1、三角形与四边形三角形与四边形三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角。三角形的内角和等于180三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角。第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角.三角形可以按角来分类：所有内角都是锐角锐角三角形；有一个内角是直角直角三角形；有一个内角是钝角钝角三角形；第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.三角形可以按边来分类：把两条边相等的三角形称为等腰三角形
2、，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.下面给出了三个相同的锐角三角形，分别在这三个三角形中画出三角形的三条中线、三条角平分线、三条高.三角形的三条中线、三条角平分线、三条高_；直角三角形： 钝角三角形：呢？角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.3.三角形的外角和等于360如图9.1.11，D是ABC的BC边上一点，BBAD，ADC80，BAC=70.求：（1）B的度数；（2）C的度数.三角形的三边关系三角形的任何两边的和大于第三边. 三角形的任何两边的差小于第三边如果三角
3、形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性1. 已知ABC是等腰三角形.（1） 如果它的两条边长的长分别为8cm和3cm,那么它的周长是多少？（2） 如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么腰长是多少？2. 按图中所给的条件，求出1、2、3的度数.我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴
4、对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴BDCD， AD为底边上的中线；BADCAD， AD为顶角的平分线；ADBADC90， AD又为底边上的高所以折痕AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高由此可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”例 如图，在ABC中，ABAC，D是BC边上的中点，B30，求ADC和1的度数三条边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于601. 已知等腰三角形的一个内角为140，求另外两个内角的度数.2. 在ABC中，ABAC， 它的两条边长分别为2 cm和4 cm，那么它的周长
5、为多少?直角三角形：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c，那么一定有abc，这种关系我们称为勾股定理直角三角形的判定如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： abc，那么这个三角形是直角三角形例：如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程例如图已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积5. 已知三角形的三边分别是n1、 n2、 n3，当n是多少时，三角形是一个直角三角形?6. 如图，ADCD， ，若C，求B的大小6. 在中， BD是AC边的高，DC， 求BD
6、的长7. 有一块四边形地D（如图），B， m， m， CDm， DAm， 求该四边形地D的面积10. 如图，四边形D中， CD， 且B，求D的度数 11. 如图，在矩形D中，cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把ADE折叠，使点D恰好落在边上一点F处，且F的面积是30cm求此时AD的长多边形的内角和与外角和如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.n边形的内角和为_（n2）180任意多边形的外角和都为_360_1. 一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数用正多边
7、形拼地板：（有正三角形，正方形，正六边形）当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形正十二边形的一个内角为，正六边形的一个内角为120，正方形的一个内角为90，三者之和恰为一个周角360，实际上这三种正多边形结合在一起恰好能铺满地面.1. 在ABC中，AC12cm，AB=8cm，那么BC的最大长度应小于多少？最小的长度应满足什么条件呢？2. 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.3. 如图，已知DC是ABC中ACB的外角平分线，说明为什么BACB.如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就
8、称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴例1如图10.2.2，ABC中，BC10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、DBE6，求BCE的周长平行四边形有两
9、组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形的对边相等，对角相等平行四边形的对角线互相平分。平行四边形是中心对称图形例如图在平行四边形ABCD中，已知A40，求其他各个内角的度数已知AB8，周长等于24，求其余三条边的长例如图在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，AOB的周长为15，AB6，那么对角线AC与BD的和是多少?2. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为厘米，CD的长为5厘米，求OCD的周长3. 在平行四边形ABCD中，A与B的度数之比为，求这个平行四边形各个内角的度数4. 如图，已知平行四边形ABCD的周长为80cm，对角线
10、AC与BD相交于点O，AOB的周长比AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长平行四边形的判定1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（定义）2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形5. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。例如图在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AECF，求证： 四边形BFDE是平行四边形2 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是DAB、 BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形 例3如图，平行四边形ABCD中，AFCH， DEB
