1、然后求得，解出 然后按大小次序排列得到，2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。解 特征方程为记，则其解为，。对应于的方向余弦，应满足下列关系 （a） （b） （c）由（a）,（b）式，得，代入（c）式，得，由此求得对，代入得2.12当时，证明成立。解 由，移项之得证得第三章 习题答案3.5 取为弹性常数，是用应变不变量表示应力不变量。 解：由，可得，由，得3.6 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。解：首先求出点的位移梯度张量将它分解成对称张量和反对称张量之和转动矢量的分量为该点处微单元体的转动角度为3.7 电阻应变
2、计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图3.1所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，求该点的主应变和主方向。根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将， ，代入其中，可得则主应变有解得主应变，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为于是有，同理，可解得与轴的夹角为。3.8 物体内部一点的应变张量为试求：在方向上的正应变。根据式，则方向的正应变为3.9 已知某轴对称问题的应变分量具有的形式，又设材料是不可压缩的，求应具有什么形式？ 对轴对称情况应有，这时应变和位移之间的关系为，。应变协
3、调方程简化为，由不可压缩条件，可得可积分求得，是任意函数，再代回，可得。3.10 已知应变分量有如下形式，由应变协调方程，试导出应满足什么方程。由方程，得出必须满足双调和方程。由，得出由此得，其它三个协调方程自动满足，故对没有限制。第四章 习题答案4.3有一块宽为，高为的矩形薄板，其左边及下边受链杆支承，在右边及上边分别受均布压力和作用，见题图4.1，如不计体力，试求薄板的位移。题图4-11.设置位移函数为 （1）因为边界上没有不等于零的已知位移，所以式中的、都取为零，显然，不论式（1）中各系数取何值，它都满足左边及下边的位移边界条件，但不一定能满足应力边界条件，故只能采用瑞兹法求解。2.计算
4、形变势能。为简便起见，只取、两个系数。 （2） （3）3.确定系数和，求出位移解答。因为不计体力，且注意到，式4-14简化为 （4） （5）对式（4）右端积分时，在薄板的上下边和左边，不是，就是，故积分值为零。在右边界上有 （6）同理，式（5）右端的积分只需在薄板的上边界进行， （7）将式（3）、式（6）、式（7）分别代入式（4）、式（5）可解出和： ， （8） （9）4分析：把式（8）代入几何和物理方程可求出应力分量，不难验证这些应力分量可以满足平衡微分方程和应力边界条件，即式（8）所示位移为精确解答。在一般情况下（这是一个特殊情况），在位移表达式中只取少数几个待定系数，是不可能得到精确解答
5、的。4.4设四边固定的矩形薄板，受有平行于板面的体力作用（），坐标轴如题图4.2所示。求其应力分量。题图4-2 1本题为平面应力问题，可用瑞兹法求解。由题意知位移分量在边界上等于零，所以，所以式中的、都取为零，且将位移函数设置为如下形式：把或代入上式，因为，或，所以，位移边界条件是满足的。2把式（1）代入式（9-16），得薄板的变形势能为 （2）3. 确定系数和。由于位移分量在边界上为零，所以，方程式4-14简化为 （3）式（2）代入式（3），得 （4）由于，从式（4）的第一式得，由第二式得当和取偶数时，和都为零，当和取奇数时，和都为2。因此，当取偶数时，。当取奇数时，将和代入式（1）得位移分
6、量为4利用几何方程和物理方程，可求出应力分量（和取奇数）；4.5有一矩形薄板，三边固定，一边上的位移给定为，见题图4.3，设位移分量为，式中，为正整数，可以满足位移边界条件。使用瑞兹法求维持上述边界位移而要在处所施加的面力。题图4-31.平面应力问题时的变形势能为式其中2确定待定系数。按题意三边固定（），一边只存在而面力待求。所以， （2）将式（1）代入式（2），得当体力分量为零时，得当时，所以，此时有，而3.位移和应力解答为4.求上边界施加的面力（设），在处4.6用伽辽金法求解上例。应用瑞兹法求解上例时，形变势能的计算工作量较大。由于此问题并没有应力边界条件，故可认为上例题意所给的位移函数不
