1、 22 23 24 25 26 27 28 5,6,7,1,2,3,4 29 30 31 5,6,7,1,2,3,4 微软公司的一道面试题。 50个人，每人牵一条狗，这群狗里确定有病狗。假定： 1、狗的病不会痊愈，也不会相互传染； 2、主人不能直接看出自己的狗是否有病 ，只能靠看别人的狗和推理来判断自己的狗 是否有病； 3、一旦发现自己的狗是病狗，会在当天 把它打死。但只能打死自己的狗。 如果把他们关在一起，第一天没有枪声，第二天没有枪声，第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死。 生活中无处不在应用数学 上海和平饭店有一个真实的故事。由于10楼的空调机的效果不同，发现从地下室到10楼有一根电线
2、与众不同，需要量它的电阻。当人们因为距离太长感到困难时，有一个工人想到了一个方法： 抓阄的方法合理吗？ 有一张票，三个人都想要，通常采用抓阄的办法。是否谁先抓，谁就沾光呢？ 第一个人抓到的可能性是。 第二个人抓到的前提是第一个人没抓到，第一个人没抓到的可能性是 ，这时第二个人再抓到的可能性是 ，由乘法原理，第二个人抓到的可能性是 第三个人抓到的前提是前两个人都没抓到，这种可能性是 ，这时第三个人再抓到的可能性是1.故第三个人抓到的可能性是评委会从10个人中选出3个人，并且排出名次，怎样投票才合理？ 方法1 每个评委，将10人排出名次并冠以数字 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10.将得分从
3、低到 高排出来，取前三个。 方法2 每个评委选出三个人，按这些人中得票 多少从高到低排出前三个。 方法3 每个评委分别把认为第一的人提出，其 中得票最多的人排第一；然后再如法在剩下的9个 人中选一个作为第二；最后后再如法在剩下的8个 人中选一个作为第三。 一、数学在科学中的地位和作用 （一）数学不能简单地划归为自然科学。和哲学相对于人文社会科学的地位和作用相似数学是自然科学共有的基础。 伽利略：数学是自然的语言。 马克思：一门科学，只有当它成功运用数 学时才能达到真正完善的地步。 恩格斯：要辩证而又唯物地了解自然，就 必须学习数学。（二）数学为自然科学和人文社会科学提供了一种精确的语言和有力的
4、工具 对于自然科学不用多谈； 音乐 音乐具有比一切智慧、一切哲学更 高的启示。（贝多芬） 奋进的力量：国庆阅兵式中的“人民解放 军进行曲”；“国际歌”；贝多芬的“欢乐 颂”；苏联卫国战争中的“神圣的战争”。 抒情：“在那遥远的地方”、“舒伯特小夜曲”。在钢琴和键盘乐器中采用“十二平均律”这 样可以方便地进行转调，并由此可对乐曲的分类进行数学上的解释。 十二平均律是把八度分成12个半音，这些半 音的频率组成一个等比数列，公比为 世界上最早给出相应计算的是中国人朱载堉 （1536-1611，河南沁阳）。 第一个使平均律数学上公式化的荣誉定当归之中国 自然科学史家 李约瑟 乐曲的第一级分类，是大调式
5、和小调式的区分；其关键是大三和弦和小三和弦的区分。从数据结构看，二者的不同仅仅在于中音相差半度，非常简单。而引发的心理感受、情绪和情感，却属于两个极端： 大三和弦：两个音程的比例较简单，先大后小，明快。 小三和弦：两个音程的比例较复杂，先小后大，含蓄。 这决定了大调式的明快，欢畅，小调式的忧郁、抒情、悲壮。 音乐能够 遥远距离无线传播，这是近代数学（傅里叶分析）与物理等学科结合的产物。 近来，音乐是IT行业的三大市场之一（音乐、影视、手机），数码技术使得音乐的传播更加广泛。 美术 欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家达芬奇 他的画中应用了黄金分割、透视原理、对称等数学原理。 例如名画“最后的晚
