1、n与乘法）.22、 取定群G的元u,在G中定义新的O” ： aob=au 1b. a. b G.证明（G , o）是群.23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环。证明a1 o oN b o o a1,b1,c1 R是A的一个左理想。Goo24、 证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成的。25、 证明循环群的子群也是循环群。26、 证明（3，x）是Zx的一个极大理想。27、 I是一个整环，a, b I, （a）,（ b），是两个主理想，证明（a） = （ b）的充要 条件是a与b相伴。28、 设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群No29、 若G
2、是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程x2 e的解，证明G是一个交 换群。30、 若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明gn也是一个循环群.31、 证明环R的两个理想的交集仍是 R的一个理想。32、 设I是一个主理想环，a, b I , d是a是与b的一个最大公因子,证明（a,b）=（ d） o33、 设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及 G本身。34、 在整数环Z中,证明Z/（p）是域 p为质数（素数）。35、 在多项式环ZX中,证明（5, X）不是主理想。36、 证明群G为交换群 f : x x 1（x G）为G到G的一个同构映射。37、 设R是一有单位元的交换环，
3、且 R只有平凡理想，证明R是域。38、 证明阶是素数的群一定是循环群。乙i 2=-1中，3是一个素元。39、 证明在高斯整数环Z i= a+bi |a ,b证明Zx的生成理想。40、 设Z是整数环,x是Z上的未定元, （3, x）= 3a0 a1x anx | ai Z,0 n2。41、 证明（5,x）不是Zx的主理想。42、 设G是一个1000阶的交换群，a是G的一个100阶元，证明 歹a Z10。43、 证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。44、 设F22是有理数域上的二阶方阵环，证明 F22只有零理想和单位理想，但 F22不是 一个除环。45、 设G是群，f: 3G, a
4、 a2,（ a G）证明f是群G的自同态 G是交换群。46、 设 G= （a, b ） | a, b |R, a 0，在 G上定义“ ”：（a, b） （c,d） （ac,ad b） 证明（G ）构成一个群。47、 设 G是有限交换群，f: G G,f（g）=g k（ g q 证明 f Aut（G） K|G|）=1 。48、 设 G是 100 阶的有限交换群，f: G G, f（g）=g 49（ g G）,证明 f Aut（G） 049、 设A G,B G如果存在a, b G,使得Aa=Bb则A=B50、 设G是交换群，m是固定的整数，令H= a|a G, am=e，证明H G51、 设 H
5、G,令 C（H）= g|g G, h H,gh=hg，证明 CC（H） G52、 设G是非空有限集合，“”是G的一个二元运算，“”适合结合律及左、右消去律， 证明：（G,）构成一个群，当G是无限集时呢？53、 设G是2000阶的交换群，HG,|H|=200,证明：GH是一个循环群。54、 证明：无限循环群的生成元的个数只有两个。反之，一个循环群 G的生成元只有 两个，则G是否一定同构于Z ？55、 设G是一个循环群，|G| 3,4, G的生成元的个数为2,证明G Z。56、 设G是有限群，H G, a G,证明存在最小正整数 m使am H,且m| a。57、 设G是奇阶群，则对任意g G,存在
6、唯一元x G,使g=x2。58、 证明：整数加群Z与偶数加群2Z同构。59、 设H G, g是G的一个固定元素，gH$= ghg-1|h H-1（1）证明：gHg G（2）证明：H gHg 1。 a 2b60、 设G=a b.2|a,b Q,H |a,b Q，G对复数的加法构成群，H对矩阵b a的加法也构成群，证明：G Ho61、 设H是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明：H G H 2 H o62、 设 N G, |G/N| =10, g G, |g|=12, 证明：g 2 N63、 设 G 是群，a, b G, ab=ba,|a|=m, |b|=n, A = e.证明：|ab|=m,
