1、第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量成立证明：作向量（如下图），则 故2. 设两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是证明：必要性，设的终点与始点相连而成一个三角形， 则充分性，作向量，由于所以点与重合，即三向量的终点与始点相连构成一个三角形。3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。证明：设三角形三边的中点分别是（如下图），并且记，则根据书中例1.1.1，三条中线表示的向量分别是所以，故由上题结论得三角形的三中线可以构成一个三角形。4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。证明：如下图，梯形两腰中点分别
2、为，记向量，则而向量与共线且同向，所以存在实数使得现在由于是的中点，所以且故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。5. 试证命题1.1.2。证明：必要性，设共面，如果其中有两个是共线的，比如是，则线性相关，从而线性相关。现在设两两不共线，则向量可以在两个向量上的进行分解，即作以为对角线，邻边平行于的平行四边形，则存在实数使得，因而线性相关。充分性，设线性相关，则存在不全为零的数，使得。不妨设，则向量可以表示为向量的线性组合，因此由向量加法的平行四边形法则知道向量平行于由向量决定的平面，故共面。6. 设是不共线的三点，它们决定一平面，则点在上的充要条件是存在唯一的数组使得其中，是
3、任意一点。在内的充要条件是(*)与同时成立。证明：必要性，作如下示意图，连接并延长交直线于。则由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。由三点共线，存在唯一的数组使得，并且。于是，设由，的唯一性知道的唯一性，则且。充分性，由已知条件有,得到，因而向量共面，即在决定的平面上。如果在内，则在线段内，在线段内，于是，则。如果（*）成立且，则有，这说明点在角内。同样可得到，这说明点在角内。故在内。7. 在中，点分别在边与上，且与交于，试证证明：作如下示意图，由三点共线，存在使得，由三点共线，存在使得，由于有因而。由于向量不共线，所以，解此方程组得。由此得，。同理得到。故得8. 用向量法证明的三条中线交于一
4、点，并且对任意一点有证明：设分别是边的中点，则交于一点，连接。由三点共线，存在使，由三点共线，存在使，于是得，解得。从而有，然而，故，即三点共线，的三条中线交于一点。任取一点，由，得到，于是9. 用向量法证明四面体的对棱中点连线交于一点，且对任意一点有证明：设四面体的棱的中点分别是，棱的中点分别是，如下图。则对棱中点连线为。则容易知道，因此四边形是平行四边形，相交且交点是各线段的中点。同理也相交于各线段的中点，故交于一点。由以上结论知道，对任意一点，由是的中点，有，即10. 设是正边形的顶点，是它的中心，试证证明：设，将正边形绕着中心旋转。一方面向量绕点旋转了角度而得到一个新的向量；另一方面，
5、正边形绕着中心旋转后与原正边形重合，因而向量没有变化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故证法2：由于是正边形的顶点，是它的中心，所以，其中。由三角不等式得到，故有。所以，由于，所以11. 试证：三点共线的充要条件是存在不全为零的实数使得且其中，是任意取定的一点。证明：必要性，如果三点中至少有两点重合，比如重合，则，所以结论成立。如果互不重合，由例1.1.1知道三点共线的充要条件是存在数使得，令，则不全为零，有， 。充分性，设且，则，由于不全为零，以及点的任意性，可知不全为零，否则也为零。所以不妨设，则，因而三点共线。习题1.21. 给定直角坐标系，设，求分别关于平面，轴与原点的对称点的坐标。
6、 解：在直角坐标系下，点关于平面，轴与原点的对称点的坐标分别是，。2. 设平行四边形的对角线交于点，设在仿射标架下，求点的坐标以及向量的坐标。解：作如下示意图，因为是中点，所以=故在仿射标架下，点的坐标分别为所以向量在仿射标架下的坐标为3. 设，求下列向量的坐标：（1）；（2）。解：（1）（2）4. 判断下列各组的三个向量是否共面？能否将表示成的线性组合？若能表示，则写出表示式。（1）（2）（3）解：（1）设即则有该方程组只有零解所以三向量不共面。（2）设即则有该方程组等价于由此得到只要不为零，就不为零，所以三向量共面。取，则所以即可表示成的线性组合。（3）设即则有该方程组等价于方程组有非零解
