1、高中数学通用模型解题 高中数学解题方法 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合A x|y lgx ，B y|y lgx ，C (x,y)|y lgx ，A、B、C 中元素各表示什么？A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。2 如：集合A x|x 2x 3 0，B x|ax 1 若B A，则实数a的值构成的集合为（答： 1，0， ） 1 3 显然，这里很容易解出A=-1
2、,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质：（1）集合 a1，a2，an 的所有子集的个数是2n；要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2 1，非空真子集个数为2 2 nnnnn（2）若A B A B A，A B B；（3）德摩
3、根定律：CU A B CUA CUB ，CU A B CUA CUB 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂A B A B,A B A B 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式的取值范围。 ax 5 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a 2x a（3 M，a3 5 023 aa5 5 025 a5 a 1， 9，25 ） 3 5 M，注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在( ,1)上单调递减，在(1, )上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该
4、马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根5、熟悉命题的几种形式、可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ). 若p q为真，当且仅当p、q均为真若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真若 p为真，当且仅当p为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题。）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质（高考经常考）A x|x满足条件p，B x|x满足条件q，若 ；则p是q的充分非必要条件 A_B；若 ；则p是q的必要非充分条件 A_B；若 ；则p是q的充要条件 A_B；若 ；则p是q的既非充分又非必要
5、条件 _； 7. 对映射的概念了解吗？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。）注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B 的映射个数有nm个。如：若A 1,2,3,4，B a,b,c；问：A到B的映射有 个，B到A的映射有 个；A到B的函数有 个，若A 1,2,3，则A到B的一一映射有 个。 函数y (x)的图象与直线x a交点的个数为 个。 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必
6、须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数y x4 xlg x 3 2的定义域是（答： 0，2 2，3 3，4 ）函数定义域求法： 分式中的分母不为零； 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； 指数式的底数大于零且不等于一； 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数y tanx x R,且x k ,k 2 余切函数y cotx x R,且x k ,k 反三角函数的定义域函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是，函数yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, ，函数yarctgx的定义域是 R ，值域是.，函数yarcctgx的定义域是 R ，值域
7、是 (0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f(x)的定义域是a，b，b a 0，则函数F(x) f(x) f( x)的定 义域是_。 （答：a， a） 复合函数定义域的求法：已知y f(x)的定义域为 m,n ，求y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x) 的定义域。例 若函数y f(x)的定义域为 ,2 ，则f(log2x)的定义域为 2分析：由函数y f(x)的定义域为 ,2 可知： x 2；所以y f(log2x)
8、中有22 1 1 11 log2x 2。 2解：依题意知：解之，得 f(log2x)的定义域为x|1 log2x 2 22 x 4 2 x 4 11、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数y=1的值域 x2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=x-2x+5，x -1，2的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 2 b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y 2型,先化简，再用均值
9、不等式x mx nx11 例：y 121+x2x+xx2 m x n c. y 2型 通常用判别式x mx nx2 mx nd. y 型 x n法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2 x 1（x+1） （x+1）+1 1 例：y （x+1） 1 2 1 1x 1x 1x 1 4、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数y=3x 4值域。 5x 65、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。2sin 12sin 1ex 1例 求函数y=x，
10、y ，y 的值域。1 sin 1 cos e 1ex 11 yy x ex 01 ye 12sin 11 yy |sin | | 1,1 sin 2 y2sin 1y 2sin 1 y(1 cos )1 cos 2sin ycos 1 y x) 1 y,即sin( x) 又由sin( x) 1 1解不等式，求出y，就是要求的答案 6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个x 2(x 2)2+(x 8)2的值域。解：原函数可化简得：y=x-2+x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=x-2+x+8=AB=10当
11、点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2+x+8AB=10故所求函数的值域为：10，+）例求函数y= x2 6x 13+ x2 4x 5的值域 2解：原函数可变形为：y= (x 3) (0 2)+2(x 2)2 (0 1) 2 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=AB= (3 2) (2 1)x222=43， 故所求函数的值域为43，+）。 例求函数y= x2 6x 13 - 4x 5的值域2解：将函数变形为：y= (x 3) (0 2)2-(x 2) (0 1)22 上式可看成定点A（
12、3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=AP-BP 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP-BPAB=即：-26y26（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有 AP-BP= AB= 26。综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26）。注：求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。9 、不等式法利用基本不等式a+b2ab，a+b+c33abc（a，b，c3 2) (2 1)22= 26 R ），求
13、函数的最值，其题型特征解析式 是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：22 x x(x 0)=x2 11 3xx (应用公式a+b+c 3者的乘积变成常数） x2(3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x3 =x x (3-2x) () 13a b c3 (应用公式abc ()时，应注意使3者之和变成常数）3倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例 求函数y=x 2的值域x 3x 2 0时，1 yy x 2 0时，y=0 0 y 12 2 0 y 1 2多种方法综合运用总之，在具体求某个函数
