1、东南大学算法复习题什么是基本运算？答：基本运算是解决问题时占支配地位的运算（一般1种，偶尔两种）；讨论一个算法优劣时，只讨论基本运算的执行次数。什么是算法的时间复杂性（度）？答：算法的时间复杂性（度）是指用输入规模的某个函数来表示算法的基本运算量。T(n)=4n3什么是算法的渐近时间复杂性？答：当输入规模趋向于极限情形时（相当大）的时间复杂性。表示渐进时间复杂性的三个记号的具体定义是什么？ 答：1. T(n)= O(f(n)：若存在c 0，和正整数n01，使得当nn0时， 总有 T(n)c*f(n)。 （给出了算法时间复杂度的上界，不可能比c*f(n)更大） 2. T(n)=(f(n)：若存在
2、c 0，和正整数n01，使得当nn0时， 存在无穷多个n ，使得T(n)c*f(n)成立。（给出了算法时间复杂度的下界，复杂度不可能比c*f(n)更小） 3. T(n)= (f(n)：若存在c1,c20，和正整数n01，使得当nn0时， 总有 T(n)c1*f(n)， 且有无穷多个n，使得T(n)c2*f(n)成立， 即：T(n)= O(f(n)与T(n)=(f(n)都成立。（既给出了算法时间复杂度的上界，也给出了下界）什么是最坏情况时间复杂性？什么是平均情况时间复杂性？答：最坏情况时间复杂性是规模为n的所有输入中，基本运算执行次数为最多的时间复杂性。 平均情况时间复杂性是规模为n的所有输入的
3、算法时间复杂度的平均值 （一般均假设每种输入情况以等概率出现）。一般认为什么是算法？什么是计算过程？答：一般认为，算法是由若干条指令组成的有穷序列，有五个特性a.确定性（无二义）b.能行性（每条指令能够执行）c.输入 d.输出 e.有穷性（每条指令执行的次数有穷）只满足前4条而不满足第5条的有穷指令序列通常称之为计算过程。算法研究有哪几个主要步骤？主要从哪几个方面评价算法？答：算法研究的主要步骤是1)设计2）表示 3）确认，合法输入和不合法输入的处理 4）分析 5）测试 评价算法的标准有1）正确性 2）健壮性 3）简单性 4）高效性 5）最优性关于多项式时间与指数时间有什么样的结论？答：1.
4、多项式时间的算法互相之间虽有差距，一般可以接受。 2. 指数量级时间的算法对于较大的n无实用价值。 什么是相互独立的函数序列？何时称函数项k(x)能被其它函数项线性表出？答：设0(x), 1(x), 2(x), . ,n(x), .是某一数域上的函数序列， （x的值以及k(x)（k=0,1,2, ）的值都在同一个数域中） 任取k(x)（k=0,1,2, ），不存在数域中的数1，2，p，使得k (x) = 1i1(x) + 2i2 (x) + + pip (x) ，即任何一个函数项k(x)不能被其它函数项线性表出。根据特征根的情况，常系数线性递归方程的解有哪几种不同的形式？答：1.若方程(*)恰
5、有r个互不相同的特征根1，2，r (即ij时有ij)，则齐次方程(*)的解为 anA1+ A2+ +Ar(齐通解，即齐次方程的通解) （A1Ar为待定系数，可由r个连续的边界条件唯一确定） 2若1，2是(*)方程的一对共扼复数根和， eiei.则这两个根对应的解的部分为Ancos(n)+Bnsin(n) (A,B为实的待定系数)3若是(*)方程的k重根，则对应的解的部分为 C1n+ C2 nn+ C3 n2n+ +Ck nk-1n (C1Ck为待定常数)4若(*)方程中的f(n)0(非齐次)，且q(n)是(*)的一个解， 则(*)方程的解为： (*)的齐通解（含有待定系数）+ q(n) （非齐