7、（2，1，0），所以三向量共面。由于只能为零，故不能表示成的线性组合。5.在中，设是边的三等分点，试用和表出与。6.设在一平面上取一个仿射标架，上三点共线当且仅当证明：三点共线当且仅当，即展开得展开行列式得故命题成立。7.在中，设分别是直线上的点，并且证明共线当且仅当 证明：作如下示意图，由于分别是直线上的定比分点，所以。建仿射标架，由于；。所以在仿射标架下的坐标分别为。根据上题的结论，共线当且仅当展开行列式即得到9. 试证命题1.2.1。证明：取定标架，设向量（1） （2）（3）。习题1.31.设，求。解：由，得，所以2.已知，求。解：3.已知与垂直，与垂直，求。解：因为与垂直，与垂直，所以
8、得到于是故4.证明：对任意向量都有当与不共线时，说明此等式的几何意义。证明：当与不共线时，此等式的几何意义是以与为邻边的平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。5.下列等式是否正确？说明理由（习惯上把记为 ）。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解：（1）错误，因为左边表示向量，右边是数。（2）正确，因为。（3）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。（4）错误，因为。（5）错误，因为左边向量与共线，而右边向量与共线。（6）错误，因为与垂直。6.证明：三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。证明：设三角形的两条边的垂直平分线交于一点，为边的中点，以为始点，
9、为终点的向量记为。则，由于是的垂直平分线，所以由此得到说明是的垂直平分线，即三角形的垂直平分线交于一点，且交点到三顶点的距离相等。7.证明：设不共面，如果向量满足则。证明：因为不共面，所以可设。则故。8.用几何方法证明：若都是实数，则有等号成立的充分必要条件是且分别同号。证明：设在直角坐标系下，向量则由三角不等式得，并且等号成立的条件是向量同向，将坐标代入就有等号成立的充分必要条件是且分别同号。习题1.41.设表示向量在与向量垂直的平面上的投影，则有。证明：由于表示向量在与向量垂直的平面上的投影（如下图），则由构成的平行四边形的面积与构成的矩形的面积相等，的方向相同，因而，。2.证明：。证明：
10、，故。3.证明：若，,则与共线。证明：，故与共线。4. 证明：,并说明其几何意义。证明：以为邻边的平行四边形的对角线构成的平行四边形的面积等于为邻边的平行四边形的面积的2倍。5. 在直角坐标系中，已知，求与都垂直，且满足如下条件之一的向量：（1）为单位向量；（2），其中。解：因为向量与都垂直，所以可设，而。（1）因为为单位向量，所以，即故。（2）由，得于是。6.用向量法证明：（1）三角形的正弦定理；（2）三角形面积的海伦(Heron)公式，式中，为三角形的面积，其中为三角形三边的长。证明：（1）设角对应边表示的向量为，由向量外积的模的几何意义知道，于是，故。（2）。7.证明Jacobi恒等式。
11、证明：由双重外积公式。8.设，求满足方程的点的轨迹。解：由外积的定义及外积模的几何意义，点的轨迹在与垂直的平面上，且与过点平行于的直线的距离为的直线，而且保持右手系。习题1.51. 证明：。证明：如果共面，则。如果不共面，则，符合相同的右手或左手规则，因而有相同的符号，故。2.证明：不共面当且仅当不共面。证明：因为，所以。故不共面当且仅当不共面。3.在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为，求它的体积。解：因为所以四面体的体积4.证明Lagrange恒等式。证明：。5.证明：。证明：因为，所以。6.证明：。证明：左边=右边。7.证明：对任意四个向量有。证明：因为，同理所以。8.证明：若与不共线，
