1、（y为因变量，ABC为分组因子）符号用法分隔符号，左边为响应变量，右边为解释变量eg：yA+B+C+分隔解释变量：表示变量的交互项yA+B+A:B*表示所有可能交互项yA*B*C可展开为：yA+B+C+A:B+A:C+B:C+A:B:C表示交互项达到次数y（A+B+C）2展开为：.表示包含除因变量外的所有变量若一个数据框包括变量y,A、B和C，代码y.可展开为yA+B+C常见研究设计的表达式：（小写字母表示定量变量，大写字母表示组别因子，Subject是对被试者独有的标识变量）设计表达式单因素ANOVAyA含单个协变量的单因素ANCOVAyx+A双因素ANOVAyA*B含两个协变量的双因素AN
2、COVAyx1+x2+A*B随机化区组yB+A, B为区组因子单因素组内ANOVAyA+Error（Subject/A）含单个组内因子（W）和单个组间因子（B）的重复测量ANOVAyB*W+Error（Subject/W）注意：非均衡设计时或存在协变量时，效应项的顺序对结果影响较大，越基础的效应越需要放在表达式前面，首先是协变量、然后是主效应、接着是双因素的交互项，再接着是三因素的交互项。若研究不是正交的，一定要谨慎设置效应的顺序。有三种类型的方法可以分解yA+B+A:B右边各效应对y所解释的方差：类型I（序贯型）效应根据表达式中先出现的效应做调整。A不做调整，B根据A调整，A:B交互项根据A
3、和B调整。类型II（分层型）效应根据同水平或低水平的效应做调整。A根据B调整，B依据A调整，A:B交互项同时根据A和B调整。类型III（边界型）每个效应根据模型其他各效应做相应调整。A根据B和A:B做调整，A:R默认调用类型I方法，其他软件（比如SAS和SPSS）默认调用类型III方法。car包中的Anova（）函数（不要与标准anova（）函数混淆）提供了使用类型II或类型III方法的选项，而aov（）函数使用的是类型I方法。若想使结果与其他软件（如SAS和SPSS）提供的结果保持一致，可以使用Anova（）函数。三、单因素方差分析1个因变量，1个影响因素：总差异Yij = 平均差异 + 因
4、素差异i + 随机差异ij例1 比较4种品牌的胶合板的耐磨性，各抽取5个样品，相同转速磨损相同时间测得磨损深度（mm），比较4个品牌胶合板的耐磨性有无差异？部分数据如下（ex27_ex1.Rdata）：setwd（E:/办公资料/R语言/R语言学习系列/codes）load（ex27_ex1.Rdatahead（datas） wear brand1 2.30 A2 2.32 A3 2.40 A4 2.45 A5 2.58 A6 2.35 Battach（datas）table（brand） #各组的样本数brandA B C D 5 5 5 5 aggregate（wear,by=list（b
5、rand）,mean） #各组均值 Group.1 x1 A 2.4102 B 2.4043 C 2.0464 D 2.572aggregate（wear,by=list（brand）,sd） #各组标准差1 A 0.112694282 B 0.117601023 C 0.112160604 D 0.03271085library（car）qqPlot（lm（wearbrand,data=datas）,simulate=TRUE） #用Q-Q图检验数据的正态性leveneTest（wearas.factor（brand）,data=datas） #方差齐性检验Levenes Test for
6、Homogeneity of Variance （center = median） Df F value Pr（F）group 3 0.6987 0.5664 16 fitF） brand 3 0.7398 0.24660 24.55 3.15e-06 *Residuals 16 0.1607 0.01005 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 说明：方差齐性检验，原假设H0：方差齐，p值=0.56640.05, 故接受原假设，即方差齐。单因素方差分析结果，brand是因素，Residuals是残差，各列依次为自由度、平方和、均方和、
7、F统计量，p值=3.15e-060.05, 拒绝原假设，即不同品牌的磨损（均值）有显著差别。library（gplots）plotmeans（wearbrand,xlab=品牌, ylab=磨损） #图形展示带95%置信区间的各组均值通过前面的分析知道，不同品牌的磨损（均值）有显著差别，但并不知道哪个品牌与其它品牌有显著差别。TukeyHSD（）函数提供了对各组均值差异的成对检验。TukeyHSD（fit） Tukey multiple comparisons of means 95% family-wise confidence levelFit: aov（formula = wear br
8、and, data = datas）$brand diff lwr upr p adjB-A -0.006 -0.18735345 0.1753535 0.9996826C-A -0.364 -0.54535345 -0.1826465 0.0001610D-A 0.162 -0.01935345 0.3433535 0.0886142C-B -0.358 -0.53935345 -0.1766465 0.0001929D-B 0.168 -0.01335345 0.3493535 0.0744337D-C 0.526 0.34464655 0.7073535 0.0000019说明：可以看出
9、（H0：无差异），B与A的差异非常不显著，C与A、C与B、D与C的差异非常显著。multcomp包中的glht（）函数提供了更为全面的多重均值比较方法。library（multcomp）tuk |t|） B - A = 0 -0.00600 0.06339 -0.095 0.9997 C - A = 0 -0.36400 0.06339 -5.742 0.001 *D - A = 0 0.16200 0.06339 2.556 0.0886 . C - B = 0 -0.35800 0.06339 -5.648 D - B = 0 0.16800 0.06339 2.650 0.0743 .
