1、因此可以通过研究分析输入输出信号的统计特性来研究信道。 首先来看下一般信道的数学模型，这里我们采用了一种“黑箱”法来操作。通信系统模型，在信道编码器和信道解码器之间相隔着许多其他部件，如调制解调、放大、滤波、均衡等器件,以及各种物理信道。信道遭受各类噪声的干扰，使有用信息遭受损伤。从信道编码的角度，我们对信号在信道中具体如何传输的物理过程并不感兴趣，而仅对传输的结果感兴趣：送人什么信号,得到什么信号，如何从得到的信号中恢复出送入的信号，差错概率是多少。故将中间部分全部用信道来抽象。可得到下图表示的一般信道模型。311 信道的分类（1）根据输入输出随机信号的特点分类离散信道：输入、输出随机变量都
2、取离散值。连续信道：输入、输出随机变量都取连续值。半离散/半连续信道：输入变量取离散值而输出变量取连续值，或反之。（2） 据输入输出随机变量个数的多少分类单符号信道：输入和输出端都只用一个随机变量来表示。多符号信道：输入和输出端用随机变量序列/随机矢量来表示。（3） 根据输入输出个数分类单用户信道：只有一个输入和输出的信道。多用户信道：有多个输入和输出的信道。（4） 根据信道上有无干扰分类有干扰信道无干扰信道（5） 根据信道有无记忆特性分类有记忆信道，无记忆信道。（6） 根据输入和输出之间有无反馈有反馈信道无反馈信道。 实际信道的带宽总是有限的，所以输入和输出信号总可以分解成随机序列来研究。一
3、个实际信道可同时具有多种属性。最简单的信道是单符号离散信道。312 信道参数 分四部分来讲述。1二进制离散信道模型二进制离散信道模型由一个允许输入值的集合 X0,1 和可能输出值的集合Y=0,1，以及一组表示输入、输出关系的条件概率（转移概率）组成。最简单的二进制离散信道是二进制对称信道（binary symmetric channel,BSC）。如图32所示。它是一种无记忆信道。转移概率为： 图32 二进制对称信道2离散无记忆信道假设信道编码器的输入是n元符号，即输入符号集由n个元素X=x1，x2，xn构成，而检测器的输出是m元符号即信道输出符号集由m个元素Yy1,y2，ym构成，且信道和调
4、制过程是无记忆的，那么信道模型黑箱的输入一输出特性可以用一组共nm个条件概率来描述。式中，i=1，2，n；j=1，2，m，；这样的信道称为离散无记忆信道（DMC）。 信道转移概率矩阵 定义由nm个构成的矩阵为P矩阵（信道矩阵），如下：式中：无扰离散信道 如果信道转移概率矩阵的每一行中只包含一个“1”，其余元素均为“0”，说明信道无干扰，叫无扰离散信道。有扰离散信道在信道输入为xi的条件下，由于干扰的存在，信道输出不是一个固定值而是概率各异的一组值，这种信道就叫有扰离散信道。3离散输入连续输出信道 假设信道输入符号选自一个有限的、离散的输入字符集X=x1，x2， xn，而信道输出未经量化（m），
5、这时的译码器输出可以是实轴上的任意值，即y=，。这样的信道模型为离散时间无记忆信道。这类信道中最重要的一种是加性高斯白噪声（AWGN）信道，对它而言Y=XG ，式中G是一个零均值、方差为的高斯随机变量，X=xi，i=1，2，n。当 X给定后，Y是一个均值为xi、方差为的高斯随机变量。4波形信道 波形信道是这样一种信道模型：其输入是模拟波形，其输出也是模拟波形。假设输入该信道的是带限信号x（t），相应的输出是y（t），那么 y（t）=x（t）n（t） 这里n（t）代表加性噪声过程的一个样本函数。说明：a.设计和分析离散信道编、解码器的性能，从工程角度出发，最常用的是DMC信道模型或其简化形式BS
6、C信道模型；b.若分析性能的理论极限，则多选用离散输入、连续输出信道模型；c.如果我们是想要设计和分析数字调制器和解调器的性能，则可采用波形信道模型。本书的主题是编、解码，因此主要使用DMC信道模型。3.2离散单个符号信道及其容量 信道模型：见31图，图中，输入Xx1,x2,xi,xn，输出Yy1,y2,yj,ym。如果信源熵为H（X），希望在信道输出端接收的信息量就是H（X），由于干扰的存在，一般只能接收到I（X;Y）。信道的信息传输率：就是平均互信息 R=I（X;输出端Y往往只能获得关于输入X的部分信息，这是由于平均互信息性质决定的：I（X;Y）H（X）。Y）是信源无条件概率p（xi）和信