6、特解）， （齐通解中的待定系数由边界条件唯一确定）求和中的通项与积分中的被积函数之间有什么样的关系？答：求和中的通项的表达形式一般就是被积函数，一般用放缩的方法求得通项得上下界。主定理的内容是什么？根据主定理的结论，可以获得哪些关于算法改进的启示？答：T(n)=a*T(n/b)+f(n) 1) 若有 0, 使f(n)=O() (即f(n)的量级多项式地小于的量级), 则T(n)= ()。 2) 若f(n)= () (即f(n)的量级等于的量级), 则T(n) =()。 3) 若f(n)= (), 则T(n)=( )3) 若有0, 使f(n)=() +)(aLogbn(即f(n)的量级多项式地大
7、于的量级), 且满足正规性条件： abLogn存在常数c2时，可以把n个数据元素分为大致相等的两半， 一半有n/2个数据元素，而另一半有n/2个数据元素。 先分别找出各自组中的最大元和最小元，然后 将两个最大元进行比较，就可得n个元素的最大元； 将两个最小元进行比较，就可得n个元素的最小元。求最大、最小元算法的时间复杂度（比较次数）下界是多少？分治算法在什么情况下可以达到下界？答：在规模为n的数据元素集合中找出最大元和最小元， 至少需要3n/2-2次比较，即3n/2-2是找最大最小元算法的下界。当n=2k,或当n2k时，若n是若干2的整数幂之和，（e.g. 42=32+8+2）， 则算法的时间
8、复杂度仍可达到3n/2-2。如何用分治法求两个n位二进制数x和y的乘积？算法的时间复杂度是多少？答：若n=2k，则x可表为a2n/2+b，y可表为c2n/2+d (如图), 其中a, b, c, d均为n/2位二进制数。 于是x*y= (a2n/2+b) (c2n/2+d) = ac2n + (ad+bc)2n/2 + bd，计算式ac2n + (ad+bc)2n/2 + bd中的ad+bc可写为： 而(ad+bc)= (a+b) (d+c) - ac - bd, 因此在ac和bd计算出之后， 只要再做4次加减法，一次（n/2位数的）乘法就可以计算出ad+bc。 而原来计算(ad+bc)需要做
9、2次乘法、一次加法； 新的计算公式比原方法少做了一次乘法。T(n)=3T(n/2) + (n)，即a=3, b=2, f(n)=(n)。 此时有：= = naLogbn32Logn1.59，并仍有f(n)=O()， )(aLogbn于是有T(n)= (n1.59)，比(n2)要好不少。用200字概括Select（求第k小元）算法的主要思路。答：1.若S50，则采用堆排序的方法找出第k小的元素2.将n个元素分成n/5组，每组5个元素3.对每个5元组进行排序，全部5元组排序后，从每组中取出第3个元素（中间元）得到一个长为n/5的数组M 4.递归调用Select(|M|/2,M)，即在M数组中找到第
10、|M|/2小的数（中位数），记为m 5.依次扫描整个数组S，此项工作所需时间为O(n)。 当sim时将si放入数组S3； 在得到的3个集合中，S1中的数均小于m； S2中的数均等于m；S3中的数均大于m。 6. 按照k值大小，共可分成下列三种情况（注意S2至少有一个元素m）： k|S1|；|S1|S1|+|S2|。 下面针对这三种情况分别进行讨论。 6.a：若k|S1|，则第k小元素必定在S1中。 此时递归调用Select（k,S1），就可以获得第k小元素。 因大于等于m的数据元素至少有3n/10-6个， 而S1中的数均小于m，故S1中的数据元素至多有7n/10+6个， 即|S1|7n/10+
11、6。因此，调用Select（k,S1）的 时间复杂度不超过T(7n/10+6)。 6.b：若|S1|S1|+|S2|，则第k小元素必定大于m，因此在S3中。 而且此时该元素在S3中应为第k-|S1|-|S2|小的元素。 于是递归调用Select（k-|S1|-|S2|, S3）， 就可以获得S中的第k小元素。 因小于等于m的数据元素至少有3n/10-6个1的情况下，T(n)分别为什么？1及p+q时间复杂度为T(n)=T(p*n)+T(q*n)+a*n时，在p+q答：T(n)a*n*k=0(p+q)k矩阵相乘算法目前最好的时间复杂度是多少？答：目前矩阵乘法最好的时间复杂度是能做到O（n2.376