12、则与不共线。证明：因为与不共线，所以由于，因而与不共线。9.已知都是非零实数，向量的混合积，如果向量满足，求此向量。解：由条件得到，而且，因此可设，现在两边分别与作内积，则有，故。10.设不共面，证明：任一向量可以表示成。证明：因为不共面，所以任一向量可以表示成。两边分别与向量作内积，得到因而。11.设不共面，设向量满足，那么有。证明：因为不共面，所以不共面，从而可设，两边分别与作内积，则有，于是。第二章 直线与平面习题2.11.求通过两点和的直线方程。解：直线的方向向量为，所以直线的方程为2.在给定的仿射坐标系中，求下列平面的普通方程和参数方程。（1）过点；（2）过点和轴；（3）过点和，平行
13、于轴；（4）过点，平行于平面。解：（1）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（2）平面的方位向量为，所以平面的参数方程因为过轴，所以也可选经过的点为，那么参数方程也可以写为 平面的普通方程为即（3）平面的方位向量为，所以平面的参数方程平面的普通方程为即（4）平面的方位向量平行于平面，方位向量满足，因此可以选为。所以平面的参数方程平面的普通方程为即3.在直角坐标系中，求通过点并与平面和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分别是，所求平面与均垂直，所以它的法向量与均垂直，因此平面的方程为即4. 在直角坐标系中，求经过点，垂直于平面的平面方程。解：设平面的法向量为，则它与垂直，它又与
14、平面的法向量，故所以所求平面的方程为即5. 在直角坐标系中，设平面的方程为，其中。设此平面与三坐标轴分别交于，求三角形的面积和四面体的体积。解：由于，所以平面的三个截距分别为。因此四面体的体积为三角形的面积而所以6.设平面与连接两点和的线段相交于点，且，证明。证明：因为，所以由定比分点的坐标公式得到点的坐标将它们代入平面方程中得整理即得。习题2.21.求经过点，并且通过两平面与的交线的平面方程。解：经过交线的平面束方程为，其中不全为零。所求平面经过点，将它代入上式得到，可以取，因此平面的方程为2.判断下列各对平面的相关位置。（1）与；（2）与；（3）与。解：（1）平面的法向量分别是，它们不共线
15、，所以两平面相交。（2）两平面的系数之比的关系为，所以两平面重合。（3）第二个平面的方程化为，所以两平面的系数之比的关系为，所以两平面平行。3.将下列直线的普通方程化为标准方程。（1）（2）解：（1）方程可写成所以标准方程为（2）标准方程为4.求通过点且与两平面均平行的直线方程。解：直线的方向向量与已知两平面均平行，所以得到于是直线的方程为5.判断下列各对直线的位置。（1）；（2）解：（1）直线经过点，方向向量是，直线经过点，方向向量是。混合积所以两直线异面。（2）直线方程可分别化为经过的点分别是方向向量分别是混合积且所以两直线异面且互相垂直。6.求直线与平面的交点。解：将直线方程代人平面方程
16、得到所以，故交点为。7.求通过直线且与直线平行的平面方程。解：通过直线的平面方程可设为，由于平面与直线平行，所以，即，故平面方程为。8. 在直角坐标系中，求直线在平面上的垂直投影直线的方程。解：垂直投影直线在过直线且垂直于平面的平面中，平面的方程为所以垂直投影直线方程是9. 在仿射坐标系中，求过直线且在轴和轴上有相同的非零截距的平面方程。解：通过直线的平面方程可设为，由于平面在轴和轴上有相同的非零截距，所以，即，故平面方程为10.在中，设分别是直线上的点，并且。证明三线共点的充要条件是。证明：取仿射标架，则点的坐标分别是直线的方程分别为三线共点的充要条件是的交点在直线上。的交点为，将该点的坐标
17、代人直线的方程中化简得到。11.用坐标法证明契维定理：若三角形的三边依次分割成，其中均为正实数，则此三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。证明：由于，由上题的结论知道三角形的顶点与对边分点的连线交于一点。12.证明：如果直线与直线交于一点，那么。证明：由于两直线交于一点，所以方程组有解，则齐次方程组有解，由齐次线性方程组有解的条件得到。13. 在直角坐标系中，给定点和，直线，设各为在上的垂足，求以及的坐标。解：为向量在直线的方向向量的方向上的分量，故过点作与直线垂直的平面，它的方程为，过点作与直线垂直的平面，它的方程为，将直线的参数方程分别代人，方程中，得所以14.求与三直线都相交的直线所产生
