1、前者走的路程=追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离二追者走的路程.航行问题：顺流速度;静水速度+水流速度，逆流速度;静水速度-水流速度，顺水速度-逆水速度=2 X水流速度；抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考 虑.3.工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：（1）总工作量=工作效率X工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和.4.调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.【典型例题】类型一、和差倍分问题V 1.20 11年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5. 8亿立方米，
2、其中居民家庭用水比生产 运营用水的3倍还多0. 6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5. 8-x）亿立方米.依题意，得 5.8-x=3x+ 0 . 6解得x = l. 35. 8 -x=5. 8-L 3=4. 5（亿立方米）答：生产运营用水1. 3亿立方米,居民家庭用水4. 5亿立方米.【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x,另外一个用含x的式子表示.本题的相 等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量=5. 8亿立方米.举一反三：【变式】（麻城期末考试）麻商集团三个季度共销售冰箱28 0 0台,第一个
3、季度销售量是第二个季度的2倍. 第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台？【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x 台,依题意可得：x+2 x +4x=2 8 00,解得：x=4 00答:麻商集团第二个季度销售冰箱400台.类型二、行程问题1.一般问题C2.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0 . 5千米，如 果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米？【答案与解析】解:设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：4x+0, 5=5 （
4、x-0. 5 ）,解得 x=3.所以 4x+0.5=4 X3+0. 5 = 12. 5（千米）.学校到县城的距离是1 2.5千米.【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的，而是通过求其它 的数量间接地求最后的未知量.【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为1。千米/时,下坡的速度为20千米/时，求汽车的 平均速度.【答案】解：设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为2小时，下坡行驶的时/ 间为三小时依题意，得：；+=X = 2。，20 110 20J化简得：3以=40。.显然a W 0，解得V = 13 -3汽车的平均速
5、度为131千米/时.2.相遇问题（相向问题）【高清课堂:实际问题与一元一次方程（一） 3 8 8 4 10相遇问题】o 3. A、B两地相距10 0 km,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是 23km/h,乙的速度是21kIn/h,甲骑了 lh后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？设甲经过x小时与乙相遇.甲 乙由题意得：23x1+（23 + 21）。1） = 100 x 小时 一干1小时一解得,x=2. 75甲经过2. 75小时与乙相遇.【总结升华】等量关系：甲走的路程+乙走的路程=100km【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇
6、，每小时甲比乙多走 2.5 km,求甲、乙每小时各行驶多少千米？设乙每小时行驶*千米，则甲每小时行驶（升2. 5）千米，根据题意，得：2（x + 2.5） + 2x = 45x = 10x + 2.5 = 10 + 2.5 = 12.5（千米）甲每小时行驶12. 5千米，乙每小时行驶10千米3.追及问题（同向问题） 4.一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了 18分钟时，学校要将一 紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以 追上学生队伍？设通讯员x小时可以追上学生队伍,则根据题意，1 Q得 14x = 5x，+
7、 5x,60得:x = L ，小时=10分钟. 6 6通讯员用1 0分钟可以追上学生队伍.【总结升华】追及问题：路程差=速度差X时间，此外注意：方程中x表示小时,18表示分钟,两边单位不一 致，应先统一单位.4.航行问题（顺逆风问题） 5.一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是 4千米/时，求这两个码头之间的距离.解法1 ：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4） 千米/时，由两码头的距离不变得方程：3（x+4）=5（x-4）,解得：x=16,（16 + 4） X 3 =60（千米）两码头之
8、间的距离为6 0千米.Y Y解法2:设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为一千米/时，逆水航行时速度为二3 5X X千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：-4 =+ 4,解得：x = 60【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度水流速度,根据两个码头的距离不变或 船在静水中的速度不变列方程.类型三、工程问题 6. 一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注 满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水,还需要几小时能注满水池？【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注
9、1小时注水池的白，甲管单独注水每小时注水池的装,合注7小时注水池的1,乙管每小时注水池的;一一卜设乙管还需X小时才能注满水池.由题意得方程：I而一I一历解此方程得:X =9单独开乙管，还需9小时可以注满水池.【总结升华】工作效率X工作时间=工作量，如果没有具体的工作量,一般视总的工作量为.举一反三:【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天,丙单独完成需12 天，前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?【答案】 解：设乙中途离开N天，由题意得x 7 H （7 - x + 2） H x 2 = 114 18 12x
