1、3课时6函数模型及其应用数学探究案例一一钢琴与指数曲线1课时实习作业小结与复习.1.1函数的概念和图象一一概念一、 教学目标1、 知识与技能：了解函数产生的背景，掌握函数的概念、 ，特别是函数的三要素。会判断什么样的对应是函数。会求简单函数的定义域及值域。2、 过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域。3、 情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。二、 教学重点与难点：重点：理解函数
2、的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f（x）”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、 学法与教学用具1、 学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 2、 教学用具：投影仪.四、教学思路（1）创设情景1、 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；（3）某市一天的气温与时间的变化关系问题3、 分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。4、 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实
3、例中两个变量间的依赖关系；5、 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？ 如何用集合的语言来描述？（2）探求新知1、 函数的有关概念（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一的元素 y和它对应，那么就称f: At B为从集合A到集合B的一 个函数（function ）.记作： y= f（x）, x A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain ）;与x的值相对应 的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）| x A 叫做函数的值域（range ）.强调：任意性；
4、唯一性。思考：课本例1，对照定义说明理由。注意： y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“ y=g（x）”；2函数符号y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是 f乘x.（2）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？21一次函数：y=ax+b （a* 0）；二次函数：y=ax+bx+c （a* 0）；k3反比例函数：y= （k* 0）x（3）函数三要素：1由定义，构成函数需要几个要素？2如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域是否确定？3如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。例：y x, x R; y x,x R.4由此，
5、两个函数相同的条件是什么？5思考：函数 y f x ,x A与函数s f t ,t A是同一函数吗？函数y x与y 是同一函数吗？2.函数的定义域如果函数对应法则可以用解析式表示出来， 那么要确定这个函数，还必须给出定义域。如果给出了解析式， 但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意义的x的取值集合。 1例：求函数f （x） = x 3 + 的定义域。x 22设一个矩形周长为 80，其中一边长为x,求它的面积关于 x的函数的解析式, 并写出定义域引导学生小结几类函数的定义域：1如果f（x）是整式，那么函数的定义域是实数集 R .2如果f（x）是分式，那么函数的定义域是使分母不等
6、于零的实数的集合3如果f（x）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合4如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义 的实数集合（即求各集合的交集）5满足实际问题有意义.3 函数的解析式函数“y f x ”表示y是x的函数，可简记为f x，这里“f ”即对应法则;f”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义;如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用 g x、h x、 x、F x等等来表示；当自变量x在定义域内取某一确定的值 a时，对应的函数值用 f a来表示，如：f x 2x 1，贝y f a 2a 1 , f 1 3 .4 .
7、函数的值域求下列函数的值域,、 2 2 f x x 1 1,x 1,0,1,2,3 ； f x x 1 1。由此，进一步强调函数值域的意义。（3）学以致用例1下列各组函数中，表示同一函数的是 （）A.f x x, g x x2 B. f x x, g x 3 x3oC. f x 1, g x D. f x 1, g x x 从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不 是同一函数.例 2 已知 f x 2x 1,g x x 2.求f g 1 ；求fa 、g a 1 ；若fgx g f x ，求x的值。七，f（x）1 -x |x|准确理解对应法则“ f”的意义。 例3 求