7、 n （m, n是m, n的最小公倍数）。64、 设 是一个n次置换，集合X= 1,2, 3, ,n，在X中，规定关系“为 kl r Z,使r（k）=l.证明：“”是X上的一个等价关系。65、 设 K= （1）, （12）（34）, （13）（24）, （14）（23） 证明:K S。66、 设G是群，H G,规定关系”a b ab 1 H, a,b G 证明：是 G的一个等价关系，且a所在的等价类a =Hsb67、 证明：15阶群至多含有一个5阶子群。68、 设H G,若H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，证明 H G。69、 设 N G, G:N=2004, 证明：对 x G ,恒有
8、x2004 N。70、 设 N G, G:N=4,证明：存在 M G,且G:M|=2。71、 设 H, N G, H N e,a H,b N,|a| 2,|b| 3 证明：| ab|=6。72、 设 H G,证明：H G a,b G,如果由 ab H ba H。73、 设 k|m,证明：Zm k Zk。74、 群G的非平凡子群N称为G的极小子群，如果不存在子群 B使得e B N,证 明：整数加群Z没有极小子群。G75、 如果 C（G）是循环群，证明：G是交换群（其中C（G）是群G的中心）。76、 证明：6阶交换群是循环群。举例说明6阶群不一定是循环群。77、 证明：在一个有单位元的环 R中，全
9、体可逆元组成的集合对 R的乘法构成一个 群。、. 278、 设R为环，如果每个元素a R都满足a=a，证明R为交换环。79、 环R中元素a称作幕零的，是指存在正整数 m使得am=0,证明：当R为交换环 时，两个幕零元素之和，两个幕零元素之积都为幕零元素。80、 设R和R都是含单位元的环，1r 0r， f是R到R的满同态，证明：（1）f（1 r）= 1R ；（2）如果a是R的单位，贝U f （a）是R的单位。81、 设A 0 0 | x, y R证明：A是关于矩阵的加法和乘法构成一个无单位元的x y环。82、 证明：一个具有素数个元素的环是交换环。83、 设R是一个有单位元1r的无零因子环，证明
10、：如果 ab=lR则ba=lR84、 设R是交换环，X是R的非空子集，令Ann（X） r |r R,rx 0, x X 证明： Ann（X）是R的理想。85、 设R是环，I， J是R的两个理想，令I : J X R|xJ,Jx I，证明：l:J 是 R的理想。86、 设 Z 2 a b,2|a,b Z , I （-.2）证明：Z 2丨是域。87、 设R是有单位元的交换环，I是R的真理想，证明：如果 R的每个不在I中的元素 都可逆，则I是R的唯一的极大理想。88、 在Zx中，证明（7, x）不是Zx的一个主理想。89、 设I和J是环R的理想,且满足I+J=R，I n J= 0证明：RI J。90
11、、 证明：整环R的元素之间的相伴关系是一个等价关系。91、 在整环Z、3 a b.3|a,b Z中,证明4 3是素元。92、 设f: R R为环的同态。如果R是除环，求证f是零同态或f是单同态（零同态 是指 g: R R, x ,x R）。93、 设f:R S是环的满同态。K=Kerf，P是R的素理想，且P K,则f（P）是S的素理 想。194、 设f: R S是环的满同态，Q是S的素理想，证明：f（Q） a|a R, f（a） Q 是R的素理想。95、 设D为整环，m和n为互素的正整数，a, b D如果am=b： a n=bn求证a=b。96、 证明：Zx不是主理想整环。97、 设R为交换环
12、，R=R,则R的每个极大理想都是素理想。Ft 1） C98、 设Rx是实数域R上的一元多项式环，取x2+1 Rx证明： （x 0 ，C为复数域。99、 设R是一个主理想整环，p, q R都是素元，且p与q不相伴，证明（p, q）=R 。100、 设S是环R的子环，I是R的理想，且I S,证明：（1）SI是RI的子环。（2）若S是R的理想，贝U SI是R的理想。101、 设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明：f（A） R A Kerf R102、 设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f （N） G N Kerf G。103、 设R是欧氏环，I是R的一个素理想，证明：I是R的