10、 = 3乙中途离开了 3天类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题） 7.星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3 条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和 裤子才能恰好配套?共能生产多少套？2【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣件，或做裤子1条， 此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量.（ 750 x设做上衣需要xm,则做裤子为（750-x） in,做上衣的件数为一x 2件，做裤子的件数为一x3 ,则 3 3- 2x 3（750 x） 有：- = - 解
11、得:x =45 0 ,450x27 50-x=75（）-4 5 0=30 0 （m）, - = 300 （套）用450m做上衣,3 00m做裤子恰好配套，共能生产3 0 0套.【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：上衣总件数=裤子的总件数.【高清课堂：实际问题与一元一次方程（一） 调配问题】【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队才能使甲队恰好是乙队人数的a 解:设从甲队调出X人到乙队.由题意得,72-x = j（68 + x） 解得，x=12.需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的;实际问题与一元一次方程（二）（提高）2.熟悉行程，工
12、程，配套及和差倍分问题的解题思路.要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）（1 ）基本量及关系：增长量;原有量X增长率，现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.1.基本量及关系：追及路程二速度差x追及时间前者走的路程ma者走的路程；第二，同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离;追者走的路程.逆流速度=静水速度-水流速度，顺水速度一逆水速度=2 X水速；口.寻找相等关系：（1）总工作量二工作效率X工作时间；（2 ）总工作量二各单位工作量之和.C1 .旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,
13、 这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤？设油箱里原有汽油x公斤,由题意得：x（l25%） （1-4 0%）+1=2 5%x+（1 -25%） x X 4 0 %x=10油箱里原有汽油10公斤.【点评】等量关系为：油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张， 这个班有多少学生？ 一共展出了多少张邮票？设这个班有x名学生，根据题意得：3x+24=4x-26x=50所以 3x + 2 4 =3X 5 0+24= 1 74这个班有50名学生，一共展出了 174张邮票.1.车过桥问题C 2.
14、某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了 50s,而整个火车在桥上的时间是30s,求火车的长度和速度.【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.设火车车身长为xm,根据题意，得：1200 + x_ 1200-x50 30，x= 3 0 0 ,b,、，1200 + x 1200 + 300 “所以一二一= =3。50 50火车的长度是300m,车速是30m/s.【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下（注:A点表示火 车头）：桥长-车长 - iW/一 .桥长1200m（2）（1）火车从上桥到完全过
15、桥如图（D所示，此时火车走的路程是桥长+车长.（2）火车完全在桥上如图（2）所示，此时火车走的路程是桥长一车长.由于火车是匀速行驶的，所以等量关 系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度.【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走8 6米,通过长86米的桥，从 第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？设从第一排上桥到排尾离桥需要X分钟，列方程得：692 ）86x= 1 xl+86,I 4 ）x= 3从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟.C3.小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.已知两人在上午8时 同时出发,到上午10时，两人还相距
16、36千米,到中午12点，两人又相距3 6千米.求A、B两地间的路 程.设A、B两地间的路程为x千米,由题意得： x-36 x + 364 = 108.A、B两地间的路程为108千米.【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和二小李和小明 前进的路程和用寸间可得方程.实际问题与一元一次方程（一）3 8 841 0二次相遇问题】【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到 达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34 km,已知甲车的速度是70km/h,乙车的速度是 52 km/h,求A、B两站间的距离.2
17、r-34 X + 34设A、B两站间的距离为xkm,由题意得：予厂=x=122A、B两站间的距离为122km.O4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车,轿车的速度比卡车的 速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小 了 !,结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度.设卡车的速度为X千米/时，由题意得：2x + x +x + 2x = （x + 30） + （l-）x （x+ 30） x 2x=2 4卡车的速度为24千米/时.【点评】采用“线示”分析法，画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列
18、方程，理清 两车行驶的速度与时间.4.航行问题（期逆风问题）C5.盛夏,某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯 江而上到C地下船，共乘船4小时.已知A、C两地相距1 0千米,船在静水中的速度为7.5千米/时，求 A、B两地间的距离.【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：（l）C地在A、B之间；（2） C地在A地上游.设A、B两地间的距离为x千米.（1）当C地在A、B两地之间时，依题意得.X 10 彳 + =4 7.5 + 2.5 7.5-2.5解这个方程得：x=2 0 （千米）（2）当C地在A地上游时，依题意得：7.5 + 2.5 7.5-2.