6、餐”。耶稣的头顶为 画面的中心，墙、楼板和天花板上后退的光线集中在这个中心，使人们将注意力集中在 耶稣。耶稣本人被画成一个等边三角形，目的在于表达他的思考和情感。12 个门徒对称地分布在他的两旁。20世纪70年代诞生的数学分支混沌动力学和分形几何学，很快被人们应用到了美术创作和影视特技中去。数学迭代在计算机的帮助下可以绘出五彩缤纷、绚丽无比的图像。社会学和政治学 古希腊 不懂数学难登大雅之堂 唐代 科举设立“明算科”考10部算经。 18世纪西方政治家开始仿效欧几里得几何用数学 公理体系来阐述政治观点。他们首先提出一些基本 公理，然后从这些公理中得出人类行为的定理。 边沁的公理： （1）人生而平
7、等；（2）知识和信仰来自感觉经验；（3）人人都趋利避害；（4）人人都根据个人利益行动；（5）最大多数人的利益是衡量是非的标准。洛克的理论：“天赋人权轮”和“社会契 约论”。为了获得生命、自由和财产的保障，人们制定契约赋予政府对犯罪行为的惩 罚。一旦接受这些契约，政府就应照章办事。同时，如果统治者背叛了选民，那么选 民的反叛就是理所当然的了。 一个典型的应用：美国的“独立宣言”。宣言按照边沁和洛克的理论阐明了反抗大英帝国的完全合理性。这些理论缔造了美国的民主制。 19世纪 用数学分析和数理统计方法来剖析社会经济问题。 如今,社会学已经成为高度数学化、高度统计化的社会学科，许多领域已经到了不懂数学
8、的人望尔却步的地步。 人口理论：马尔萨斯人口论也是欧几里得式的。人们在不断地修正马尔萨斯人口论，使之更结合实际。我们会在微分方程的应用中看到这一点。 一夫一妻制的数学根据：男孩与女孩的出生率差不多，男孩稍多于女孩。 为什么美女的数量少？统计表明在一个民族内人的特征和能力，诸如身高、体重、 腿长、脑重、智力，都成正态分布。 天才的孩子一定是天才吗？智力一般的人的孩子会有智力超常的孩子吗？有人用统 计表明人的生理结构是稳定的，所有有机组织都趋于标准状态，这种效应叫回归效应。数理语言学 数学化的语言学。 红楼梦的作者问题 美籍华人陈炳藻做了以下工作。将红楼梦的120回分为三组，每组40回，将“儿女英
9、雄传”作为第四组。每组任取8万字，分别挑出名、动、形、副、虚词，用数理语言学，通过编程、统计、比较和处理，找出各组相关度。 结果：红楼梦前80回和后40回的词汇相关度，达到百分之七十八点五七，而上述两本 书的相关度是百分之三十二点一四。 由此推断红楼梦的120回是同一个人所作。 有人认为前苏联名著“静静的顿河”，是肖洛霍夫剽窃了一个无名作者的作品经加工 而成。后来用与上述方法类似的办法，还了肖洛霍夫的清白。陈鹤琴与常用字选 1925年完成了语体文应用词汇一书。 他和9名助手时三年，从儿童用书、报刊、妇女杂志、小学生课外作品、古今小说、杂志等六大类语科书的554 478字中选出了4261个字，书
10、末有它们出现的频率表。 1946年四川省教育科学院根据这本书出版了常用字选,总计2000个常用字。经济学 经济学在其发展的过程中始终离不开数学工具和数学方法的使用。 19世纪中叶微积分进入了经济学。 边际效用理论 19世纪70年代英国的杰文斯、奥地利的门格尔、法国的瓦尔拉斯在研究商品价值时，提出了“边际效用”的概念。后来“边际效用”得到了广泛的推广，成为微观和宏观经济学的重要内容，产生了边际应用学派。边际就是数学中的导数或偏导数。一般经济平衡理论 1874年瓦尔拉斯提出了著名的“一般经济均衡论”。 瓦尔拉斯法则： 每个生产者和消费者都在可选择的范围内作出使自己使自己活得最大经济效益的选择。其结
11、果将导致市场的供需正好平衡。 他给出了产品市场供需平衡的方程组。 这一理论的关键问题是，证明存在使得供需平衡的商品价格即所谓的“平衡价格”。但是证明这个结论的过程是漫长的。 与这个证明相关的著名学者有： 伟大的数学家冯.诺依曼； 1973年诺贝尔经济学获奖者列昂杰夫； 1970年诺贝尔经济学获奖者萨缪尔森； 1971年诺贝尔经济学获奖者希克斯。 80年后，美国学者阿罗和德布鲁应用1911年数学家角谷静夫发表的荷兰数学家布劳威 尔不动点定理的推广，证明了这个结论。数学与经济学的交叉渗透沿着两个方向发展并取得了巨大成就。 计量经济学和数理经济学。 1969年建立了诺贝尔经济奖，迄今获奖的学者中数学
