用集合表示它们吗？从表中可以看出我国城镇居民的生活质量有怎样的变化？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述
18、表中恩格尔系数和时间（年）的关系. 你能举出在我们的生活当中用表格来表示两变量的关系的例子吗？根据上表，可知时间t的变化范围是数集 ，恩格尔系数y的变化范围是数集并且，对于数集A中的任意一个时间t，根据表1的对应关系，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.理解函数与我们生活息息相关、数学源于生活，理解表格也可以表示两个变量之间的对应关系，体会一个时间对应唯一一个系数，两变量有范围限制，抓住契机进行爱国爱党教育。 在使用教材的例题时，我们要认真研读，思考为什么课本要选这些例题，它有什么用意。实际上课本编制每一章每一节都有自己的意图，试题的例子也是特别有讲究的，所以要求我们要读懂教材，在没
19、有更好的例子时，建议不要随意替换教材的实例，新课标的教材的例子具有时代性和教育意义，在授课时不要忘记渗透人文主义的知识。问题6：分析、归纳以上三个实例，变量之间的关系有什么不同点和共同点？归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.其共同点是：都有两个非空数集A，B；两个数集之间都有一种确定的对应关系；对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作设计意图:让学生体会从特殊到一般的思维过程.，给学生“数学创造”的体验。这种引出概念的方
20、式自然而又易于学生接受和形成概念。函数的概念也由初中的“变量说”到高中的“对应说”的提升奠定了基础，实现高中函数概念的第二次认识。问题7: 以上三个实例中变量的关系都是函数关系,你能归纳出函数的概念吗？问题3我们能解决了吗?你认为这个例子对我们理解函数有帮助吗?层层铺垫，步步递进，让学生体会概念的形成的过程，体会由特殊到一般的思维过程，让学生自己得出函数的概念。此时让学生回答问题3，第一让学生理解函数的概念并且会判断什么样的对应就是函数关系，加深对函数概念的理解，第二通过这一模型能让学生将函数的概念实例化，再次推进对函数概念的理解。合作探究：问题8: 通过以上学习谈一谈函数概念中有哪些关键词,
21、你如何理解这些关键词.为什么函数的值域是集合B的子集？请谈谈你的看法。促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质让学生更加深刻地理解函数的概念，体会数学用语的简洁精炼，体会数学的严谨性与准确性。这部分内容是函数概念的核心，通过对例题的分析，加强对概念的深化。同时，让学生体会使用定义、公式、定理以及结论时，要特别注意其成立的前提条件，忽略了条件经常导致结果的错误。帮助学生养成良好的学习习惯。问题9:两个函数满足什么条件时是同一个函数？进一步加深对函数概念的理解，明确决定函数的两个条件。问题10:你是如何理解，对对应法则f如何理解？让学生理解是一个整体，并不表示f与x的乘积，它是一种符号
22、，它可以是解析式，如实例（1）；也可以是图像，如实例（2）；也可以是表格，如实例（3）；如同一个加工厂，把把输入的数x，按照某种加工过程如解析式，图像，表格，加工成为一个数值y。问题11:初高中函数的概念有何异同，你对函数有什么新的认识？传统定义局限性？函数近代定义与传统定义在实质上是一致的，两个定义中的定义域与值域的意义完全相同。两个定义中的对应法则实际上也一样，只不过叙述的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，近代定义的对应法则是从集合与对应的观点出发。利用学生思维的空白处设置问题，能引起学生探究的欲望，从而自然引出以形求数的思想。区别是为了更好的理解。也让学生清楚了为什么学习新的定
23、义。实现高中函数概念的第三次认识。问题12:研读课本，叙述区间的概念。请同学们在阅读后填写下表：定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间提高自学能力、阅读理解能力。 学生自己完成,真正体现出学生会的,教师不讲。课堂练习:1. 下列图象中不能作为函数的图象的是（ ） （A） （B） （C） （D）加强对函数概念的理解。2.填写下列表格：对初中学习的三个已知函数进行三要素分析，加深对函数概念的理解。3.已知函数求（1）； （2）对f（x）的进一步理解。4.下列函数中哪个是与yx相同的函数，为什么？（1）f （ x ） = x； g （ x ） = （2）f （ x ） = x 2；f （ x
24、） = （x + 1） 2（3）f （ x ） = | x | ；g （ x ） = 学会判断两个函数是否相等小结归纳通过本节课的学习，你主要有哪些收获？启发学生对本节课学习的内容进行总结,提醒学生重视研究问题的方法和过程,进一步深化对函数概念的理解。六、目标检测设计1练习设置5-6个练习题: 检测是否理解和掌握本节内容，较易，基础稍差的同学也能做对，从中体验到学习数学的乐趣. 2课后作业 （1）阅读作业：通读教材，复习巩固，并思考表示函数有哪些方法？（2）书面作业：课本第28页习题12345（3）弹性作业：比较函数的近代定义与传统定义的异同点，你对函数有什么新的认识？请同学们举出几个具体函数例子，用传统定义不好解释，而用近代定义容易理解。了解函数的发展史，激发学生学习数学的兴趣。
