1、则有下图式成立。称为积分运算f（t）的傅立叶变换，式的积分运算叫做F（）的傅立叶逆变换。F（）叫做f（t）的像函数，f（t）叫做F（）的像原函数。F（）是f（t）的像。f（t）是F（）原像。傅立叶变换傅立叶逆变换（2）离散傅里叶变化的实现 Matlab提供了对向量或对矩阵进行离散傅里叶变换的函数.1. g（x）:返回向量的离散傅里叶变换.设晓得长度为n，若为2的幂次，则为以2为基数快速傅里叶变换，否则为运算速度很慢的非2次幂次的算法。对于矩阵x，个g（x）应用于矩阵每一列。2. g（x，n）计算n点离散傅里叶变化。限定向量的长度为n，若x的长度小于n，则不足部分不上0；若大于n，则删去超出的那
2、些元素。对于矩阵X，它同样应用于矩阵的每一列，只是限定了向量长度为n3. g（x，,dim）:这是对于矩阵而言的函数调用格式，前者的功能与g（x）基本相同，而后者则与g（x，n）基本相同。只是当参数dim=1时，改函数作用于x的每一列；当dim=2时，则作用x的每一行。值得一提的是，当一只给出的样本数n0是2的幂次时，可以取一个n使他大于n0且是2的幂次，然后利用函数格式g（x，n）进行快速的傅里叶变换。是七速度大大的提升。 例如：给定函数：g（t）=12sin（2pi*10t+pi4）+5cos（2pi*40t）取N=100，试从x为0-1采样，绘制相应的振幅-频率图。程序如下：N=100
3、采样点数 T=1; % 采样时间终点t=linspace（0,T,N）;% 给出N个采样时间ti（I=1:N） x=12*sin（2*pi*10*t+pi/4）+5*cos（2*pi*40*t）;% 求各采样点样本值x dt=t（2）-t（1）;% 采样周期f=1/dt;% 采样频率（Hz）X=fft（x）; % 计算x的快速傅立叶变换X F=X（1:N/2+1）; % F（k）=X（k）（k=1:N/2+1） f=f*（0:N/2）/N; % 使频率轴f从零开始 plot（f,abs（F）,-*） % 绘制振幅-频率图 xlabel（Frequency）;ylabel（|F（k）|2. 数值
4、计算一、数值微分与积分Matlab数值积分 MATLAB提供最简单的积分函数是梯形法trapz，我们先说明梯形法语法trapz（x,y），其中x,y分别代表数目相同 的阵列或矩阵，而y与x的关系可以由是一函数型态（如y=sin（x）或是不以函数描述的离散型态。我们看一简单积分式 以下为 MATLAB 的程式（and（1,101）产生101个均匀随机数,每个数都介于0-1之间） x=0:pi/100:pi; y=sin（x）; k=trapz（x,y） k = 1.9998clearx=sort（rand（1,101）*pi）;y=sin（x）;trapz（x,y）ans = 1.99812.T
5、LAB 另外提供二种积分函数，它们分别是辛普森法 quad 和牛顿-康兹法 quad8。三种方法的精确度由低 而高，分别为 trapz, quad, quad8。由于这二种方法依据的积分法不同于梯形法，因此它们的语法就和 trapz 不同；其语法为 quad（function,a,b） （quad8语法相同），其中function是一已定义函数的名称（如sin, cos, sqrt, log 等），而 a, b是积分的下限和 上限。和 trapz比较，quad, quad8不同之处在于这二者类似解析式的积分式，只须设定上下限及定义要积分 的函数；而 trapz则是针对离散点型态的数据做积分。以
6、下为 MATLAB 的程式 a=0; b=0.5; kq=quad（sqrt,a,b） kq = 0.2357 kq8=quad8（kq8 = 0.2357fun=inline（1./（x.3-2*x-5）ezplot（fun,0,2）q,n=quad（fun,0,2） % q,n = quad（fun,a,b,） %同时返回 %函数计算的次数nq = -0.4605n = 533.积分与三重积分y*sin（x）+x*cos（y）Q=dblquad（fun,pi,2*pi,0,pi）Q = -9.8698x,y=meshgrid（pi:.1:2*pi,0:pi）;z=fun（x,y）;mesh