13、一个极大理想。104、 设f是环R的满自同态，R只有有限个理想，证明f是R的一个自同构。105、 设H, K G,则对任意a, b G,则Ha Kb=或Ha Kb是H K的一个右陪集， 该结果能否推广？106、 方程-=：|在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群107、 设证明 关于矩阵的乘法构成群108.设L是群.证明：如果对任意的二,有；二二=f,则是交换群.109.证明：在群3中,如果，,： -.,则川.110.设 0为加群.证明：任给二；，有-l - ?；., 7让有相同的阶._ n120.设&为群,-,的阶为陀，-, .证明：121.证明：循环群是交换群.122.证明：有限群中阶数大
14、于2的元的个数必是偶数.123.证明：任意偶数阶群必含有阶为2的元素.124.设丁为素数.证明：-中每一个非零元都是生成元.125.设t为壬到的同构映射,证明：与工有相同的阶.126.证明： 肌訂专屛厂1 =127.设亡是群,证明：I的中心C = g E G | g =珈 V工 G是丁的正规子群.128.设G是群，片-：】G, 证明：巨H.129.设。是群,X和分别是L的子群和正规子群.证明：（1）-.是乂的正规子群；（2）是Z的子群.130.设为G的中心.证明：如果厂是循环群,则匚是交换群.131.设&为群,对任意的,称口丄=L右_ 1处为的换位子，芒的所有换位子生成的子群叫做2的换位子群，
15、记作证明:（1）是的正规子群；（2）商群是交换群;（3）若 L. e,且匸厂为交换群,贝二；是.的子群注：2二是由所有换位子的可能乘积所组成的集合132.设G与了为群,为G到的同态映射.：一.证明：|一.当且 仅当对任意的有出：讥.133.设&与 二为群,为卍到的同态映射.：一, 证明：卩一 1（砧）三工E G |匸（叮 三娇） =g-K.134.设门为芒到的同态映射,-人一1、为三的子群.证明:旷如）= HK.135.设。与了分别为广:阶与:阶循环群.证明：匚匚当且仅当、136.设上都是群G的正规子群.证明：137.设群1在集合 二上的作用是传递的.证明：如果二是的正规子群，则 八在 -的作
16、用下的每个轨道有同样多的元素.138.设群作用在集合 卫上，J二.证明：如果存在J广：:, 為=gS述-1.139.证明集合Z / 3 = + 3 | 4 爼关于通常的加法与乘法构成一个整环.并求出=，-的所有单位.140.证明集合Q = 4 + &帖十曰苗匕卫W Q关于通常数的加法与乘法构成域.141.证明：由所有形如P Y 吗 X RI工y丿的矩阵组成的集合匚关于矩阵的加法与乘法构成一个无单位元的环 所有零因子.145.证明：一个具有素数个元素的环是交换环.146.使得丿一,则试确定这个环的设 工是环.”是的单位元.证明：对任意的二, 丄147.设.T是环.证明：对任意的1卜，有（1） :
17、 - : 1 . -/；148.设 二是有单位元 乜的环（且匸是无零因子环.证明：如果ab= lfl 贝则比=1r149.设匸为大于1的正整数.令a E 7i m | 1.上：关于剩余类的乘法构成一个交换群.150.设壬为加群,定义E的乘法为二 0 詩 b W Jii证明-匚 为环，并求出二的所有子环与理想.151.设集合-（旳卜沁R证明T为；：h的子环.152.设，是交换环，-、是工的非空子集.令Ann（J?） = r E J? | ra = 0,旳 E X门是二的理想.153.设，是无零因子环，弓是匸的子环.证明：当J有单位元时，匸的单位元就是 的单位元.154.设，是有单位元的交换环,1
18、 - 是的单位当且仅当丨三.155.2.设为的子环，丿是二的理想，且丄；（1） 是 匚的子环；（2）女口匸是山的理想,则二丁是三的理想.156.设芒：三占为环同态.证明（1）如果J是丫的理想,贝U匚厂是的理想.（2）如果是二的理想,且；满,贝是；/的理想.157.设丄和/为的理想,且满足；十,-1 _ .证明：-人.158.设芒：三一芒为环的满同态，丄和J分别是和：,的理想.证明：如果 :八二且L-:.,则有环同构R/I二 S/J159.证明：二-是欧几里德环.160.设.1是个正整数.证明八是一个域.161.设丁是素特征匸的域.证明：对工中任意元工和二有（工+ =芯卩十期耳162.设戶是L阶
19、的有限域,将F看成 7上的线性空间.对任意的-,定义 丁上的变换丄一如下：Ad : （31 q、0、 QwF）验证：是线性空间F的线性变换.163.设a和b是一个群G的两个元且ab ba，又设a的阶a m , b的阶b n,并且（m,n） 1，证明：ab的阶ab mn。164.设 R 为实数集， a,b R,a 0，令 f（a,b）： R R,x ax b, x R，将 R 的所有 这样的变换构成一个集合G f（a,b）a,b R, a 0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。165.设Ii和I2为环R的两个理想，试证Ii I2和11 12 a ba Il,b 12都是R的理想。166.