12、）叙述Strassen矩阵相乘算法的主要思路和意义。答：把矩阵A，B分成4个规模为n/2的子矩阵快C11=A11B11+A12B21, C12=A11B12+A12C21=A21B11+A22B21, C22=A21B12+A22B22同时引入下列Mi(i=1,2.7) 则计算两个n阶矩阵的乘法为7对n/2阶矩阵的乘法(时间为7T(n/2),以及18对n/2阶矩阵的加减法则递归方程为T(n)=7T(n/2)+ (n2),由主定理得T(n)= (n2.81). Strassen矩阵相乘算法意义在于打破了人们认为矩阵乘法得时间复杂度为（n3）得固定看法。试用200300字概述寻找最近点对算法的主要
13、步骤。该算法中有哪几点最为关键？该算法是否可改进？答：主程序算法： 读入n个点的坐标，这n个点的x坐标和y坐标 分别放在X，Y两个数组中，然后进行预处理： 对X数组中的n个x坐标值按从小到大的次序进行排序， 排序过程中保持x坐标和y坐标的对应关系：若Xi与Xj对换位置，则Yi与Yj也做相同的对换。 另外，若两个点的x坐标相同，则y坐标值小的排前。 X数组排好之后就固定了，以后不再改变， 以便在O(1)时间对其实现分拆。（排序时间为(n log n)） 将数组IND初始化为：INDi=i（i=1,2,n）。 数组IND即是用来保持x坐标和y坐标的对应关系的机制， INDi记录的是 其y坐标值为Y
14、i的点所对应的x坐标在X数组中的下标。 对Y数组中的n个y坐标值按从小到大的次序进行排序， 排序过程中保持y坐标和x坐标的对应关系： 若Yi与Yj对换位置，则IND i与IND j也做相同的对换。 这样，当给了一个点的y坐标Yi之后， 就可以在O(1)时间找到其对应的x坐标： Yi与XIND i就是该点的y坐标和x坐标。调用子程序FCPP(1,n,X,Y,IND,p,q) 就可求得n个点中的最近点对(p,q)和最小距离。 子程序FCPP的主要执行过程： 首先看当前处理的点数。若不超过3个点，就直接进行相互比较。 若超过3个点，则把点的y坐标分为两部分：左边和右边。然后进行分治，求得两边的L和R
15、，从而求得。 求出分割线，扫描当前的所有点，把落到2带状区域内的点找出来， 并使这些点的y坐标仍然保持从小到大的次序。 对落到2带状区域内的每一个点检查其后面的7个点， 若有距离更近的点对，则把最小距离（及最近点对(p,q)）更新， 执行完毕时，最小距离及最近点对(p,q)就得到了。子程序FCPP(j,k,X,Ypres,INDpres,p,q)中的参数说明： X数组存放已排好序的n个点的x坐标。 j,k为当前处理的X数组一段中的最小和最大下标。 Ypres数组存放当前处理的k-j+1个点的y坐标 （已按从小到大的次序排好）。 INDpres数组的长度也是k-j+1，INDpresi记录了其y
16、坐标值 为Ypres i的点的x坐标在X数组中的下标值。 ,p,q均为返回值， 给出当前处理的k-j+1个点中的最小距离和最近点对(p,q)。算法中的几个关键点：分割线的寻找和最小距离相关的比较次数的判定算法可以优化：比如对p点之后的7个点检查时未考虑两点均属同一侧的情况可以考虑减小比较次数。做DFT时，是否总假定有n=2m？答：是个，总有n=2m什么是快速傅立叶变换（FFT）？如何用FFT来计算2个多项式的乘积？答: 能在(nlogn)时间里完成DFT的算法就称为FFT.给了2个多项式的系数向量a和b之后，若其系数不是2的幂次，则将a和b的规模扩大（向量最后加若干个0）使得n=2m.然后把这