10、D - C = 0 0.52600 0.06339 8.298 （Adjusted p values reported - single-step method）plot（cld（tuk, level = 0.05）, col = lightgrey标记相同字母（标记b）的品牌ABD认为是无显著差异，在同一亚组，而品牌C（标记a）与另外三个品牌有显著差异。另外，也可以进行多重t检验，使用函数：pairwise.t.test（x, g, p.adjust.method=,.）其中，x为因变量，g为因子型的分组变量；p.adjust.method设置p值的修正方法，由于多次重复t检验会大大增加犯第
11、一类错误的概率，为此要进行p值的修正，使用bonferroni法修正效果较好。pairwise.t.test（wear,brand,p.adjust.method=bonferroni Pairwise comparisons using t tests with pooled SD data: wear and brand A B C B 1.00000 - - C 0.00018 0.00022 - D 0.12695 0.10474 2.1e-06P value adjustment method: bonferroni原假设H0: 无差异，可见A与B无差异，C与ABD有显著差异。最后，
12、方差分析对离群点非常敏感，检验是否有离群点：outlierTest（fit）No Studentized residuals with Bonferonni p 0.05Largest |rstudent|: rstudent unadjusted p-value Bonferonni p9 2.528103 0.023182 0.46364经检验无离群点。三、两因素方差分析1个因变量，2个影响因素：总差异Yijk = 平均差异 + 因素1差异i + 因素2差异i+ 因素1,2交互作用差异ij + 随机差异ijk例2 研究60只豚鼠的牙齿生长数据，按2种喂食方法：橙汁、维生素C，各喂食方法中抗
13、坏血酸含量都有3个水平：0.5mg、1mg、2mg，分配为6组，每组各10只，牙齿长度为因变量。做两因素方差分析。attach（ToothGrowth）head（ToothGrowth） len supp dose1 4.2 VC 0.52 11.5 VC 0.53 7.3 VC 0.54 5.8 VC 0.55 6.4 VC 0.56 10.0 VC 0.5table（supp, dose） #各组样本数相同，即为均衡设计 dosesupp 0.5 1 2 OJ 10 10 10 VC 10 10 10aggregate（len, by=list（supp, dose）, mean） #计算
14、各组均值 Group.1 Group.2 x1 OJ 0.5 13.232 VC 0.5 7.983 OJ 1.0 22.704 VC 1.0 16.775 OJ 2.0 26.066 VC 2.0 26.14aggregate（len, by=list（supp, dose）, sd） #计算各组标准差1 OJ 0.5 4.4597092 VC 0.5 2.7466343 OJ 1.0 3.9109534 VC 1.0 2.5153095 OJ 2.0 2.6550586 VC 2.0 4.797731bartlett.test（lensupp,data=ToothGrowth） #关于因素
15、supp的方差齐性检验 Bartlett test of homogeneity of variances len by suppBartletts K-squared = 1.4217, df = 1, p-value = 0.2331bartlett.test（lendose,data=ToothGrowth） #关于因素dose的方差齐性检验 len by doses K-squared = 0.66547, df = 2, p-value = 0.717fit-aov（lensupp*dose,data=ToothGrowth） #做两因素方差分析，考虑全部效应supp 1 205.4
16、 205.4 12.317 0.000894 *dose 1 2224.3 2224.3 133.415 2e-16 *supp:dose 1 88.9 88.9 5.333 0.024631 * Residuals 56 933.6 16.7 Signif.codes:可以看出，主效应supp和dose都非常显著（p值都远小于0.05），交互效应也显著（p值=0.02460.05）。若交互作用不显著，可以可以只做去掉交互效应的方差分析。图形化展示两因素方差分析的交互效应：par（mfrow=c（1,2）interaction.plot（dose, supp, len, type=b, col