20、设R是有限可交换的环且含有单位元1,证明：R中的非零元不是可逆元就是零 因子。167.设G是一个群， a G证明：a与a-1的阶相同.168.设G=Mn（Q）=有理数域上所有n阶可逆矩阵，H = A|A G,|A|=1证明：H是G 的不变子群.169.证明：一个域是一个欧氏环.170.F 所有实数a b._3， （ a,b是有理数）。证明，F对于普通加法和乘法来说是一个域。171.设群G与群G同态，N是G的一个不变子群，N是N的逆象，证明G N G N172.R是由所有复数a bi（ a,b Z ）所作成的环，证明R 1 i是一个域。2173.证明：设G是群，如果对任意的x G，有x e,则G
21、是交换群。174.证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。175.设H a bi cj dk|a,b,c,d R是四元数体，对H中任意元x a bi cj dk ,定义其共轭x a bi cj dk。xX Xx是一个非负实数；a b （a） （b）.”是A的一个等价关系.177.在复数集C中规定关系”：a b | a | |b | .”是C的一个等价关系.178.在n阶矩阵的集合MF）中规定关系”：A B | A| | B| .“”是Mn（F）的一个等价关系.179.设”是集合A的一个关系，且满足：（1）对任意a A，有a a ;（2）对任意 a,b,c A，若 a b
22、,a c,就有 b c.“”是A的一个等价关系.180.设G是一个群，在G中规定关系”：a b 存在于g G，使得b g 1ag .“”是G的一个等价关系.181.令G A A为n阶正交矩阵证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群.182.设G是整数集，规定运算：a b a b 4, a,b G .G对运算作成一个群.182.证明：若群G的每个元素都满足方程x2 e,则G是一个Abel群（交换群）183.设G是一个群，证明：G是交换群的充分必要条件是，对任意 a,b G,都有188.设G是一个交换群，m是固定的正整数.令H a G | am e.H是G的一个子群.189.设 比屮2是群G的子群.证
23、明： 比 H2也是G的一个子群.190.设 G 是- -个群，令C a G |ax xa, x G.C是G的一个子群.191.设G是一个群，S是G的一个非空子集.令C（S） a G | ax xa, x S.C （S）是G的一个子群.192.若群G的阶是素数p,则G是一个循环群，试证之.193.证明：循环群的子群也是循环群.194.若群G与群G同态，且G是循环群，证明：G也是循环群.195.证明：阶为pm的群（p是素数）一定包含有一个阶为 p的子群.196.设H,K是群G的不变子群，HK也是G的不变子群197.且HKe.证明：h H, k K，都有hkkh .198.HK也是G的不变子群。19
24、9.设H是群G的子群，N是G的不变子群。HN是G的子群.200.设G是一个n阶有限群.证明：G的每一个元素都满足方程xn e .201.设G是一个群，C a G|ax xa, x G是G的中心，证明：C是G的一个 不变子群.202.设C是群G的中心，艮卩且商群GC是循环群.证明：G交换群.203.若G是循环群，H是G的一个子群.证明：gh也是循环群.204.设G是一个群，令:x x 1,x G .证明： 是G到G的同构映射的充分必要条件是：G是一个交换群.205.设R是一个环，令C（R） R G |ax xa, x R.C （R）是R的一个子环.206.设R是一个环.证明：如果 R有左零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因 子，又是右零因子.207.设R是一个环.证明：如果 R有右零因子，则R中有非零元x，使x既是左零因 子，又是右零因子.208.设R是一个有单位元1的环，a,b