8、下列函数的定义域： f（x）= ； f （x） . 1 x . x 3 1 ； f （x）求函数定义域的几个原则；函数的定义域一般应用集合或区间表示.（四） 巩固深化课本练习第3 7题（五） 归纳小结1从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；2初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。（六） 承上启下1、 举出生活中函数的例子（三个以上） ，并用集合与对应的语言来描述函数，同时说 出函数的定义域、值域和对应关系。2、 课课练第1、2课时。.1.1函数的概念和图象一一定义域和值域、教学目标2、知识与技能:（1） 进一步理解函数的概念。（2） 会求函数特别是
9、复合函数的定义域。（3） 掌握求函数值域的常见方法。（1） 通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。（2） 在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。让学生感受数形结合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。函数值域的常见方法。复合函数的定义域，判别式法的发现。学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标（一） 创设情景复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得至验1、例（二） 探求新知函数的定义域1求下列函数的定义域：- x:f x变题x x2 ,x2的定义域。的定义域是0,1，则f X 的定义域是练习：若f，贝
10、y f x 1的定义域是若f X的定义域是D，则f X 的定义域是 2函数的值域例2 求下列函数的值域： y x 1, x 1,1 : y 2 x x2 : y .x 1变题1 ：函数v 2的值域是2x 1变题2 :函数y 的值域是ax b一般地，函数 y 的值域是 .cx d例3 求函数y丄 的值域.x x 1思考1根据函数关系你能在值域 C中找到几个值吗？例如 0 C ? 1 C ?为什么?思考2 有谁找到了一个数不在 C中呢？又为何？思考3由此，给定一个值y,你怎样来判断它是否是值域 C中的元素呢？（只需判断关于x的方程二 y是否在定义域内有实数解就可以了）解：由 y 得 yx2 y 1
11、 x y 0若y 0,则x 0，方程有解， y 0在函数值域中；2 2 1若y 0，为使方程有解，只须 y 1 4y20,解得-剟y 1 y 0综合得，所求函数的值域是 丄,1 指出：从函数概念看，函数y f（x）的值域就是定义域中任一自变量 x在对应法则“f”作用下的象的集合，即值域C中每一个y的值,根据对应法则“ f”都有原象x与之对应.因此，函数y f （x）的值域就是使方程 f（x） y在定义域内有解的y的取值范围.如果此方程是关于 x的二次方程，则方程有解的充要条件就是判别式的方法，我们叫做“判别式法”.一般地，二次分式函数 y為 x2 Qx ca2x2 b2x g0，由此求出函数的
12、值域.这种求函数值域 a12 a2 0，常化为关于x的二次方程，然后根据方程有解的条件，利用判别式法求解。思考4 :如何求函数y 2x 2 x -的值域?x2 1如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如 y 坐卫a 0的函数求值域.例4:求函数y x 1 x的值域.分析：本题中所给函数是无理函数， 一般应考虑有理化. 你是否试图通过移项平方来实处理时要特别细心.能否通施？这样做往往会使函数的定义域扩大， 从而影响函数的值域，过其他方法来实现有理化呢？换元！是我们常用的手段之一.画出二次函数y t -5在0,上的图象（如图）；y*I十、可见，当t 0时y取得最大值1,所以原函数的值域
13、是,1 R,1.换元法是处理无理函数问题时常用的方法.2.本题中在得到关于t的二次函数后，由于其定义域不是1Oi而是0,，这时应结合二次函数的图象观察得出结果.如果忽视了定义域问题，得出y,，那就错了！3.请你思考下面的问题： 引申：若关于x的方程x JX a有解，求常数a的取值范围.f x a何时有解等价于：当a取何值时，在函数f x 由函数值域的定义可知，所求 a的取值范围就是函数,1 .设函数f x x 1 x,则方程 x与之对应.的值域， a的取值范围就是（三）巩固深化析的定义域中存在自变量f x1 .若函数yf X的定义域是1,3，则函数f x22.求函数y 的值域.x 2x 3（四
14、） 归纳小结1通过本课的学习，你学会了哪些知识?2具体解题时应注意哪些问题？（五） 布置作业1 .下列四个函数： yx 1; y2x1 :yy巴.其中，定义域和值域相同的是A.B.C.D .2 .有下列四个命题：y 飞的值域是y|y o ；x2 x R且 x 2的值域是.其中正确的值域是R;y x2 3x 1的值域是 y| y0命题的个数是A. 1C. 3D. 43.函数y-的值域是5.求下列函数的定义域：4 .若函数,0，则其定义域是求下列函数的值域:3 xy 1 2xx 0 ;（2）已知函数f x的定义域为1,1 ,求函数x -的定义域. y 2x 3 4x 13 ;（2） yx2 2x
15、3.1.2 函数的表示法（1）解析法1.教学目标1.知识与技能（1） 明确函数的三种表示方法及其优点；（2） 明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。2.过程与方法：通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。3.情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想方法。2.教学重点和难点教学重点：求函数解析式的常见方法。教学难点：能根据条件进行恰当分类，能准确注明函数的定义域。3.学法及教学用具1.学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2.教学用具：圆规、三角板、投影仪.4.教学思路前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要
