1、DE=DF 已知：如图，AB=AC E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且， EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证：BE=CF利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PCL AB于D, PEL AC于E, ?CF丄 AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？根据等腰三角形的性质寻求规律11例1.在 ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= / ACB BD与CE相交于点 0,如图，/ B0C勺大小22与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与/ A大小关系如何？33若/ 1= / A
2、BC / 2= / ACB则/ B0C与 Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中, AB=AC 一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成 15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形 ABC内的一点，连结 PA PB、PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ（1）观察并猜想 AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断 PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是
3、 3cm的两部分，则腰长为（ ）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或 8cm D 、不能确定例2、已知 AD ABC的高，AB=AC ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。例3、如图，已知 BC=3,Z ABC和/ACB的平分线相交于点 0, 0E/ AB, OF/ AC,求厶OEF的周长。例4、如图，已知等边厶 ABC中，D为AC上中点，延长 BC到E,使CE=CD连接DE试说明DB=DE例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45，则这个三角形是（A、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形例6、（ 1）等腰三角形的腰长为 10,
4、底边上的高为6,则底边的长为 。（2） 直角三角形的周长为 12cm斜边的长为5cm,则其面积为 （3） 若直角三角形三边为 1, 2，c，则c= 。2 2 2 例7、下列说法：若在 ABC中a+b工c ,则厶ABC不是直角三角形；2若 ABC是直角三角形，/ C=9d,则a2+b2=c2;3若在 ABC中，a2+b2=c2，则/ C=9d;4若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）例8正三角形 ABC所在平面内有一点 P,使得 PAB PBC PCA都是等腰三角形，则这样的 P点有（ ）（A） 1 个（B） 4 个（C） 7
5、 个（D） 10 个三巩固练习1、 已知等腰三角形的一边等于 5,另一边等于9,求它的周长。2、 在厶 ABC中，AB=AC / B=400,则/ A= 。3、 等腰三角形的一个内角是 700，则它的顶角为 。4、 有一个内角为40的等腰三角形的另外两个内角的度数为5、 如图，在 Rt ABC中，/ C= 105，直线 BD交 AC于.140D,把直角三角形沿着直线 BD翻折，点C恰好落在斜边AB上,如果 ABD是等腰三角形，那么/ A等于（A）40 （B） 30 （C） 25 （D ） 156、 若厶ABC三边分别为a、（A）等腰三角形 （B）7、 判定两个等腰三角形全等的条件可以是b、c,
6、且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, 直角三角形 （C）等腰直角三角形（则厶ABC的形状为（D）等边三角形。呢A、有一腰和一角对应相等、有两边对应相等C 、有顶角和一个底角对应相等&等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半、有两角对应相等）D 、底角的一半9、 在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5： 2,则/ A的度数是（D、75 或 100 10、 如图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且 QC= AP= AQ= BP= PQ 则/A 1250A、100 B、75 C 、150 、1300BAC=-（11、如图，A、4个CD
7、ABC中，AB= AC,B 、6 个 C、1200、90010题图 11题图12、如图，AB= AC, AE= EC, / ACE= 28,则/ B 的度数是A 、 600 B 700 C 76012题图D 45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫 P在边框AC上（端点A C除外），设甲虫 P到另外两边距离之和为 d，等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（ ）【解题方法指导】例1.已知，如图，AB= AC= CD求证：/ B= 2/ DA例2.已知，如图， ABC是等边三角形,AD/BC, AD丄 BD, BC= 6,求 AD的长。【考点指要】等腰三角形、等边三角形及含 30角的直