7、道转移概率p（yj /xi）的二元函数，当信道特性p（yj /xi）固定后，I（X;Y）随信源概率分布p（xi）的变化而变化。调整p（xi），在接收端就能获得不同的信息量。由平均互信息的性质已知，I（X;Y）是p（xi）的上凸函数，因此总能找到一种概率分布p（xi）（即某一种信源），使信道所能传送的信息率为最大。信道容量C：在信道中最大的信息传输速率，单位是比特/信道符号单位时间的信道容量Ct：若信道平均传输一个符号需要t秒钟，则单位时间的信道容量为：3.2.1 无干扰离散信道 介绍三种信道：1具有一一对应关系的无噪信道对应的信道矩阵是:因为信道矩阵中所有元素均是“1”或“0”，X和Y有确定的
8、对应关系：已知X后Y没有不确定性，噪声熵 H（Y/X）=0；反之，收到Y后，X也不存在不确定性，信道疑义度 H（X/Y）=0;故有 I（X;Y）=H（X）=H（Y）。当信源呈等概率分布时，具有一一对应确定关系的无噪信道达到信道容量:2具有扩展性能的无噪信道虽然信道矩阵中的元素不全是“1”或“0”，但由于每列中只有一个非零元素：已知Y后，X不再有任何不确定度，信道疑义度 H（X/Y）=0，Y）= H（X） -H（X/Y）= H（X） 。例如，输出端收到y2后可以确定输入端发送的是x1，收到y7后可以确定输入端发送的是x3，等等。信道容量为：与一一对应信道不同的是，此时输入端符号熵小于输出端符号熵
9、，H（X） H（Y）。3具有归并性能的无噪信道 信道矩阵中的元素非“0”即“1”，每行仅有一个非零元素，但每列的非零元素个数大于1：已知某一个xi后，对应的yj完全确定，信道噪声熵H（Y/X）=0。但是收到某一个yj后，对应的xi不完全确定，信道疑义度 H（X/Y）0。结论：无噪信道的信道容量C只决定于信道的输入符号数n，或输出符号数m，与信源无关。3.2.2 对称DMC信道 如果转移概率矩阵P的每一行都是第一行的置换（包含同样元素），称该矩阵是输入对称的；如果转移概率矩阵的每一列都是第一列的置换（包含同样元素），称该矩阵是输出对称的；如果输入、输出都对称，则称该DMC为对称的DMC信道。 对
10、应对称的DMC信道，当输入呈等概分布时，信道到达信道容量，为：其中 第二项为矩阵任一行元素的信息熵。例题31：已知P矩阵，求C。解：二进制信道的C值：323 准对称DMC信道 如果注意概率矩阵P是输入对称而输出不对称，则称为准对称DMC信道。例如：它的信道容量求解较为复杂。324 一般DMC信道 为使 I（X;Y）最大化以便求取DMC容量，输入概率集 p（xi）必须满足的充分和必要条件是:I（xi;Y）C , 对于所有满足p（xi）0条件的iY）C , 对于所有满足p（xi）=0 条件的i即是每个概率非零的输入符号对Y提供相同的平均互信息。33 离散序列信道及其容量定义：多符号离散信源X =X
11、1X2XL在L个不同时刻分别通过单符号离散信道X P（Y/X） Y，则在输出端出现相应的随机序列Y =Y1Y2YL，这样形成一个新的信道称为离散序列信道。 由于新信道相当于单符号离散信道在L个不同时刻连续运用了L次，所以也称为单符号离散信道X P（Y/X） Y的L次扩展。离散序列信道模型 如下图所示，设信源矢量X的每一个随机变量Xl （ l=1,2,L）均取自并取遍于信道的输入符号集a1,a2,an ，则信源共有nL个不同的元素ai（i=1,2,nL）。则输出矢量Y由L个符号组成的输出序列Y =Y1Y2 YL ，它的每一个随机变量Yl均取自并取遍于信道的输出符号集b1,b2,bm。对于无记忆离
12、散序列信道，其信道转移概率为：平均互信息 I（X;Y）=H（Y）H（Y /X） 例题37，p55，BSC二次扩展信道 由题图可知其转移概率： 对应的转移概率矩阵： 是一个对称DMC信道，当输入序列等概分布时，容量为：34 连续信道及其容量341 连续单符号加性信道 输入和输出随机变量都取值于连续集合的信道。其传递特性用条件转移概率密度函数p（y/x）表示，用X p（y/x） Y表示信道数学模型。连续随机变量之间的平均互信息满足非负性，并可以证明，它是信源概率密度函数p（y/x）的上凸函数。连续信道的信道容量C：信源X等于某一概率密度函数p0（x）时，信道平均互信息的最大值，即一般连续信道的容量