12、家和有数学背景的人占一半以上。 有人断言，今天数学功底薄弱的经济学家是很难 成为杰出的经济学家的。 2014年诺贝尔经济奖的获得者，又是一个有数学背景的人。 管理学 管理工作要 对客观形势作准确分析、顾及远近的统筹规划、切实有效的宏观调控、严格的绩效考核。这要求调查研究、数据分析、寻求最大效益、评估体系和激励政策、合理分配。（三）数学提供了一种思维模式。 数学思维被认为是人类思维的一种典范。 掌握了数学思维， 思考问题严谨缜密，善于洞察真伪；工作学习和生活，计划性强，心中有数，有条不紊； 办事认真，讲究实效，注重实际。（四）数学体现了一种文化精神。 文化：人类在社会历史发展过程中所创造的物质财
13、富和精神财富的总和，特指精神财 富。如文学、艺术、教育、科学等。 数学文化的内涵，包括数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展（包括 数学家、数学史、数学美、数学教育、数学与社会的联系、数学与其它科学的关系等）。数学科学的精神是指数学发展中形成的、数学本身所具有的人文社会价值的本质特征 ；以及一代代数学家在探索数学科学奥秘，推动数学科学发展的过程中，所集中体现的 具有社会人文价值科学态度和科学精神。简单地说，包括： 事实求是、锲而不舍地追求真理，并且务求尽善尽美的精神； 特别严谨、一丝不苟且能自我完善的精神； 不断创新和科学包容的精神。 这是人类精神文明的宝贵财富，我们做人、做事做学问
14、，都应当发扬的精神。二、当代数学发展的特点与趋势 第一、日益走向综合，已经形成一个庞大的科学体系； 第二、与其它学科交叉渗透，一系列崭新的边沿学科迅速崛起； 第三、“数学技术”迅速兴起，数学对社会进步的作用已从幕后走向了前台。三、学数学，应当学什么？ 基本概念、定理、公式， 知识、技能、技巧； 用心学习和体会： 数学的思想方法， 数学科学的精神。在今后的岁月里，即使会忘记具体的数学定理、公式，但数学科学的精神、思想方法仍 在指导我们的学习、工作和生活。四、学习建议 1、学习环节 中学已经养成了固定的学习习惯，学习环节大致是：预习、听课、记笔记、复习、做作业、阶段复习和总结。这些环节在大学里还需
15、要保留，但情况变了，做法也应随之改变。大学课程的教学大纲和教材由学校各院系自己制定。大学教师对于教材的理解和处理与他的学习和研究经历、内容有很大关系。他要博览 群书采各家之长，按照自己的理解和以往讲 授的经验，以他自己认为效果最好的方式去讲解。 老师只要按照教学要求去讲即可，并不一定完全按照指定的教材讲授。有时候，老师会删掉教材里的一些内容，而添加一些他认为学生应该知道或者对今后讲解有利的内容。 因此预习应大概知道下节书上的内容；听课应特别注意老师讲的哪些地方与教材上不同。大学课堂讲课与中学的差异：听众多；每节课的信息量大；难度大；理论性强；技巧性强。教材上总是先讲一些约定，然后给出一些定义，
16、再根据约定和定义证明一些事实公式和定理，最后讲一些应用。概念的抽象性和逻辑的串联性是其特点。 而老师讲起来并不一定按照书来讲。注意听老师怎样从已知的事实引入概念，怎样分析命题的来源和明命题的思路。一些局部听不懂是正常现象。 当某一步听不懂时，最好不要纠缠，等下课再去细想，要先承认它，接着听下去。否则会影响听下面的讲解。记笔记可以加强注意力，一直跟着老师走。养成动脑、动手，手脑并用的习惯。老师深邃的思路、精彩的分析、方法归纳等既不在书上，又不在课件里。提高学生的能力和素质常常在教师的“不经意之间”口头叙述中。这些要记下来。在预习的基础上，应以听为主。记笔记要记纲要，记老师强调的东西、书上没有的东
17、西。此外，记笔记也是一个基本功。节后复习。人们在实践中对同类对象感性认识多了，就会在头脑中产生一个概念，它是一类客观事物的本质属性在人们头脑中的（正确）反映。概念有它的内涵（事物的本质属性）与外延（概念所反映的那一类事物）。概念是存在于人们头脑中抽象的东西，要把一个概念与另一些概念区别开来，就要借助词语称呼它，并用简明扼要的语言给它下定义。如果不大清楚定义说的是什么，就无法进行判断和进行推理； 如果对定义理解不全面，就会在形成判断和进行推理时出现错误。当你还没有完全理解概念的定义时，不要随意去改动其中一个字或一个词，甚至一个标点符号。要理解一个定义，首先要反复、认真地，逐字、逐句地阅读教材，然