8、角三角形是应用非常广泛的图形 【典型例题分析】例1.如图，等腰三角形 ABC的顶角为120,腰长为10,则底边上的高 AD= 。例2.已知，如图， ABC中，/ C= 90, AB的垂直平分线交 AB于E,交AC于 D, AD= 8, / A= 30求CD的长。例3.已知，如图， ABC是等边三角形， E是AB上一点，D是AC上一点，且 AE= CD又BD与CE交于点F,试求/ BFE的度数。【综合测试】1.已知，如图， AB= AC / ABD=Z ACD 求证：DB= DC2.已知，如图， D E是BC上两点，AB= AC, AD= AE,求证：BD= CE3.已知，如图， ABC中, D
9、E/BC, AB= AC,求证：AD= AE4.已知，如图， ABC中，AB= AC D是AB上一点，E是AC延长线上一点， DE交BC于F,又BD= CE, 求证：DF= EF5.已知，如图，D是BC上一点， ABC BDE都是等边三角形，求证： AD= CE6.已知，如图， ABC中，/ B= 90 , AC的垂直平分线交 AC于D,交BC于E,又/ C= 15, EC =10,求AB的长。E、F 分别在 AB AC上，且 DEL DF,例6、如图11,在厶ABC中，/ A= 90, AB= AC D为BC边中点,AE+ AF是一个定值.证明：连接AD/ AB= AC, D为 BC中点，
10、ADL BC,/ BAC= 90, AB= AC B=Z C= 45 ,/ BAD= 45, / CAD= 45, AD= BD= CD,/ EDF= 90, EDAZ ADF= 90又由 ADL BC得Z BDEZ ADE= 90, BDE=Z ADF,在厶 BDED ADF中，Z B=Z DAF, BD= AD, Z BDE=Z ADF, BDEA ADF, BE= AF, AE+ AF= AE+ BE= AB （定值）.思考：四边形 AEDF的面积是否也是定值呢？为什么?例4、如图9,已知ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF= AC, FD= CD,你认为BE与AC之间有
11、怎样的位置关系 ？你能证明它吗？线段BE! AC,理由如下：/ AD丄 BC, / ADB=Z ADC= 90 Z FBDZ BFD= 90在 Rt BDF和 Rt ADC中 , BF= AC, FD= CD, Rt BDF Rt ADC/ BFD=Z FBDZ C= 90例5、如图10,在厶ABC中，/ ACB= 90/ BEC= 180-（Z FBDZ C = 180 90= 90,即卩 BEX AC.,AC= BC M是 AB上一点，求证： AM 2 BM 2 2CM 2.过C作CD! AB于点D,/ ACB= 90, AC= BC CD丄 AB./ A=Z B= 45, / ACD=Z
12、 BCD= 45/ A=Z ACD / B=Z BCD AD= BD, BD= CD,即 AD= BD= CD CD丄AB, DM 2 CD2 CM 2 ,请同学们试试用另外的方法来证明本题例1、如图5,在厶ABC中，AB= AC,点0在厶ABC内，OB= OC求证：AC丄BC.例3、如图7,已知在 ABC中，AB= AC, P为底边BC上任意一点，PD丄AB于点D, PEL AC于点E,求证：PD PE是一个定值.说明：本例的结论可用文字语言叙述为： 等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高基础训练：1、填空题：（1）等腰三角形中，如果底边长为6, 一腰长为8 ,那么周长是（2）如果
13、等腰三角形有一边长是6,另一边长是那么它的周长是;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是（3）等腰三角形的对称轴最多有条。2、 填空题：（1）如果 ABC是等腰三角形，那么它的边长（或周长）可以是（ ）A、三条边长分别是 5, 5, 11 B 、三条边长分别是 4, 4, 8C、周长为14,其中两边长分别是 4, 5 D、周长为24,其中两边长分别是 6, 12（2）等腰三角形一边长为 2,周长为5，那么它的腰长为（ ）A、3 B 、2 C 、1.5 D 、2 或 1.53、 已知等腰三角形的腰长是底边的 3倍，周长为35cm求等腰三角形各边的长。4、 已知：如图，AD平分/ BA
14、C AB=AC请你说明厶DBC是等腰三角形。x+2y=43x+y=7求这个三角形的各边长。（1） 等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合。（2） 等腰三角形有一个角是 120,那么其他两个角的度数是 和 。（3） ABC中，/ A=Z B=2/ C,那么/ C= 。（4） 在等腰三角形中，设底角为 x。，顶角为y。，则用含x的代数式表示y，得y=数式表示 x,得x= 。2、选择题：（1） 等腰三角形的一个外角为 140,那么底角等于（ ）A、40 B、100 C 、70 D、40 或 70（2） 等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（ ）A、顶角 B 、底角 C 、顶角的一半 D、底角的一半
15、（3）在等腰三角形 ABC中，/ A与/ B度数之比为5 : 2，则/ A的度数是（ ）A、100 C 、150 D 、75 或 100用含y的代（4）等腰三角形/ B=Z C,A、4 B 、3、如图，已知ABC中，AB=AC AD是角平分线，则“ AD丄BC,BD=DC / BAD=/ CAD中，结论正确的个数是（ ）3 C、2 DABC中, D 在 BC上, AB=AD=DC /4、如图，已知 ABC中，点 D E在BC上,AB=AC AD=AE请说明BD=CE勺理由。D E1、填空题:（1 ）在厶ABC中，/ A的相邻外角是110，要使 ABC是等腰三角形，则/ B=（2 ）在一个三角形中，等角对 ;等边对（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是（4）如图，AB=AC BD平分/ ABC 且/ C=2Z A,则图中等腰三角形共有 个。如图，在 ABC中，AB=AC / BAC=108，/ ADB=72 ,DE平分/ ADB则图中等腰三角形的个数是（ ）A、3 B3、如图，在 ABC中，/ B和/C的平分线相交于点 0,且0B=0C请说明AB=AQ的理由。4、如图，已知/ EAC ABC的外角，/ 仁/2, AD/ BC,请说明 AB=AC的理由。5、如图，AB=AC / ABD=/ ACD请你说明 AD是 BC的中垂线。