13、并不容易计算，当信道为加性信道时，情况要简单一些。下图为连续加性信道模型：噪声为连续随机变量N，且与X相互统计独立的信道。这种信道的噪声对输入的干扰作用表现为噪声和输入线性叠加，即Y=X+N。加性连续信道的条件熵等于其噪声熵，说明Hc（Y/X）Hc（N）。加性连续信道的信道容量：加性噪声N和信源X相互统计独立，X的概率密度函数p（x）的变动不会引起噪声熵Hc（N）的改变，所以加性信道的容量C就是选择p（x） ，使输出熵Hc（Y）达到最大值，即：高斯加性信道的容量： 高斯噪声为N，均值为0，方差为2 ，噪声功率为P；概率密度函数为pn（N）=N（0, 2 ）, 噪声的连续熵为 所以，高斯加性连续
14、信道的容量等于：根据最大连续熵定理，要使Hc（Y ）达到最大，Y必须是一个均值为0、方差为2YP的高斯随机变量。若限定输入平均功率S，噪声平均功率PN=2，对高斯加性信道，输出Y的功率P也限定了，PSPN，因为 pY（y）=N（0,P），pn（N）=N（0, 2 ），所以有： px（x）=N（0,S），即输入X满足正态分布时，Hc（Y）达到最大值，达到信道容量。实际系统中噪声不是高斯型的，但若为加性的，如果均值为0，平均功率为，则信道容量存在下面的上下界：实际非高斯噪声信道的容量要大于高斯噪声信道的容量，所以在处理实际问题时，通过计算高斯噪声信道容量来保守地估计容量。342 多维无记忆加性连续
15、信道 多维无记忆加性连续信道等价于L个独立并联加性信道。对上式进行讨论：（1） 当每个单元时刻的高斯噪声都是同分布时，即：,则有信道容量当且仅当输入矢量X各分量统计独立，且各分量都服从时，信息传输率达到最大。（2） 当每个单元时刻的高斯噪声均值为零，但是方差不同且为时，若输入信号的总平均功率受限，约束条件为：则此时各单元时刻的信号平均功率应该合理分配，才能使得信道容量最大。从而转换为求极大值得问题。 可用注水法来求解。有以下结论：a）在噪声平均功率过于大，甚至超过输出平均功率时，可以不给于功率，即不发送信号；b）在噪声平均功率较大，但还没有超过输出平均功率时，我们可以少给点输入平均功率；c）在
16、噪声平均功率较小的时间里，我们可以多给点输入平均功率。这一结论符合客观规律和人们的习惯概念：例如，当人们说话的总的平均功率受限制时，总是把仅有的说话功率用在风小的时候。在风比较大的时候，就少花点力气。在风大到对方已经无法听到你说话声音时，干脆就暂停说话。等风小一点，或基本上没有风时，才提高嗓音使劲地大声喊叫。把仅有的一点功率，分配到噪声小的时候使用，增加所能传递的信息量，提高通信的效率。343 限时限频限功率的加性高斯白噪声信道 波形信道中，限时tB，限频fm条件下可根据采样定理 ，将输入随机过程x（t），输出随机过程y（t）转化为多维随机序列，进而求其信道容量。设信道的频带限于（ W,W）；
17、根据采样定理，如果每秒传送2W个采样点，在接收端可无失真地恢复出原始信号；把信道的一次传输看成是一次采样，由于信道每秒传输2W个样点，所以单位时间的信道容量为：Ps是信号的平均功率，PN是噪声的平均功率。对高斯白噪加性信道， PN 1/2*N0*2W N0W ，N0/2是噪声的双边功率谱密度。1.信道容量仅与信噪比和带宽有关系。2.表明了在噪声信道中可靠通信，信息传输速率的上限值。3.实际信道一般为非高斯噪声波形信道，其噪声熵小于高斯噪声熵，故信道容量以上式为下限值。4.W一定时，Ct与信噪比SNR成对数关系，如下图所示。提高信号功率或者降低噪声功率，有助于提高容量。 5.当信道容量一定时，增
18、大信道带宽，可以降低对信噪功率比的要求（如扩频通讯）；反之，当信道频带较窄时，可以通过提高信噪功率比来补偿。6当信道频带无限时，其信道容量与信号功率成正比。表明即使带宽无限，信道容量仍然时有限的。香农限频带利用率Ct/W（单位频带的信息传输率） （bps /Hz） 当Ct/W=1bps/Hz时，SNR=1（0dB）; 当Ct/W逼近零时， SNR=1.6dB, 此时信道将逼近香农限。例题39：电话信道带宽是3.3kHz，若信噪比为20dB，即SNR100，运用香农公式可求初该信道的信道容量为CtWlog（1+SNR） =22kbps，实际信道考虑到串音、回波等干扰因素，最大到达的信道传输率为19.2kbps，比理论计算值要小。频带利用率与信噪比的关系
