1、,一、定积分问题举例,二、定积分的概念,三、定积分的性质,5.1 定积分的概念及性质,第5章 定积分及其应用,一、定积分问题举例,1.曲边梯形的面积,由连续曲线,及两直线,所围成的图形称为曲边梯形。,如何求其面积 A？,、x轴、,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,解决步骤:,1)分割.,在区间 a,b 中任意添加 n 1 个分点,把a,b 分成n个小区间,长度依次为：,曲边梯形的面积,每个小曲边梯形的面积为,在第i 个小曲边梯形上任取,作以,为底,为高的小矩形,并以此小,矩形面积近似代替相应,小曲边梯形面积,得,2)
2、取近似.,3)求和.,4)取极限.,令,则曲边梯形面积,将n个小矩形的面积之和作为所求曲边梯形面积的近似值,2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在这段时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1)分割.,在第i个小段上物体经,2)取近似.,得,已知速度,将T1,T2它分成n 个小段,过的路程为,i,3)求和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,所求量为同一类和式极限:,特殊乘积和式的极限,二、定积分的概念,在a,b之间任意添加分点,任取,即,记作,此时也称 f(x)在 a,b 上可积.,若极限,存在，且唯一,1.定积分的定义,（1）定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分,变
3、量用什么字母表示无关,即,（2）规定,2.定积分的几何意义:,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,各部分面积的代数和,定理.,定理.,且只有有限个间断点,3、可积的充分条件:,(证明略),例2.利用定积分的几何意义计算,（1）,（2）,例1.利用定义计算定积分,三、定积分的性质,(设所列定积分都存在),(k 为常数),1.方向性,3.线性,4.线性,5.可加性,6.保号性 若在 a,b 上,则,推论1.（保序性）若在 a,b 上,则,推论2.(绝对可积性）,7.估值定理：若,则,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,积分中值定理的几何意义,-称为函数f(x)在a,b上的平均值,例3：比较,和,例4：估计,的值,1.定积分定义,2.定积分的几何意义,3.可积的充分条件,4.定积分的性质,小结：定积分的概念及性质,(k 为常数),1.方向性,3.线性,4.线性,定积分的性质,6.保号性 若在 a,b 上,则,推论1.（保序性）若在 a,b 上,则,5.可加性,推论2.(绝对可积性）,7.估值定理：若,则,8.积分中值定理,则至少存在一点,使,一、牛顿 莱布尼兹公式,二、积分上限函数,5.2 微积分基本定理,