7、但满足位移边界条件，而且也满足应力边界条件，因此，可以用伽辽金法计算。对于本题，方程可以写成将上题所给的表达式代入，积分后得 当体力不计时，此时，而由下式确定：当时，即，当时，上式成为由此解出及位移分量如下：求出的位移和应力分量，以及上边界的面力，都有上例用瑞兹法求得结果相同。4.7铅直平面内的正方形薄板边上为，四边固定，见题图4.4，只受重力作用。设，试取位移表达式为用瑞兹法求解（在的表达式中，布置了因子和，因为按照问题的对称条件，应该是和的奇函数）。题图4-41位移表达式中仅取和项： （1）2由得变形势能为 （2）代入式（2），得 （3）3.确定系数和。因板四周边界上位移为零（，面力未知）
8、，板的体力分量为，所以得将式（3）代入式（4），得 （5）注意，有以下对称性：式（5）积分后成为式（6），由此可求得、和位移、应力分量： （6） （7） （8） （9）4.8用伽辽金法求解上题。1位移表达式仍取上题式（1），其两阶偏导数为（1）2.确定和。因为，所以伽辽金方程简化为 （2）将以及式（1）代入（2），得由此解出和： （3）与瑞兹法求出结果一样，由此可见，用伽辽金法计算较为简单。4.9悬臂梁自由端作用一集中力，梁的跨度为，见题图4.5，试用端兹法求梁的挠度。题图4-51.设梁的挠度曲线为 （1）此函数满足固定端的位移边界条件：，梁的总势能为由得， 代入式（1）得挠度为式（2），最大
9、挠度为式（3） （2）4.10有一长度为的简支梁，在处受集中力作用，见题图4.6，试用瑞兹法和伽辽金法求梁中点的挠度。题图4-6解一：用瑞兹法求解设满足梁端部位移边界条件的挠度函数为 （1）梁的变形能及总势能为以上级数的收敛性很好，取很少几项就能得到满意的近似解，如作用于中点（）时，跨中挠度为（只取一项）这个解与材料力学的解（）相比，仅相差1.5%。解二：用伽辽金法求解1.当对式（1）求二阶导数后知，它满足，亦即满足支承处弯矩为零的静力边界条件，因此，可采用伽辽金求解。将式（1）代入伽辽金方程，注意到，且作用在处，可得求出的挠度表达式与（2）一致。4.11图4.7所示的简支梁，梁上总荷重为，试
10、用瑞兹法求最大挠度。题图4-7设满足此梁两端位移边界条件的挠度为 （1）则总势能为，代入式（1）得梁上总荷重为，因此有4.12一端固定、另一端支承的梁，其跨度为，抗弯刚度为常数，弹簧系数为，承受分布荷载作用，见题图4.8。试用位移变分方程（或最小势能原理），导出该梁以挠度形式表示的平衡微分方程和静力边界条件。题图4-8用位移变分方程推导1.梁内总应变能的改变为2.外力总虚功为 3.由位移变分方程式得 （1）对上式左端运用分部积分得代入式（1），经整理后得由于变分的任意性，上述式子成立的条件为 （3） （4） （5）4式（3）就是以挠度表示的平衡微分方程。下面讨论边界条件，由于梁的左端为固定端，
11、因此有 （6）梁的右端为弹性支承，则有 （7）注意到式（4）能满足，而欲使式（5）成立，必须满足 （8）式（6）和式（8）即为题意所求的边界条件。5.由于最小势能原理与位移变分方程式等价的，所以，从最小势能原理出发，也能得到所求的表达式（略）。第五章 习题答案5.3矩形薄板具有固定边，简支边及自由边和，角点处有链杆支撑，板边所受荷载如题图5-1所示。试将各板边的边界条件用挠度表示。题图5-11。各边界条件如下：（2）或（3）或用挠度表示为 ， （4）（5）5.4矩形薄板的和边为简支边，和边是自由边，在点有一个向上位移，且由链杆拉住，如题图5-2所示。试证能满足一切条件（其中，为待定常数），并求
12、出挠度表达式、弯矩和反力。题图5-21.挠曲面方程为：。边界条件为边 边 2.将挠度表达式代入后，可知满足以上各式。由角的位移条件确定，从而求出挠度，内力和反力：3.分析：给定的角点的位移沿轴反向，故为负值。四个角点反力的数值虽然相同，但、的方向向上，则向下，这些反力由外界支承施加于板。5.5题图5-3所示矩形板在点受集中力作用，和两边简支，和两边自由，试求挠度、内力和反力。提示：，为任意常数。题图5-31.本题的挠曲面方程及边界条件为2.不难验证能满足以上方程和条件。有角点的补充条件可确定，进而可求出挠度、内力和反力： ， ， ，的方向向上，、则向下（沿轴正方向）5.6有一块边长分别为和的四
13、边简支矩形薄板，坐标系如题图5-4所示，受板面荷载作用，试证能满足一切条件，并求出挠度、弯矩和反力。题图5-4不难验证能满足所有简支边的边界条件，由挠曲面方程式可确定，从而求出挠度、弯矩和反力。5.7有一矩形薄板的与边是简支边，其上作用有均布弯矩，和边为自由边，其上作用有均布弯矩，若设能满足一切条件，试求出挠度、弯矩和反力。板面无横向荷载作用，坐标取题图5-5。题图5-5 将代入挠曲面方程，得弯矩、反力的表达式为由边界条件确定常数，从而求得挠度和内力：能满足。所以，能满足一切条件，其余内力和反力为零。5.8 有一四边简支矩形板，板面荷载如题图5-6所示，求该薄板的挠度。题图5-6采用纳维解法，