17、两个向量维数再扩大一倍，得到两个维数为2n的向量。分别对2个向量做DFT，所得到两个向量进行点乘，再对结果做2n阶的DFT-1,即可求得2多项式相乘后的多项式系数c什么是平衡？分治法与平衡有着什么样的关系？答：在使用分治法和递归时，要尽量把问题分成规模相等，或至少是规模相近的子问题，这样才能提高算法的效率。使子问题规模尽量接近的做法，就是所谓的平衡。分治法与动态规划法之间的相同点是什么？不同之处在哪些方面？答：与分治法类似，动态规划法 也是把问题一层一层地分解为规模逐渐减小的同类型的子问题。 动态规划法与分治法的一个重要的不同点在于，用分治法分解后得到的子问题通常都是相互独立的， 而用动态规划
18、法分解后得到的子问题很多都是重复的。因此，对重复出现的子问题，只是在第一次遇到时才进行计算，然后把计算所得的结果保存起来；当再次遇到该子问题时，就直接引用已保存的结果，而不再重新求解。 简述求矩阵连乘最少乘法次数的动态规划算法（不超过300字）答：按照做最后一次乘法的位置进行划分， 该矩阵连乘一共可分为j-i种情况即有(j-i)种断开方式： Mi(Mi+1Mj)，(MiMi+1)(Mi+2Mj)，(MiMi+1Mj-1)Mj。 其中任一对括号内的矩阵个数（即规模）不超过j-i。由于在此之前我们已知 任一个规模不超过j-i的矩阵连乘所需的最少乘法次数， 故(MiMk)和(Mk+1Mj)所需的最少
19、乘法次数已知， 将它们分别记之为mik和mk+1,j。 于是，形为(MiMk)(Mk+1Mj)的矩阵连乘所需的最少乘法次数为：mik+mk+1,j+ri-1rkrj。 此式中的所有参加运算的数均已知， 故此式在O(1)时间里即可完成计算。 对满足ikj 的共j-i种情况逐一进行比较，我们就可以得到矩阵连乘MiMi+1Mj-1Mj（ij）所需的最少乘法次数mij为：mij=min（ikj）mik+mk+1,j+ri-1rkrj，（*） 其计算可在O(j-i) 时间里完成。于是在初始时我们定义mii=0（相当于单个矩阵的情况）， 然后首先求出计算M1M2, M2M3, , Mn-1Mn 所需的乘法
20、次数mi,i+1(i=1,2,n-1), 具体数值为ri-1riri+1, 因mii= m i+1, i+1=0； 再利用这些结果和（*）式，就可以求出 计算M1M2M3, M2M3 M4, , Mn-2Mn-1Mn 所需的最少乘法次数mi,i+2(i=1,2,n-2)。 同理，可依次算出mi,i+3(i=1,2,n-3)，mi,i+4(i=1,2,n-4)， 直至算出m1,n即M1M2Mn-1Mn矩阵连乘所需的最少乘法次数。能够用动态规划法求解的问题通常具有什么样的特征？答：若一个问题可以分解为若干个高度重复的子问题， 且问题也具有最优子结构性质，就可以用动态规划法求解： 以递推的方式逐层计
21、算最优值并记录必要的信息， 最后根据记录的信息构造最优解。什么是最长公共子序列问题？在求LCS的算法中，Ci,j是如何计算的？为什么需要这样计算？答：若ZX，Z0且xi=yiCI,j=maxCi-1,j,Ci,j-1 若i,j0且xi!=yi二维数组C，用Ci,j记录Xi与Yj的LCS的长度 如果我们是自底向上进行递推计算，那么在计算Ci,j之前， Ci-1,j-1, Ci-1,j与Ci,j-1均已计算出来。此时我们 根据Xi=Yj还是XiYj，就可以计算出Ci,j。 计算的理由：求LCS(Xm-1，Y)的长度与LCS(X，Yn-1)的长度 这两个问题不是相互独立的： 两者都要求LCS(Xm-
22、1，Yn-1)的长度, 因而具有重叠性。 另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS， 故问题具有最优子结构性质 考虑用动态规划法。用200300字概述求最优二分搜索树算法的主要步骤。算法中有哪几点最为关键？答：记cij是最优子树Tij的耗费， 则ci,k-1是最优子树Ti,k-1的耗费，ck,j是最优子树Tk,j的耗费。 考察以ak (i+1kj)为根、由结点bi，ai+1，bi+1，aj，bj构成的、 耗费最小的树的总耗费：该树的左子树必然是Ti,k-1，右子树必然是Tk,j。 这棵树的总耗费可分为三部分：左子树、右子树和根。 由于Ti,k-1作为左子树接到结点ak之下时，其耗费增
