1、BMEBMN（SAS）。ME=MN。CM+MN=CM+MECE。又CM+MN有最小值，当CE是点C到直线AB的距离时，CE取最小值。BC=，ABC=45，CE的最小值为sin450=4。CM+MN的最小值是4。例3.（2011四川凉山5分）如图，圆柱底面半径为，高为，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为。【答案】。【考点】圆柱的展开，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图，圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线，第一条斜线与底面圆周长、高组成直角三角形。由周长公式，底面圆周长为，高为，根据勾股定理，得斜线长为，根据平行四边形的
2、性质，棉线最短为。例4.（2012四川眉山3分）在ABC中，AB5，AC3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是【答案】1AD4。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形三边关系。【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE根据SAS证明ABDECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE。BD=CD，ADB=EDC，AD=DE，ABDECD（SAS）。CE=AB。在ACE中，CEACAECEAC，即22AD8。1AD4。练习题：1.（2011湖北荆门3分）如图，长方体的底面边长分别为2和4，高为5.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点
3、，则蚂蚁爬行的最短路径长为【】A.132.（2011四川广安3分）如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是【】A、B、5cmC、D、7cm3.（2011广西贵港2分）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则BPG的周长的最小值是_二、应用垂线段最短的性质求最值：例1.（2012山东莱芜4分）在ABC中，ABAC5，BC6若点P在边AC上移动，则BP的最小值是【考点】动点问题，垂直线段的性质，勾股定
4、理。【分析】如图，根据垂直线段最短的性质，当BPAC时，BP取得最小值。设AP=x，则由ABAC5得CP=5x，又BC6，在RtABP和RtCBP中应用勾股定理，得，即，解得。，即BP的最小值是。例2.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，A=120，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】A1BC2D1【答案】B。【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分两步分析：（1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1
5、Q，交BD于点K1。由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得P1K1=PK1，P1K=PK。由三角形两边之和大于第三边的性质，得P1KQKP1Q=P1K1QK1=PK1QK1。此时的K1就是使PK+QK最小的位置。（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1QAB时P1Q最短。过点A作AQ1DC于点Q1。A=120，DAQ1=30又AD=AB=2，P1Q=AQ1=ADcos300=。综上所述，PK+QK的最小值为。故选B。例3.（2012江苏连云港12
6、分）已知梯形ABCD，ADBC，ABBC，AD1，AB2，BC3，问题1：如图1，P为AB边上的一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？问题2：如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由问题3：若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DEPD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？问题4：如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AEnPA（n为常数），以PE、PB为边作平行四边形PBQE，请探究对角
7、线PQ的长是否也存在最小值？【答案】解：对角线PQ与DC不可能相等。理由如下：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，DPC90AD1，AB2，BC3，DC2。设PBx，则AP2x，在RtDPC中，PD2PC2DC2，即x232（2x）2128，化简得x22x30，（2）241380，方程无解。不存在PBx，使DPC90对角线PQ与DC不可能相等。存在。如图2，在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，则G是DC的中点。过点Q作QHBC，交BC的延长线于H。ADBC，ADCDCH，即ADPPDGDCQQCH。PDCQ，PDCDCQ。ADPQCH。
8、又PDCQ，RtADPRtHCQ（AAS）。ADHC。AD1，BC3，BH4，当PQAB时，PQ的长最小，即为4。如图3，设PQ与DC相交于点G，PECQ，PDDE，。G是DC上一定点。作QHBC，交BC的延长线于H，同理可证ADPQCH，RtADPRtHCQ。AD1，CH2。BHBGCH325。当PQAB时，PQ的长最小，即为5。如图3，设PQ与AB相交于点G，PEBQ，AEnPA，。作QHPE，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K。ADBC，ABBC，DQHC，DAPPAGQBHQBG90PAGQBG，QBHPAD。ADPBHQ，AD1，BHn1。CHBHBC3n1n4
9、。过点D作DMBC于M，则四边形ABND是矩形。BMAD1，DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45KCH45CKCHcos45（n4），当PQCD时，PQ的长最小，最小值为（n4）。【考点】反证法，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形、矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】问题1：四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，然后利用矩形的性质，设PBx，可得方程x232（2x）218，由判别式0，可知此方程无实数根，即对角线PQ，DC的长不可能相等。在平行四边形PCQD中，设对角线P
10、Q与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QHBC，交BC的延长线于H，易证得RtADPRtHCQ，即可求得BH4，则可得当PQAB时，PQ的长最小，即为4。设PQ与DC相交于点G，PECQ，PDDE，可得，易证得RtADPRtHCQ，继而求得BH的长，即可求得答案。作QHPE，交CB的延长线于H，过点C作CKCD，交QH的延长线于K，易证得与ADPBHQ，又由DCB45，可得CKH是等腰直角三角形，继而可求得CK的值，即可求得答案。例4.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.（0，0）B.（，）C.（，）D.（，
11、）例5.（2012四川乐山3分）如图，在ABC中，C=90，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是【】A1个B2个C3个D4个【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接CD（如图1）。ABC是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADECDF（SAS）。E