17、 = c（red, blue）, pch = c（16, 18）, main=Interaction between Dose and Suppinteraction.plot（supp, dose, len, type=, col=c（Interaction between Supp and Dose有一个图的线有交叉，说明有交互作用。可以看出随着橙汁和维生素C中的抗坏血酸剂量的增加，牙齿长度变长；。对于0.5 mg和1 mg剂量，橙汁比维生素C更能促进牙齿生长；对于2 mg剂量的抗坏血酸，两种喂食方法下牙齿长度增长相同。也可以用HH包中的interaction2wt（）函数（也适合三因素方
18、差分析）来展示更全面的可视化结果：library（HH）interaction2wt（lensupp*dose）三、重复测量方差分析 重复测量方差分析，即受试者被测量不止一次。例3（1个组内1个组间因子的重复测量）在某浓度CO2的环境中，对寒带植物（来自魁北克）和非寒带植物的（来自密西西比）光合作用率进行比较。因变量uptake为CO2吸收量，自变量Type（组间因子）为植物类型，自变量conc（组内因子）为七种水平的CO2浓度。attach（CO2）head（CO2） #注意CO2是长格式的数据 Plant Type Treatment conc uptake1 Qn1 Quebec non
19、chilled 95 16.02 Qn1 Quebec nonchilled 175 30.43 Qn1 Quebec nonchilled 250 34.84 Qn1 Quebec nonchilled 350 37.25 Qn1 Quebec nonchilled 500 35.36 Qn1 Quebec nonchilled 675 39.2w1b1-subset（CO2, Treatment=chilled） #先只考虑寒带植物-aov（uptake（conc*Type）+Error（Plant/conc）, data=w1b1）Error: PlantType 1 2667.2 26
20、67.2 60.41 0.00148 *Residuals 4 176.6 44.1 Plant:concconc 1 888.6 888.6 215.46 0.000125 *conc:Type 1 239.2 239.2 58.01 0.001595 * Residuals 4 16.5 4.1 WithinResiduals 30 869 28.97 在0.01的显著水平下，主效应“类型”（p值=0.00148）和“浓度”（p值=0.000125）以及交叉效应“类型*浓度”（p值=0.001595）都非常显著。attach（w1b1）interaction.plot（conc, Type
21、, uptake, type=）, pch=c（16, 18）, main=Interaction Plot for Plant Type and Concentrationboxplot（uptakeType*conc, data=w1b1, col=（c（goldgreen）, main=Chilled Quebec and Mississippi Plants, ylab = Carbon dioxide uptake rate （umol/m2 sec）detach（w1b1）可以看出，魁北克省的植物比密西西比州的植物二氧化碳吸收率高，而且随着CO2浓度的升高，差异越来越明显。注1：重
22、复测量设计时，需要有长格式数据才能拟合模型，若是宽数据，需要用reshape2包中的melt（）函数转化为长数据；注2：这里是用的传统的重复测量方差分析，假设任意组内因子的协方差矩阵为球形，并且任意组内因子两水平间的方差之差都相等。实际中，该假设一般不满足，可以尝试：使用lme4包中的lmer（）函数拟合线性混合模型（Bates，2005）； 使用car包中的Anova（）函数调整传统检验统计量以弥补球形假设的不满足（例如Geisser-Greenhouse校正）； 使用nlme包中的gls（）函数拟合给定方差-协方差结构的广义最小二乘模型（UCLA，2009）； 用多元方差分析对重复测量数据
23、进行建模（Hand，1987）。四、多元方差分析1. 因变量不只一个的方差分析，称为多元方差分析。要求数据满足：多元正态性、方差协方差矩阵同质性（即指各组的协方差矩阵相同，通常可用Boxs M检验来评估该假设）。例4 使用MASS包中的UScereal数据集，研究美国谷物中的卡路里、脂肪、糖含量是否会因为储物架位置的不同而发生变化。自变量货架位置shelf有1, 2, 3三个水平。library（MASS）attach（UScereal）y-cbind（calories, fat, sugars）head（y） calories fat sugars1, 212.1212 3.030303 18.181822, 212.1212 3.030303 15.151513, 100.0000 0.000000 0.000004, 146.6667 2.666667 13.333335, 110.0000 0.000000 14.000006, 173.3333 2.666667 10.66667aggregate（y, by=list（shelf）, mean） Group.