16、再一起共同讨论？回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？1.函数的表示法函数有哪些表示方法？表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种三种方法各有何特点？解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值， 便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）阅读课本例1：某种笔记本的单价是 5元，买x（x 1,2,3,4,5 ）个笔记本需要y元, 试用三种表示法表示函数 y f （x）.2 求函数解析式的方法例1.根据下列条件，求函数 f
17、 x的解析式：已知f.xl x 2x，求fx ；已知f x是一次函数，且 f f x 9x 8，求f x ；已知 3f x 2f x 2x 5，求 fx .）设t x 1,则Jx t1, ft t1 2 t 1 t2/1T ,1 x 1设faxb a0 ,则f f xaf xb a ax b ba2x ab b由aa2 9a 3,a 3abb 9x8得或ab bb 2b 4 f3x2或f4 .在3f2 f x中，以x换x 得 3 f x 2 fx 2x 5由，消去得f2x 1 .求解争析式的1方法较多：,关键是根据题目特点灵活进行选择,如本例中的3个小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法.求
18、函数解析式时，同时要注明函数的定义域. 在用换元法求解时，最后得到的f X的解析式中，自变量 x实际上是由t “换”来的，因此必须由t的范围来确定f x的定义域.例2 已知函数 f x满足f x 1 x2 4 .x x求f x的解析式；求f x的定义域、值域.析：本题若采用换元法，令t x -,则难以用t来表示出x,注意到11 2f x x 2，从而 f x x 2.为确定函数的定义域，必须求出 t x -的值域，可考虑用判别式法：12由 t x ，得：x tx 1 0 .由 t 40 ,得t厔2或t 2 , f x的定义域是 ，2 U 2, ,又x24 , f x x2 22，即值域为 2,
19、 .此题是先“配凑”再换元，要特别注意其定义域.例3 .设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数 x,y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）, 求f（x）的表达式。只需令y x，可得f x x x 1。本题采用了赋值法。例4 .某地的出租车按如下方法收费：在 3km以内（含3km ）的路程按起步价7元收 费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费.试写出以行车里程 x（km）为自变量，车费y（元）为 函数值的函数解析式。7,0 x 3 7,0 x 3答案：y7 2.4 x 3 ,x 3 2.4x 0.2, x 3评此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论.（3）巩固
20、深化1.根据下列条件求函数的解析式：X 1 1 2 1 1 f （ ） x; f（x -） x , f（x）; f （x） 2f（） x, f（x）.x x x x2为配合客户不同需要，某电信公司有 A、B两种优惠计划供客户选择：计划A计划B服务项目即时直接通话+自动数字传呼基本月租费50元98元免费通过时间首60分钟首300分钟以后每分钟收费0.40 元请根据上面提供的信息，解答下列问题：通话时间超过多少分钟时，计划 B比计划A更省钱？若用户决定选择计划 B,则通话多少时间可比选择计划 A便宜得最多？最多便宜多少钱？通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？先根据题意，分别求出 A、B两计划付费
21、金额关于通话时间的函数解析式，通过计 算它们之间的差值，再作出回答.设A、B两计划付费金额关于通话时间 x （分钟）的函数分别为 f x和g x ,依题意：50,0.4 x600 剟 x 6050 0.4x 26, x 60 ，98,0 剟 x 300g x30098 0.4x 22, x 30048,y f x0.4x72,60 易见，当0剟x60 , g x ;当 60 gx 即 0.4x 72 0 得 x 180 ；当 x 300 时，fx x .当通话时间超过180分钟，计划B比计划A更省钱.由，当 180 x, 300 时 y 0.4x 72 0,48 ； 300 时，y 48 .当
22、通话时间在300分钟以上时，计划 B比计划A便宜得最多，最多便宜 48元钱.通过以上研究，若通话时间在 180分钟以内，则选择计划 A;若通话时间超过 180分钟，则选择计划 B.（4）归纳小结（1）理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。（2）能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。（5）承上启下（1） 作业：课课练第3、4课时。（2）下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。.1.2 函数的表示法一一列表法与图象法1 知识与技能掌握函数图象的画法；了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关系，解决实际问题。通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。