11、G，求证： EG和HF互相平分矩形：平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，是长方形，即矩形矩形作为特殊的平行四边形，平行四边形所具有的性质，矩形都具有。此外矩形所具有的一些性质：矩形的四个内角都是直角矩形的对角线相等且互相平分矩形是中心对称图形，也是轴对称图形例如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?例如图在矩形ABCD中，AB3， BC4， BEAC于E试求出BE的长1. 如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点试说明BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系 2. 如图
12、，在矩形ABCD中，AOB60， AB3.6，试求AC与AD的长(精确到0.1)矩形的判定：1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）2. 对角线相等的平行四边形是矩形3. 有三个角是直角的四边形是矩形1 如图，AB、CD是O的两条直径，求证：四边形ACBD是矩形2. 如图，ABC中，AB=AC, AD、AE分别是A与A的外角的平分线，BEAE.求证： AB=DE.3 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和（提示：相似）菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形。菱形具有以下的性质：
13、菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角菱形是中心对称图形，也是轴对称图形1. 如图，在菱形ABCD中，AB5， OA4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度2.求证：菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半例如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，BAD120，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长菱形的判定：1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形3. 四条边都相等的四边形是菱形4. 每条对角线平分一组对角的四边形是菱形例 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交
14、于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形1 如图，AD是ABC的一条角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形.2 如图，ABC中，ABAC，点D是BC的中点，DEAC于E，DGAB于G，EKAB于K，GHAC于H，EK和GH相交于点F求证： 四边形DEFG是菱形3 如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，ACBDq，求菱形ABCD的面积（提示： 利用两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形正方形是中心对称图形，也是轴对称图形1. 如图
15、，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角AOB60求这个矩形的周长(精确到0.1cm) 2如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积3. 利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半正方形的判定：1.有一个角是直角的菱形； 2.有一组邻边相等的矩形例 如图，ABC中，ACB90，CD平分ACB，DEBC， DFAC，垂足分别为E、F求证： 四边形CFDE是正方形1 如图，在ABC中，ACB=90，CD平分ACB， DEBC， DFAC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形.2
16、已知： 如图，点A、 B、 C、 D分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA=BB=CC=DD.求证： 四边形ABCD是正方形.3 如图，在正方形ABCD中，CEDF求证： CEDF梯形只有一组对边平行的四边形叫做梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质: 等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等例如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC， CEDA已知AB8， DC5， DA6，求CEB 的周长1. 梯形ABCD中，如果D
17、CAB， ADBC， A60， DBAD，那么DBC ， C 2. 如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，E是DC延长线上的一点，BEBC，试说明A和E的关系4. 如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角BAD的角平分线与边BC交于点E试求BE与CE的长度5. 已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积6. 如图，在平行四边形ABCD中，ABBE，连结AE，并延长与DC的延长线交于点F，F62，求这个平行四边形各内角的度数 7. 如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB， BCBD，A120，求梯形其他各内角的度数9. 如图，在等腰梯形AB
18、CD中，ABDC， B60， DEAB试说明(1) DEDC；(2) DEC是一个等边三角形10. 梯形ABCD中，ADBC，且A2B4C，求D的度数等腰梯形的判定：1. 两腰相等的梯形是等腰梯形2. 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形1 如图，ABC中，AB=AC， DEBC.求证： 四边形DBCE是等腰梯形.3 如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AEDF求证： 四边形BCFE是等腰梯形2 在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线AC上的三等分点，求证： 四边形BFDE是平行四边形7 已知： 在ABC中，C90，四边形ABDE、AGFC都是正方形，求证： BGEC12. 如图，在ABC中，C90，A、B的平分线交于点D，DEBC于点E，DFAC于点F.求证： 四边形CFOE是正方形13 已知ABC与ADE都是等边三角形，CDBF，求证： 四边形CDEF是平行四边形14 在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作直线EF分别与AD、BC交于点E、F，连结BE、AF交于点G，连结EC、FD交于点H，图中有几个平行四边形，为什么？