18、的曲面的方程。解：与三直线都相交的直线设为，交点可设为，由于三点共线，所以，即有。直线的方程，即消去得到直线构成的曲面方程15.证明：包含直线，且平行于直线的平面方程为。若是之间的距离，证明。证明：包含直线的平面方程可设为，它的法向量为，它又与直线平行，此直线的方向向量是，所以，得到，于是平面方程为。直线的方向向量是，经过点。直线经过点，所以两直线的距离为，因此，故。习题2.31.在直角坐标系下，求下列直线方程。（1）过点且垂直于平面；（2）过点且与三坐标轴夹角相等。解：（1）直线的方向向量是平面的法向量，所以直线的方程为（2）设直线的方向向量是，由于直线与三坐标轴的夹角相等，所以于是。因此直
19、线有4条，方程为，。2. 在直角坐标系中，求平面与面的夹角。解：平面的法向量为，面的法向量为，所以夹角的余弦为，夹角为或3.求到两个给定平面的距离成定比的点的轨迹。解：设点到两平面的距离之比为。如果两平面平行，则选直角坐标系使得其中一个平面为面，另一个平面的方程为，于是，当时，得。当时，得如果两平面相交，则选两平面的角平分面为两坐标面和，则两平面的方程可设为，于是即4.证明：空间中满足条件的点位于中心在原点，顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为的八面体的内部。证明：条件等价于八个不等式：，这些点对于平面来说都在负侧，即包含原点的那一侧。故它们位于由八个平面构成顶点在坐标轴上，且顶点与中心距离为的
20、八面体的内部。5.在仿射坐标系中，设，都不在平面上，且。证明：与在平面的同侧的充分必要条件是与同号。证明：（1）与平面平行的充要条件是即与同号。（2）如果与平面不平行，则设直线与平面相交于点，且。因而与在平面的同侧的充分必要条件是。因为，所以与同号。6. 在直角坐标系中，求与平面平行且与它的距离为的平面方程。解：设点到平面的距离为，则因而所求平面的方程为7.求点到直线的距离。解：直线方程的标准形式为所以直线经过点，方向向量为，则，点到直线的距离为8.求下列各对直线之间的距离。（1）（2）（3）解：（1）两直线分别经过点，方向向量分别是，因此两直线平行，它们的距离为一直线的某点到另一直线的距离，
21、所以，它们的距离为（2）两直线分别经过点，方向向量分别是，所以它们异面，它们的距离为（3）两直线方程的标准形式可写为两直线分别经过点，方向向量分别是，不平行，所以它们相交，它们的距离为0。9.求下列各对直线的公垂线的方程。（1）与（3）与解：（1）两直线的方向向量是，所以公垂线的方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是。公垂线又在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是，因此公垂线的方程是（2）两直线方程的标准形式可为，所以公垂线的方向向量为。公垂线在过直线且与向量平行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是。公垂线又在过直线，且与向量平
22、行的平面上，平面法向量是，所以该平面方程是，因此公垂线的方程是10.求下列各对直线的夹角。（1）（2）解：（1）两直线的方向向量是，所以夹角满足因此夹角为。（2）两直线的方向向量是，所以夹角满足因此夹角为或11.求下列直线与平面的夹角。（1）（2）解：（1）直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以夹角满足因此夹角（2）直线的方向向量为，平面的法向量为，则，所以夹角满足因此夹角12.已知两条异面直线与，证明：连接上任一点和上任一点的线段的中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。证明：以公垂线为轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为面，两异面直线在面上的投影直线的角平分线为轴和轴建立空间直角坐标系。则
23、两异面直线的方程可设为与其中是两直线的距离，。现在从两直线上分别任取一点，则它们的中点满足，这是公垂线段的垂直平分面的参数方程，所以中点轨迹是公垂线段的垂直平分面。13.设在直角坐标系中，平面与的方程分别为和求由与构成的二面角的角平分面的方程，在此二面角内有点。解：角平分面上的点到两平面的距离相等，所以，由于该二面角内有点，且，所以在的负侧，在的正侧，因此角平分面上的点在的负侧，在的正侧，或在的正侧，在的负侧，所以角平分面上的点满足，整理得到14.证明：两异面直线，的公垂线段的长度就是，之间的距离。证明：以公垂线为轴，过公垂线段的中点与公垂线垂直的平面为面，两异面直线在面上的投影直线的角平分线