12、D=DF，CDF=EDA。ADE+EDC=90，EDC+CDF=EDF=90DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。当E、F分别为AC、BC中点时，由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。四边形CEDF是平行四边形。又E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，四边形CEDF是菱形。又C=90，四边形CEDF是正方形。故此结论错误。如图2，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，由，知四边形CMDN是正方形，DM=DN。由，知DFE是等腰直角三角形，DE=DF。RtADERtCDF（HL）。由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化
13、。由，DEF是等腰直角三角形，DE=EF。当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。故正确的有2个：。例6.（2012四川成都4分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步：如图，在线段AD上任意取一点E，沿EB，EC剪下一个三角形纸片EBC（余下部分不再使用）；第二步：如图，沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分，并在线段GH上任意取一点M，线段BC上任意取一点N，沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分；第三步：如图，将MN左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180，使线段GB与GE重合，将MN右侧纸片绕H点按逆
14、时针方向旋转180，使线段HC与HE重合，拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为cm，最大值为cm【答案】20；12+。【考点】图形的剪拼，矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理。【分析】画出第三步剪拼之后的四边形M1N1N2M2的示意图，如答图1所示。图中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位线定理）。又M1M2N1N2，四边形M1N1N2M2是一个平行四边形，其周长为2N1N2+2M1N1=2BC+2MN。BC=6为定值
15、，四边形的周长取决于MN的大小。如答图2所示，是剪拼之前的完整示意图。过G、H点作BC边的平行线，分别交AB、CD于P点、Q点，则四边形PBCQ是一个矩形，这个矩形是矩形ABCD的一半。M是线段PQ上的任意一点，N是线段BC上的任意一点，根据垂线段最短，得到MN的最小值为PQ与BC平行线之间的距离，即MN最小值为4；而MN的最大值等于矩形对角线的长度，即。四边形M1N1N2M2的周长=2BC+2MN=12+2MN，四边形M1N1N2M2周长的最小值为12+24=20；最大值为12+2=12+。例7.（2012四川乐山3分）如图，在ABC中，C=90例8.（2012浙江宁波3分）如图，ABC中，
16、BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H。在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsi
17、nEOH=1由垂径定理可知EF=2EH=。例9.（2012四川自贡12分）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动，且E、F不与BCD重合（1）证明不论E、F在BCCD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BCCD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值（1）证明：如图，连接AC四边形ABCD为菱形，BAD=120BAE+EAC=60，FAC+EAC=60BAE=FAC。BAD=120，ABF=60ABC和ACD为等边三角形。ACF=60，AC=
18、AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中，BAE=FAC，AB=AC，ABE=AFC，ABEACF（ASA）。BE=CF。（2）四边形AECF的面积不变，CEF的面积发生变化。由（1）得ABEACF，则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作AHBC于H点，则BH=2，由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，又SCEF=S四边形AECFSAEF，则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值
19、是。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质。【分析】（1）先求证AB=AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得ACF=60，AC=AB，从而求证ABEACF，即可求得BE=CF。（2）由ABEACF可得SABE=SACF，故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据SCEF=S四边形AECFSAEF，则CEF的面积就会最大。例10.（2012浙江
20、义乌10分）在锐角ABC中，AB=4，BC=5，ACB=45，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若ABA1的面积为4，求CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值（1）由旋转的性质可得：A1C1B=ACB=45，BC=BC1，CC1B=C1CB=45CC1A1=CC1B+A1C1B=45+45=90（2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1，BA=BA1，BC=BC
21、1，ABC=A1BC1。，ABC+ABC1=A1BC1+ABC1。ABA1=CBC1。ABA1CBC1。SABA1=4，SCBC1=。（3）过点B作BDAC，D为垂足，ABC为锐角三角形，点D在线段AC上。在RtBCD中，BD=BCsin45=。如图1，当P在AC上运动至垂足点D，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小。最小值为：EP1=BP1BE=BDBE=2。如图2，当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大。最大值为：EP1=BC+BE=5+2=7。【考点】旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相
22、似三角形的判定和性质。（1）由旋转的性质可得：，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得CC1A1的度数。（2）由旋转的性质可得：ABCA1BC1，易证得ABA1CBC1，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CBC1的面积。（3）由当P在AC上运动至垂足点D，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；当P在AC上运动至点C，ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值。例11.（2012福建南平14分）如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1=B=C（1）由题设条
23、件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：结论三：（2）若B=45，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）（1）AB=AC；AED=ADC；ADEACD。（2）B=C，B=45，ACB为等腰直角三角形。1=C，DAE=CAD，ADEACD。AD：AC=AE：AD，。当AD最小时，AE最小，此时ADBC，AD=BC=1。AE的最小值为。CE的最大值=。当AD=AE时，1=AED=45，DAE=90点D与B重合，不合题意舍去。当EA=ED时，如图1，EAD=1=45AD平分BAC，AD垂直平分BC。BD=1。当DA=DE时，如图2，ADEACD，DA：AC=DE：DC。DC