19、520 解这个方程得:工=一20A、B两地间的距离为2。千米或一千米.【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图（如下图所示），然后利用“共 乘” 4小时构建方程求解.顺流10 x一 一 一7 一- 一 - 7c A B逆流5.环形问题10 x-10上 4 叁 一 ，.- 7A C B，逆流06.环城自行车赛,最快的人在开始4 8分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的32倍,环城一周是2 0千米，求两个人的速度. 27解;设最慢的人速度为x千米/时,则最快的人的速度为工x千米/时，由题意得: 27 48 48-xXxX=202 60 60最快的人的速度为
20、35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周2 0千米.相等关系为:最快的人骑的路程 一最 慢人骑的路程=20千米.【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A-B-C-D-A方向，甲从A以6 5 m/min的速度, 乙从B以72m /m in的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上？设乙追上甲用了 x分钟,则有:72 x-65x=3X9 0270 八、户（分）7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小 时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小
21、时，然后打开丙管，问 打开丙管后几小时可注满水池？设再过X小时可把水注满,由题意得：（- + -）x2 + （- + - ）x = 16 8 6 8 9“ 30 c 4x = = 2 .13 134打开丙管后2行小时可把水放满.【点评】相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1.【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割孑后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍,因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积.设这块水稻田的面积为*亩,由题意得：2 IX -X23+T+ 14 444x = 36.这块水稻田的面积为36亩.类型四、配套问题（比例问题、劳动
22、力调配问题）8.某工程队每天安排12 0个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土 5 nP或运土 3 m：为了使 挖出的土及时被运走，问:应如何安排挖土和运土的工人？设安排X人挖土，则运土的有（120-x）人，依题意得：5 x=3 （120x）,解得x = 4 5.120-4 5=7 5 （人）.应安排4 5人挖土,75人运土.【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：挖土与运土的总立方米数应相等.实际问题与一元一次方程（一） 配制问题】【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克2 0元的糖果混合成杂拌糖果后出售, 为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100
23、千克，问要用这两种糖果各多少千 克？设要用A种糖果x千克，则B种糖果用（10 0-x）千克.依题意，得：2 8x+20（l 00-x）=25X 1 00x=6 2. 5.当 x = 6 2.5 时，1 00-x=37.5.要用A、B两种糖果分别为62. 5千克和37. 5千克.实际问题与一元一次方程（三）（基础）（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力,能熟练找出相等关系并列出方程;（2）熟悉利润，存贷款,数字及方案设计问题的解题思路.要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）1.利润问题（2）标价=成本（或进价）x（利润率） （3 ） 实际售
24、价=标价x打折率（4）利润=售价-成本（或进价）=成本x利润率注意：“商品利润=售价成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价 的十分之几或百分之几十销售.2.存贷款问题（1）利息=本金X利率X期数（2）本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金+利率x期数）（3）实得利息:利息一利息税（4）利息税即息X利息税率（5）年利率=月利率xl2（6）月利率=年利率、上12已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题-一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个 位数字为明十位数字为。，则这个两位数可以表示为10力孔.4.方案问题选择设计方案的一般步骤：（1
25、 ）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.（2）用特殊值试探法选择方案,取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结 论.类型一、利润问题实际问题与一元一次方程（二） 利润问题例2】1.以现价销售一件商品的利润率为3 0%,如果商家在现有的价格基础上先提价40%,后降价5 0%的 方法进行销售，商家还能有利润吗？为什么？答案与解析设该商品的成本为a元，则商品的现价为（1+30 %）a元，依题意其后来折扣的售价为（1+30 %）4 （1+40%） （150%）=0.91aV0. 9 1 a-F-0.09a,0.09 八 “:. 100%=-9%.a商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要.实际问题与一元一次方程（二）38 8 4 1 3利润问题例3】【变式1某个商品的进价是50 0元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住1 2 %的利润率搞促 销活动,请你计算一下广告上