14、的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：f x 1 ex x，求f(x). 令t x 1，则t 02 x t 1f(t) et2 1 t2 1 f(x) ex2 1 x2 1 x 0 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解x；互换x、y；注明定义域）如：求函数
15、f(x) 1 x2 x x 0 的反函数 x 0 x 1 x 1 （答：f(x) ） x x 0 1在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数y Ay=x22x+2(x<1) Cy=x22x (x<1) x 1 1(x 1)的反函数是（ B ） By=x22x+2(x1) Dy=x22x (x1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想， 一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为 x=1，那
16、反函数值域也为y>=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为B.我题目已经做完了， 好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？ 14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、 反函数的定义域是原函数的值域 （可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、 反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、 反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称互为反函数的图象关于直线yx对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A
17、，b C，则f(a)=b f(b) a f 1 1 f(a) f 1(b) a，f f 1(b) f(a) b4 2)，则方程f 1(x) 4的解x由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 （04. 上海春季高考）已知函数f(x) log3(x _.1对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的x吗？那 代进去阿，答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。 自己想想，不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 判断函数单调性的方法有三种： (1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1
18、),f(x2)之间的大小关系可以变形为求f(x1) f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系x1 x2f(x2)(2)参照图象：若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性； （特例：奇函数）若函数f(x)的图象关于直线xa对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数） (3)利用单调函数的性质：函数f(x)与f(x)c(c是常数)是同向变化的函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c0时，它们是同向变化的；当c0时，它们是反向变化的。如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)
19、和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘） 函数f(x)与1f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。若函数u(x)，x，与函数yF(u)，u()，()或u(),()同向变化，则在，上复合函数yF(x)是递增的；若函数u(x),x，与函数yF(u)，u()，()或u()，()反向变化，则在，上复合函数yF(x)是递减的。（同增异减） 若函数yf(x)是严格单调的，则其反函数xf1(y)也是严格单调的，而且，它 y log1 x
20、2x的单调区间 如：求2 2 （设u x 2x，由u 0则0 x 22 且log1u ，u x 1 1，如图：22 当x (0，1时，u ，又log1u ，y 2当x 1，2)时，u ，又log1u ，y 2） 16. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间a，b ）A. 0 3 B. 12 C. 2 D. 3 a a x 0 （令f(x) 3x a 3 x 3 3 则x aa 或x 33a 1，即a 3 3 由已知f(x)在1， )上为增函数，则a的最大值为3） 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若f( x) f(x)总成立 f(x)为奇函
21、数 函数图象关于原点对称 若f( x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论：（1）在公共定义域 如：若f(x) x2 1（f(x)为奇函数，x R，又0 R，f(0) 0a20 a 2 0，a 1） 即02 12x， 又如：f(x)为定义在( 1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x) x4 1求f(x)在 1，1 上的解析式。2 x（令x 1，0 ，则 x 0，1 ，f( x) x 4 12 x2x 又f(x)为奇函数，f(x) x 4 11 4x 2x x 4 1 又f(0) 0，f(x) x 2 4x 1判断函数奇偶性的方法 x ( 1，0)x 0
22、x 0，1 ）一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f( x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数 f(x) 1 偶函数 f(-x)f(x) 1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性 18. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数T（T 0），在定义域内总有f x T f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。）如：若f x a
23、f(x)，则 （答：f(x)是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期）我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，f(x) f(x t) 0 这时说这个函数周期2t. 推导：f(x t) f(x 2t) 0 f(x) f(x 2t)， 同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思：函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 又如：若f(x)图象有两条对称
24、轴x a，x b即f(a x) f(a x)，f(b x) f(b x) f(x) f(2a x) f(2a x) f(2b x) f(x) f(2b x) 令t 2a x,则2b x t 2b 2a,f(t) f(t 2b 2a)即f(x) f(x 2b 2a)所以,函数f(x)以2|b a|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值如： 19. 你掌握常用的图象变换了吗？f(x)与f( x)的图象关于y轴对称 联想点（x,y）,(-x,y)f(x)与 f(x)的图象关于x轴对称 联想点（x,y）,(x,-y)f(x)与 f( x)的图象关于原点对称 联想点（x,y）,(
25、-x,-y)f(x)与f 1(x)的图象关于直线y x对称 联想点（x,y）,(y,x)f(x)与f(2a x)的图象关于直线x a对称 联想点（x,y）,(2a-x,y)f(x)与 f(2a x)的图象关于点(a，0)对称 联想点（x,y）,(2a-x,0)将y f(x)图象 左移a(a 0)个单位右移a(a 0)个单位y f(x a)y f(x a)上移b(b 0)个单位y f(x a) b 下移b(b 0)个单位y f(x a) b（这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）注意如下“翻折”变换：f(x) |f(x把)|轴下方的图像翻到上面xf(x) f(|x把|)轴右方的图像翻到上面y如：f(x) log2 x 1 作出y log2 x 1 及y log2x 的图象
