1、n m 3分子（母） 有理化求极限 例3：求极限lim （x 2+3-x 2+1） x + 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim （x +3-x +1） =lim 2 （x 2+3-x 2+1）（x 2+3+x 2+1） x +3+x +1 =lim 2x +3+x +1 =0 例4： x 0 +tan x -+sin x 3 x 【解】lim +tan x -+sin x tan x -sin x =lim 33x 0x x （+tan x +sin x ） tan x -sin x 1tan x -sin x 1 =lim = 33x 0x 024x x
2、+tan x +sin x lim 1 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 4应用两个重要极限求极限 11sin x 两个重要极限是lim =1和lim （1+） x =lim （1+） n =lim （1+x ） x =e ，第 x n x 0x 0x n x 一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 x +1 例5：求极限lim x +x -1 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑+数部分。 ，最后凑指X x -1122122x +12 【解】lim =lim 1+=lim 1+x -1 1+=e x +
3、x -1x +x +x -1x -12 1x +2a 例6：（1）lim 1-2；（2）已知lim =8，求a 。 x +x +x x -a x x 5用等价无穷小量代换求极限 【说明】 （1）常见等价无穷小有： 当x 0 时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln（1+x ） e -1, 12b x , （1+ax ）-1abx ； （2） 等价无穷小量代换, 只能代换极限式中的因式； 1-cos x （3）此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 x ln（1+x ） = x 01-cos x x ln（1+x ） x x 【解】 lim =lim =2. x
4、 01-cos x x 012 x 2 sin x -x 例8： x 0tan 3x 例7： -1sin x -x cos x -11sin x -x x =lim =lim =lim =-【解】lim 322x 0x 0x 0x 0tan 3x 6x 3x 3x 6用罗必塔法则求极限 ln cos 2x -ln（1+sin 2x ） 例9： x 0x 2 0 或型的极限, 可通过罗必塔法则来求。 -2sin 2x sin 2x - ln cos 2x -ln（1+sin 2x ） cos 2x 2 【解】lim =lim x 0x 02x x 2 sin 2x -21 - =-3 x 02x
5、 cos 2x 1+sin 2x 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解 例10：设函数f（x）连续，且f （0） 0，求极限lim （x -t ） f （t ） dt x 0 . x f （x -t ） dt 【解】 由于 f （x -t ） dt = x -t =u 0 f （u ）（-du ） =f （u ） du , 于是 x f （t ） dt -tf （t ） dt x f （u ） du 0x =lim f （t ） dt +xf （x ） -xf （x ） f （t ） dt f （u ） du +xf （x ） f （t ） dt +f （x ） f （u ）
6、 du +xf （x ） f （u ） du f （0） 1 =. f （0） +f （0） 2 7用对数恒等式求lim f （x ） g （x ） 极限 2x 例11：极限lim 1+ln（1+x ） ln1+ln（1+x ）x 【解】 lim 1+ln（1+x ）=lim e =e 2ln1+ln（1+x ） 2ln（1+x ） =e 2. 【注】对于1型未定式lim f （x ） g （x ） 的极限，也可用公式 lim f （x ） g （x ） （1） =e lim （f （x ） -1） g （x ） 因为 lim f （x ） g （x ） =e lim g （x ） ln（f
7、（x ） =e lim g （x ） ln（1+f （x ） -1） =e lim （f （x ） -1） g （x ） 例12： x 0x 2+cos x x -1. 3 2+cos x x ln 3 【解1】 原式=lim e x 3 2+cos x ln -13 =lim 2x 0x -sin x ） ln （2+cos x ）-ln 3 =lim =lim x 0x 0x 22x 11sin x 1 =-lim =- 2x 02+cos x x 6 【解2】 原式=lim 2+cos x ln -13 =lim x 0x 2 ln （1+ cos x -1 ） cos x -11 =l
8、im =-22x 03x 6x 8利用Taylor 公式求极限 a x +a -x -2 , （ a 0 ） . 例13 求极限 lim 2x 0x x 22 =1+x ln a +ln a + （ x 2） , 【解】 a =e x x ln a a -x =1-x ln a +ln a + （ x 2） ; a x +a -x -2=x 2ln 2a + （ x 2）. a x +a -x -2x 2ln 2a + （ x 2） 2 =lim =ln a . lim 22x 0x 0x x 11lim 例14 求极限x 0（-cot x ） . 【解】 lim x 0 111sin x -
9、x cos x （-cot x ） =lim x 0x x x x sin x x 3x 23 x -+（x ） -x 1-+（x 2）=lim 3x 0x 113 -） x +（x 3） =lim 3=x 0x 3. （ 9数列极限转化成函数极限求解 1 例15：极限lim n sin n n n 2 【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。 【解】考虑辅助极限lim x sin x +x =lim e x 2 x sin -1 x =lim +e y 0 11 sin y -12 y y 6
10、 所以，lim n sin 10n 项和数列极限问题 n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 （1）用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; （2）利用两边夹法则求极限. 111 + +例16：极限lim 22n n 2+22n 2+n 2n +1 【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算, 是把f （x ） 看成0,1定积分。 lim 1 n n 1 f +n 2 f + +n 1n f =f （x ） dx 0n 1 111 【解】原式lim + + 222n n 12n + + + n n n = 10 12-1=-ln 222+1+x 1n +2 1 +例17：极限lim 2n
11、 n +1 + + 2 n +n 1（1）该题遇上一题类似，但是不能凑成lim 的形式，因而用两边夹法则求解； 1 n n 1 f +n 2 f + +n n f n （2） 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。 +【解】lim 2n n n +n n 1n +1 + 1n +2n n +1 22 1n +n n n +1 又 lim n n +n =lim 1 =1 2 所以 lim +2n n 2+2 12单调有界数列的极限问题 例18：设数列x n 满足0 （）证明lim x n 存在，并求该极限； （）计算lim x n +1 . n x n x n 【分析】
12、一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 【详解】 （）因为0 x n +1sin x n =0时， 则有x n +1 调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim x n 存在. i m x n =0. i n x n 两边令n ，设lim x n =l ，在x n +1=s 得 l =sin l ，解得l =0，即l x （） 因 lim n +1 12x n sin x n x n 2 ，由（）知该极限为1型， =lim n 11 sin x -12x x sin x -x 2 1x lim + sin x =lim +e x 0x x 0 =e （使用了罗必塔法则） 故 lim n +1 1-sin x n x n =lim =e 6. n