14、挠度表达式为荷载表达式为由式求出：式中，5.9题图5-7所示的矩形薄板，周边简支，板面无垂直均布荷载作用，只在的板边受均布弯矩作用，求板的挠度。题图5-7采用李维解法。因为板面荷载为零，故式右端积分为零，即特解为零，再考虑变形的对称性，板内挠度应是的偶函数，所以， ，则挠度表达式为2.利用的边界条件确定系数，：等式两端同乘以，对积分，且注意到三角函数的正交性，得5.10半径为的固定边圆形薄板，板面荷载为，如题图5-8.求其挠度和内力。题图5-81.板中无孔，满足挠曲面微分方程的挠度可取为 （1）式中，特解设为，代入挠曲面方程后，得 （2）2.由边界条件求得常数，进而求出挠度和内力： （3） （
15、4） （5）3.分析（1）取半径为的板中部分圆板的平衡（）也可求得：（2）若固定边圆板受荷载作用（题图5-9a），该荷载可分解成题图5-9b和题图5-9c所示两种荷载。题图5-9b的解答很容易得到，题图5-9c状态下的解答则可将代换本题的式（4）、式（5）中的而求得。题图5-9b和题图5-9c状态下的解答叠加起来便可求得题图5-9a状态下的解答，不难证明，题图5-9a情况下的挠度为题图5-95.11有一半径为的固支圆板，板中心受集中力作用，见题图5-10a，求其挠度和内力。题图5-101.这是轴对称弯曲问题，板面无均布载荷，故特解为零，则其挠度表达式为 （1）板中心无孔，挠度应是有限值，应为零
16、。该板的边界条件为 （2） （3）取半径为的部分圆板的静力平衡条件，得 （4）2由式（2）、式（3）、式（4）求得常数，进而求出挠度和内力： （5） （6）3.分析 ：题图5-10b所示固支圆板，当版中心链杆支座发生沉陷时，可以用本题的式（5）求解（其中第三项在板中心为零） （7）将代入式（5）、式（6），求得题图5-10b情况时的挠度和内力为 （8） （9）5.12有一半径为的简支圆板，板面无荷载，但在周边受均布弯矩作用，见题图5-11所示。求圆板的挠度和内力。题图5-111.因板面无荷载，板中心无孔，故特解和常数，取为零。挠度、转角、内力表达式如下： （1） （2） （3）边界条件为： （
17、4） （5）2.求出，后代回式（1）、式（2）、式（3），得第六章 习题答案6.3 在拉伸试验中，伸长率为，截面收缩率为，其中和为试件的初始横截面面积和初始长度，试证当材料体积不变时有如下关系：证明：将和的表达式代入上式，则有6.4 为了使幂强化应力-应变曲线在时能满足虎克定律，建议采用以下应力-应变关系： （1）为保证及在处连续，试确定、值。 （2）如将该曲线表示成形式，试给出的表达式。 解：（1）由在处连续，有 （a） 由在处连续，有 （b） （a）、（b）两式相除，有 （c） 由（a）式，有 （d）（2）取形式时， 当：即应力相等，有 解出得， （代入值） 6.5已知简单拉伸时的应力-应
18、变曲线如图6-1所示，并表示如下： 问当采用刚塑性模型是，应力-应变曲线应如何表 示？ 图6-1刚塑性模型不考虑弹性阶段应变，因此刚塑性应力应变曲线即为曲线，这不难由原式推得而在强化阶段，因为这时将都移到等式左边，整理之即得答案。6.6 已知简单拉伸时的曲线由（6.1）式给出，考虑横向应变与轴向应 变的比值在弹性阶段，为材料弹性时的泊松比，但进入塑性阶段后值开始增大最后趋向于。试给出的变化规律。 解：按题设在简单拉伸时总有 （a） 左边为体积变形，不论材料屈服与否，它要按弹性规律变化，即有 （b） 比较（a），（b）两式，得 将表达式代入，即可得。6.7如图所示等截面直杆，截面积为，且。在处作
19、用一个逐渐增加的力。该杆材料为线性强化弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。求左端反力和力的关系。 解：（1）弹性阶段基本方程：平衡方程 （a） 几何方程 （b） 本构方程 （c）联立求出 显然，段先屈服，取，得 ，当时，值如上述表达式。 （2）弹塑性阶段（a段塑性，b段弹性）平衡方程和几何方程仍为（a）、 （b）式。本构方程： 且设将本构方程代入几何方程：即 两侧同乘面积，并利用平衡方程（a），得解出 令，则得 （e）本阶段结束时，由几何方程 且 利用平衡方程 （f） 当时，为（e）式。 （3）塑性阶段 平衡方程和几何方程同上。本构方程 （g）与（2）弹塑性阶段同样步骤：可得6.8 如图所示等截面直杆，截面积为，且。该杆材料为理想弹塑性，拉伸和压缩时性能相同。按加载过程分析结构所处不同状态，并求力作用截面的位移与的关系。 解：基本方程为平衡方程 （a） 几何方程 （b） 本构方程 （1）弹性阶段 由前题知， 因，故。截面位移 本阶段终止时， （2） 弹塑性阶段（） 此时， 截面位移由段变形控制： 且本阶段终止时， （3）塑性阶段（） 无限位移（为不定值）。 （4）图线斜率比较： 段： 6.9 如图所示三杆桁架，若，杆件截面积均为，理想弹塑性材料。加载时保持并从零开始增加，求三杆内力随的变化规律