18、后通过习题来检验是否真正理解了。同学之间的讨论和争论是一个好办法！对于一个定义，如果能举出几个正面和反面的例子就说明已经基本掌握了。对公式本身的意义要理解，要能用语言叙述，并且要注意公式本身的特点。对定理和公式要弄清楚每一个条件在 证明中的作用。 要看懂证明。因为证明中要用到基本概念，这样可以加深对概念的理解，同时证明往往给出了一些思想和方法。 弄清楚每一步推理的根据，把书上省去的推理补全，这样书就读厚了。做作业。 一些学者强调：数学是“算”懂的，而不是“看”懂的。做作业能够检验：基本概念是否真懂了；公式和定理是否基本掌握了；能否应用基本概念和公式、定理解决一些简单的问题；是否有基本的逻辑推导
19、能力和计算能力，以及综合运算能力。数学习题大致分为两类。 一类用于巩固基本概念、基本运算、基本理论，这些习题通过复习，理解了基本概念、基本方法后才能顺利做出； 另一类习题是提高题，必须通过自己思索，综合利用基本知识才能解决。 对于第一类的题目，必须独立思考，自己做出来。做不出时，应该再复习课堂内容，反复思考。 对于第二类题目，也必须独立思考，按照分析和综合的思维方式，把问题化为若干小问题来解决。实在做不出来时可以看参考书，或与同学讨论、问老师。无论采取哪种方式，您都需要先有自己的思考，带着自己的看法和问题去寻求帮助。对于初学者常常会因为遇到很多困难而感到困惑：我是不是太笨了？华罗庚先生介绍他学
20、习数学的经验时说过16个字：勤能补拙、熟能生巧、循序渐进、锲而不舍。做习题能力的提高要有一个过程，不可能一蹴而就。开始避免不了模仿，随着不懈地努力，慢慢会达到较高的水平。苏步青曾经做过一万多个微积分题目。解题的切入点:1）类似的题目（可借鉴的经验和信息）。 2）换句话说（变形，归约）。 解题的目标是用已知条件得到所求结果 。复杂的题目是要用几步“转换”： 已知能够说明什么？进而又能说明什么 ？这样能否说明结论？演绎法 要想得到结论需要什么？进而又需要什 么？已知能否说明它？分析法 常常综合应用演绎和综合。3）具体例子和特殊情形。从特殊情况出发，看有无启发；从具体的例子出发，看有无启发。4）简化
21、模型（降维，分解）。能否将问题分解为若干小问题，一一解决。5）物理启发（直观想象） 。借助于几何直观、物理意义。50个人，每人牵一条狗，这群狗里确定有病狗。 1、病不会痊愈，也不会传染； 2、主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能靠看别人的狗和推理来判断自己的狗 是否有病； 3、一旦发现自己的狗是病狗，会在当天把它打死。如果把他们关在一起，第一天没有枪声，第二天没有枪声，第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死。 这是微软公司的一道面试题！你能回答吗？如果不能，请您按我在最后一页的提示考虑。它要综合应用以上提出的一些方法。从最简单的情况考虑：如果只有一只病狗，这时每个人会看到什么？第几天会有枪声
22、？进而说明了什么？第一天没有枪声说明了什么？再看如果有两只病狗，这时每个人会看到什么？第二天没有枪声说明了什么？再归纳下去，想出来了吗？答案是10只。 阶段复习和总结每一章的复习和总结 与中学不同的是，不仅要总结知识点和各种习题的解法，而且要掌握本章的知识点的逻辑结构。 逻辑结构是指各知识点的内在联系。例如，在三角学里，您是否考虑过诸多三角公式的关系？三角公式有哪几种？哪一些是最基本的，哪一些是派生出来的？最基本的三角公式又是从哪里来的？ 您能用一个树形表把这些个关系表示出来吗？此前说过，您在每一节的复习里要把书读厚，即对每一个问题都要比较透彻的理解。而在一章结束时，您如果能理清各知识点的关系