23、加wi,k-1， 故左子树的耗费为：ci,k-1+ wi,k-1， 同理，右子树的耗费为：ck,j+wk,j， 由于根ak的深度为0，按定义，根的耗费为pk。 因此，以ak 为根、耗费最小的树的总耗费为：ci,k-1+ wi,k-1+ckj+wk,j+pk。 注意到，wi,k-1=qi+pi+1+qi+1+pk-1+qk-1， wk,j=qk+pk+1+qk+1+pj+qj， 从而有wi,k-1+wkj+pk = qi+pi+1+qi+1+pk-1+qk-1+ pk +qk+pk+1+qk+1+pj+qj = wij。 由此得到以ak 为根、耗费最小的树的总耗费为：ci,k-1+ckj+wi,
24、j由于pi（i=1,2,n）, qj（j=0,1,2,n）在初始时已经知道， 若wi,j-1已知，则根据wi,j= wi,j-1+pj + qj可以计算出wij。 故当ci,k-1与ckj已知时，以ak 为根的树的最小总耗费 在O(1)时间就可以计算出来。 分别计算以ai+1，ai+2，aj为根、 含有结点bi，ai+1，bi+1，aj，bj的树的最小总耗费， 从中选出耗费最小的树，此即最优子树Tij。 因此，最优子树Tij的耗费cij=cminj k i j k i i,k-1+ckj+wij。 递推求cij及记录Tij的根的算法本算法的关键点：分析出最优二分搜索树具有最优子结构；在计算中规
25、模较小的最优子树在计算中要被多次用到。Cij和Wij都是可以通过前面的计算递推得出的。有了Tij的根的序号后，如何构造出最优二分搜索树？答：设Tij的根为ak (rij记录到的值是k)，则从根开始建结点。 Build-tree(i,j,r,A) /*建立最优子树Tij*/ If ij return nill; pointernewnode(nodetype); krij; /*必有i m j*/ pointervalueAk; /*Ak即ak*/ pointerleftsonBuildtree(i,k-1,r,A); /*建立最优左子树Ti,k-1*/ pointerrightsonBuild
26、ertree(k,j,r,A); /*建立最优右子树Tk,j*/ return pointer; Francis Yao的办法为什么会把算法时间复杂度从O(n3)降到O(n2)？答：Th: 如果最小耗费树Ti,j-1和Ti+1,j的根分别为ap和aq，则必有 pq 最小耗费树Tij的根ak满足pkq。 （证明略。）有了上述定理，我们无需在ai+1aj之间去一一尝试，使得找到的ak为根时，ci,k-1+ckj+wij为最小，而只要从apaq之间去找一个根即可。算法时间复杂度为(n2)的证明： 首先注意Ti,j-1和Ti+1,j的规模恰好比Ti,j小1。由于算法是按树中结点的个数（即规模）从小到大
27、计算的，故在计算rij时，ri,j-1（即定理中的p）和ri+1,j（即定理中的q） 都已经计算出来了。一般地，设含有k个连续结点的最优二分搜索子树的根 r0k，r1(k+1)，r(n-k),n已经计算出来。由Th知， 含有k+1个连续结点的最优二分搜索子树Ti, i+k+1的根 必在ri,i+k与ri+1,i+k+1之间。 故r0,k+1在r0,k与r1,k+1之间, 求出r0,k+1的搜索区间长度为r1,k+1-r0,k； r1,k+2在r1,k+1与r2,k+2之间，求出r1,k+2的搜索区间长度r2,k+2 -r1,k+1； r2,k+3在r2,k+2与r3,k+3之间，求出r2,k+3的搜索区间长度r3,k+3 -r2,k+2； r(n-k-1),n在r(n-k-1),n-1与r(n-k),n之间， 求出r(n-k-1),n的搜索区间长度为r(n-k)