24、为轴和轴建立空间直角坐标系。则两异面直线的方程可设为与其中是两直线的距离即公垂线段的长度，。现在从两直线上分别任取一点，两点距离为即公垂线段的长度是最小的，因此两异面直线，的公垂线段的长度就是，之间的距离。第三章 常见曲面习题3.11.证明：如果，那么由方程给出的曲面是一球面，求出它的球心坐标和半径。证明：将方程配方得，由，得到方程表示球心是，半径为的球面。2.求过三点的圆的方程。解：空间中的圆可由过三点的一个球面和一个平面的交线表示，设过该三点的球面方程为，得到球面方程为，其中任意。过该三点的平面方程是，所以所求圆的方程可以为其中任意。3.证明曲线在一球面上，并此球面方程。证明：因为曲线满足
25、即，所以曲线在一个球面上。4.适当选取坐标系，求下列轨迹的方程（1）到两定点距离之比等于常数的点的轨迹；（2）到两定点距离之和等于常数的点的轨迹；（3）到定平面和定点等距离的点的轨迹。解（1）选直角坐标系使得定点坐标为。设定比常数为。所以动点满足，化简有，当时，轨迹为平面。当时，轨迹为球面。（2）选直角坐标系使得定点坐标为。设常数为。所以动点满足，化简有（3）选直角坐标系使得定点坐标为定平面为。所以动点满足，化简有5.曲面在柱面坐标系下的方程为，求的直角坐标方程。解：将柱面坐标与直角坐标的关系代入方程得到6.曲面的直角坐标方程为，试求其球面坐标方程。解：将球面坐标与直角坐标的关系代入方程得到即
26、习题3.21.求半径为1，对称轴为的圆柱面方程。解：圆柱面上的点到对称轴的距离是常数1，所以，即有2.已知与圆柱面的三条母线为求这个圆柱面的方程。解：先求对称轴，对称轴上的点到三母线的距离相等，所以，化简整理得对称轴的方程：。圆柱面上的点到对称轴的距离等于对称轴上的点到母线的距离，所以，即展开得到圆柱面方程3.求母线方向为，准线为的柱面方程。解：柱面上的点一定在经过准线上一点的母线上，所以消去得到柱面方程：4.已知圆柱面的对称轴为，点在此圆柱面上，求此圆柱面的方程。解：圆柱面上的点与点到对称轴的距离相等，所以，展开整理得5.求准线为的圆柱面方程。解：因为准线是椭圆，所以圆柱面的对称轴一定过椭圆
27、的中心，母线方向不可能平行于坐标面，可设为。在准线上取三点它们到对称轴的距离都等于圆柱面的半径，于是，得化简有显然所以。因而圆柱面有两个，即6.求以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为的圆锥面方程。解：因为圆锥面以轴为对称轴，坐标原点为顶点，半顶角为，所以圆锥面非常为即7.求顶点在原点，准线为的锥面方程。解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以因此得到锥面方程8.求以原点为顶点，包含三条坐标轴的圆锥面方程。解：设圆锥面的对称轴的方向向量为，依照题意对称轴的方向向量与三坐标轴的坐标向量的夹角的余弦的绝对值相等，所以有即，对称轴的方向向量为。因此圆锥面上的点满足，化简得即有四个圆锥面。9.
28、求顶点为，准线为的锥面方程。解：锥面上的点一定在经过准线上某点的母线上，所以因此得到锥面方程10.证明：母线方向为，与球面外切的柱面方程为。证明：依照题意知柱面是半径为1的圆柱面，对称轴为所以柱面上的点满足，由公式得到，故柱面方程为。11.过轴和轴分别作动平面，交角为常数，求交线的轨迹方程，并且证明它是一个锥面。解：过轴和轴的动平面方程可设为它们的交线是由于两平面的交角是常数，所以，交线方程中的系数按此关系消去得到轨迹方程：，该方程明显是4次齐次方程，所以是锥面。12.证明：以为顶点的锥面方程是关于的齐次方程。证明：我们知道顶点在原点的锥面方程是关于的齐次方程 ，所以将坐标系的原点平移到，新坐标系的坐标用，则，故锥面方程是关于的齐次方程，即关于的齐次方程。13.求下列曲线向各坐标面投影的投影柱面方程，和在各坐标面上的投影曲线，并作出曲线的简图：（1）（2）（3）解：（1）向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是在方程组中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲线是（2）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是在面上的投影曲线方程分别是（3）在方程组中分别消去得到向面投影的投影柱面方程分别是。在面上的投影曲线方程分别是14.设柱面的准线的参数方程为，母线方向为，求柱面的