7、（x,y,z）Matlab数值微分若有一函数 f（x） 在x=a 的微分可表示为 上述微分项在几何上的意义为在 x=a 点的切线斜率. 下面介绍的差分表示式，数值差分 即是用来求数值微分的方法。差分表示法 我们知道一微分项的计算，可以在二相邻点 x+h 和 x 间函数取下列极限求得 若将原连续的空间以多个离散点取代。则上述的极限以离散点的方式计算， 即是以下的差分式 （difference equation）上式被称为前向差分 而高阶微分项可以利用低阶微分项来计算，举例来说一个二阶微分式可以表示为 上述提及的后向差分式 ，在 MATLAB 有对应的diff 函数来计算二相邻点的差值， 它的语法
8、为 diff（x），其中 x代表一组离散点 。假设有x, y（x）的数据为 x=1 3 5 7 9, y=1 4 9 16 25 则 diff（x）=2 2 2 2, diff（y）=3 5 7 9，注意二者皆以后向差分计算且数据点只剩 4 个而不是5个。而 dy/dx 的 数值微分则为 dy/dx=diff（y）./diff（x）。因此要计算下列多项式在 -4, 5 区间的微分 x=linspace（-4,5）; % 产生100个x的离散点 p=1 -3 -11 27 10 -24; %被积函数各项的系数 f=polyval（p,x）; plot（x,f） % 将多项式函数绘图 title（
9、Fifth-deg. equation） dfb=diff（f）./diff（x）; % 注意要分别计算diff（f）和diff（x） xd=x（2:length（x）; % 注意只有99个df值，而且是对应x2,x3,.,x100的点 plot（xd,dfb ） % 将多项式的微分项绘图 Derivative of fifth-deg. equation num=f（3:length（f）-f（1:length（f）-2）; % 注意中央差分是 f（k+1）-f（k-1） deno=x（3:length（f）-x（1: % 注意中央差分是 x（k+1）-x（k-1） df_c=num./de
10、no;length（x）-1）; % xd的点数只有98个 plot（xd,df_c） Derivative of fifth-deg. polynomial二、线性方程与非线性方程的求解1.线性方程组求解 在MATLAB中，线性方程的求解分为两种：一是直接解法，就是在没有舍入误差的情况下，通过有限的矩阵的初等运算来求的方程组的解；二是符号解法。就是先顶一个解的初值，然后按照一定的秩代法运算进行逐步的不仅。求出更精确的近似解。直接解法线性方程的直接解法多数基于高斯消元法、主元素消元法、平方根法和追赶法。只需要调用相应的函数或运算符即可完成线性方程的求解。最简单的方法那就是左除法。如 用直接法求
11、线性方程组的解法 X1+2X2+3X3+4X4=10 X1+3X2+4X3+5X4=9 X1-3X2-4X3+5X4=6X1-5X2+3X3-4X4=11命令如下： A=1,2,3,4;1,3,4,5;1,-3,-4,5;1,-5,3,-4B=10,9,6,11X=AB （2）矩阵分解求线性方程 A=5,1,-1,1;1,3,-1,-1;-1,-3,-1,5;1,1,-1,4;b=1;2;3;4;l,u=lu（A）; %LU分解 X=u（Lb）（3）矩阵求逆法A=X=inv（A）*b2.非线性方程组求解方程求根的一般形式是求下列方程的根：f （ x ） = 0 实际上，就是寻找使函数f （ x
12、）等于零的变量x，所以求方程（l）的根， 也叫求函数 f （ x）的零点。如果变量x是列阵，则方程就代表方程组。当方程中的函数f （x）是有限个指数、对数、三角、反三角或幂函数的组合时，则方程（l）被称为超越方程，例如 e-x - sin（ x/ 3） lnx = 0 就是超越方程一、符号方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve（s）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。当方程右端为0时，方程可以不标出等号和0，仅标出方程的左端。solve（s,v）：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve（s1,s2,s
13、n,v1,v2,vn）：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。例1 解下列方程。1x= solve（1/（x+2）+4*x/（x2-4）=1+2/（x-2）, x2f=sym（x-（x3-4*x-7）（1/3）=1x= solve（f）32*sin（3*x-pi/4）=14x+x*exp（x）-10） %仅标出方程的左端2 迭代法迭代法是计算数学中的一种重要方法，用途很广，求解线性方程组和矩阵特征值时也要用到它。这里结合非线性方程的迭代法求解，介绍一下它的基本原理。迭代法基本原理迭代法的基本原理就是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，