23、，用一个树形表表达出来，提纲挈领，构建一个您所理解的知识体系。最后留在您脑子里的东西，就是这张表，以及表里各知识点的主要内容。于是，您又把书“读薄”了。这是著名数学家华罗庚在1956年，在“给青年数学家”一书中，所提到的：“读书要有一个由薄到厚、再由厚到薄的过程。” 关于重点知识，有一个融会贯通的问题。例如，整个高等数学中都贯穿着求数列极限的问题。求数列的极限有很多种方法，可以利用：运算法则、夹挤定理、极限准则、两个重要极限、导数定义、洛必达法则、定积分定义、级数等等。在什么情况下用哪种方法、怎样用，都要有具体例子说明。2、培养创新意识和探索能力 （1）多问为什么 对于定义，除了尽量弄清其背景
24、外，要体会其关键词，弄清为什么要这样说，能否换一个说法。 对于定理， 第一要尽量弄清楚这个定理“是怎样想到的”， 第二是要尽量弄清楚“证明是怎样想出来的”。 这是很难做到的，需要长期的学习与培养。定理的提出是一种创新。定理有的有物理、力学背景，有的有数学自身的背景，包括几何、数值、逻辑、猜想等方面。例如，微分中值定理。罗尔定理、拉格朗日定理、有明显的几何意义，而哥西定理无明显的几何意义，可以看做是拉格朗日定理的推广。定理的证明是怎样想起来的，一般是不得而知的。但是您可以想一下，如果让您来证明，您会怎样想呢？ 比如说，您可以从罗尔定理猜想到拉格朗日定理，但是怎样去证明它呢？您可以从几何意义上想，
25、也可以从化归的思路去想。虽然您的想法不一定就是前人的想法，但可以锻炼您的解决问题的能力。爱因斯坦: 想象力比知识更重要。波利亚： 让我们来教猜想吧。想象和猜想是提出有意义的问题，需要有一定的知识积累和理论修养。 从某种意义上说，提出问题比解决问题更难,常常孕育着原创性的火花。（2）多思考、多应用 应用可以提高动手能力和学习兴趣。 例如，您能解释为什么圆的面积是圆周率乘以半径的平方？一老人临终时留下17两银子分给三个儿子，老大、老二、老三分别分二分之一、三分之一、九分之一。账房先生拿出一两银子加进去，老大、老二、老三分别分到九两、六两、二两，剩下的一两又被账房先生收回，这样分法合理吗？3、培养语
26、言表达能力 数学语言与自然语言不同。它有以下特点。第一、明晰，即语言是明确的，是有条有理的。数学语言是明确、不可含糊、不可有歧义的。例如“大于”和“大于等于”是不同的；“存在一个”和“存在”是不同的。 数学语言是有条理的，层次分明、因果分明。第二、严谨，即逻辑推理的严格和谨慎。 首先，叙述是严谨的。例如，单调有界数列一定有极限，单调和有界缺一不可；其次,推理的过程是严谨的。推理的步骤应该清楚，每一步的理由应该充分。中学里常犯的错误是叙述中逻辑的颠倒。第三、简洁。用最少的词语表达明确的意义，能用一句话表达的决不用第二句。第四、规范。数学语言的规范更具有专业性。一句话说出来不允许有歧义，一个个概念
27、被定义后，在一本书（一篇文章）里，要贯穿始终，不能改变。数学语言中的逻辑符号、集合论语言、公理化语言等已经成为世界上的通用语言4、培养查阅资料能力 第一、博览群书，采众家之长。 要多看几本参考书，特别是经典的教材。一是扩大知识面，二是提高阅读能力。 不同的书会有不同的逻辑系统，讲述问 题会有不同的角度和侧重面。 第二、适当关注一些期刊。第三、浏览网上资料。精品课、资源共享课、视频。5、培养应试能力 不管怎样，做题目总是共同的问题。 除了平时要努力学习外，要注意收集历年考题，平时可以拿它们练练手。 做题目是重要的途径，多做是必须的。不 可否认，一定可以遇到一些您做过或与您做 过的题目类似的题，这种情况越多越有利。 因此，有人提出题目数量是无穷的，而类 型是有穷的，只要掌握题目类型就可以了。 这种说法有一定道理，但并不完全正确。 第一、知识点是有限个，但它们的组合虽 也是有限种，可这个数量相当可观，您能都列举完吗？ 第二、有些题目很难归入什么类型。 题目有些是考察知识点，有些是考察某种能力。万变不离其宗，还是要回归基本概念 和基本方法。只有熟练掌握基本概念和基本方法，才能以不变应万变。