14、数列中每个元素都是方程根的近似值，只是精度不同。迭代法求解方程 f （ x ） = 0 （1）时，先把方程等价地变换成形式 f （ x ） = xg（x） = 0 ， （2）移项得出：x = g（x） （ 3 ） 若函数g （x）连续，则称（3）为迭代函数。用它构造出迭代公式：xk+1= g （ xk） , k = 0 , l , 2 ， （ 4 ）从初始值 x0出发，便可得出迭代序列： x k = x0, x1, x2,.xk,. （ 5 ）如果迭代序列（5 ）收敛，且收敛于x*，则由式（4）有：可见 x*便是方程（l）的根。3.图形处理功能Matlab提供了一系列的绘图函数，用户不需要过多
15、的考虑绘图的细节，只需要给出一些基本参数就能得到所需图形，这类函数称为高层绘图函数。此外，Matlab还提供了直接对图形句柄进行操作的低层绘图操作。这类操作将图形的每个图形元素（如坐标轴、曲线、文字等）看做一个独立的对象，系统给每个对象分配一个句柄，可以通过句柄对该图形元素进行操作，而不影响其他部分。绘图可分为两种，是二维图形绘图和三维图形绘图。一、 二维图形绘图Matlab最基本的绘图函数为plot函数，用于绘制xy平面上的线性坐标曲线图，提供新坐标和对应的y坐标，即plot（x，y）。如 在0 , 2pi区间，绘制曲线y=2*exp（-0.5*x）.*sin（2*pi*x）;在命令窗口中输
16、入以下命令2*pi; y=3*exp（-0.7*x）.*sin（4*pi*x）; plot（x,y）2 含多个输入参数的plot函数plot函数可以包含若干组向量对，每一组可以绘制出一条曲线。含多个输入参数的plot函数调用格式为：plot（x1，y1，x2，y2，xn，yn）如下列命令可以在同一坐标中画出3条曲线。 x=linspace（0,2*pi,50）; plot（x,sin（x）,x,5*sin（x）,x,7*sin（x）3 含选项的plot函数Matlab提供了一些绘图选项，用于确定所绘曲线颜色。这些选项如表所示：线型颜色- 实线b蓝色: 虚线g绿色-. 点划线r红色- 双划线c青
17、色m品红y黄色k黑色w白色例 用不同颜色在同一坐标内绘制曲线 及其包络线。 x=（0:2*pi）; y1=3*exp（-0.5*x）*1,-1; y2=3*exp（-0.5*x）.*sin（2*pi*x）; x1=（0:12）3; y3=3*exp（-0.5*x1）.*sin（2*pi*x1）; plot（x,y1,k:,x,y2,b-,x1,y3,g分别绘制了黑、蓝、绿三种曲线。二绘制三维曲线的基本函数最基本的三维图形函数为plot3，它将二维绘图函数plot的有关功能扩展到三维空间，可以用来绘制三维曲线。其调用格式为：plot3（x1，y1，z1，选项1，x2，y2，z2，选项2，）其中每
18、一组x，y，z组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot的选项一样。当x，y，z是同维向量时，则x，y，z对应元素构成一条三维曲线。当x，y，z是同维矩阵时，则以x，y，z对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵的列数如绘制空间曲线该曲线对应的参数方程为t=0:x=5*cos（t）;y=2*sqrt（2）*sin（t）;z=-2*sqrt（2）*sin（t）;plot3（x,y,z,ptitle（Line in 3-D Spacetext（0,0,0,originXYzlabel（Zgrid三维绘图不做详细的介绍。4.总结总的来说，matlab对于我们来说，提供了很大的方便，它的功能很强大，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。对于数学专业来说。我们不必执着于用手来计算一切，我们只需通过一些简单的带代码，即可将繁杂的的数学积分、微分、方程组的求解，数据的处理等很快的计算出来。同事还能够绘制二三维图形，其立体型很具体，生动形象。因此，对于我们数学专业的人来说，学好matlab这一门课程是很必要的。
