1、求点C到平面APB的距离.20.如图所示，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，（1）求AC与AiD所成角的大小；若E , F分别为AB , AD的中点，求AiCi与EF所成角的大小.6立体几何 单元复习卷（二）到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为 （ ）如图，平面 al平面B, PAB所在的平面与 a, B分别交于 CD, AB ,若PC= 2 ,23.在三棱锥 P-ABC中，PB = 6 , AC = 3 , G PAC的重心，过点 G作三棱锥的一个截面，使截面平行于 PB和AC ,则截面的周长为 .24.已知m.n是两条不同的直线,a , B, 丫是三个不同的平面，下列命题中正确的
2、是B.若 m l a , m/B,则（ ）A .若 m l a ,C .若 a丄yD .若m丄a , n丄a,贝U m l n25.已知m，a,B为两个不同的平面，则下列四个命题中正确A .若m丄a,的是（ ）B .若 m la , n lB , m n ,贝 U al BC .若m丄a,n l B,26.如图，在直三棱柱m n ,贝UABC-Aall中,D .若 m a, n l B, al ABC是边长为2的等边三角形，AA = 4,分别是边 AA , AB , BB , A ,BC的中点，动点P在四边形 EFGH内部运动，并且始终有ACC A,则动点P的轨迹长度为C. 2.：3D. 42
3、7.设m, n是两条不同的直线,a, B是两个不同的平面，下列命题中正确的是MP /平面A .若m? B, a丄B,贝U m丄aB .若 m 丄 a, ml n , n l B,贝 U a 丄C.若 mln , m? a, n? B,则a丄 B D .若 al B , m? B,贝U m l n28 .在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,平面a与棱AB , AC , A1C1, A1B1分别交于点 E ,G , H,且直线AA1l平面a有下列三个命题：四边形 EFGH是平行四边形；平面平面BCC1B1;平面a丄平面BCFE .其中正确命题的序号是 .29.如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C
4、1中，侧棱长为2 , AC = BC = 1 , / ACBF ,cJ/T P jr i1A=90, D是AiBi的中点，F是BBi上的动点，ABi, DF交于点E.要使AB 1丄平面CiDF , 则线段BiF的长为（ ）A. 2B.CD.30.如图，在Rt ABC中，/厶 ABC = 902P ABC所在平面外一点，PA丄平面ABC，则四面体P -ABC中直角三角形的个数为（31.如图，在正方形 ABCD中，E , F分别是 BC, CD的中点, 是EF的中点，现在沿 AE , AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,B, C, D三点重合，重合后的点记为 H ,A . AG丄平面EFHC
5、. HF丄平面AEFHj4AH丄平面EFH那么，在这个空间图形中必有 （ ）HG丄平面AEF32.如图，PA丄O O所在平面，AB是O O的直径，C是O O上一点,AE丄PC, AF丄PB,给出下列结论： AE丄BC :EF丄PB :AF丄BC;AE丄平面PBC，其中真命题的序号是33.如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边 形，M , N , G分别是AB , AD , EF的中点，求证：（1）BE /平面 DMF ;平面BDE /平面MNG .34.（2017江苏高考）如图，在三棱锥 A-BCD中，AB丄AD , BC丄BD，平面 ABD丄平面SD丄平面ABC ;若AB = BC,
6、求证：BD丄平面SAC.36.如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA丄 AB, PA 丄 BC, AB 丄 BC , PA= AB = BC = 2, D 为线段AC的中点，E为线段PC上一点.求证：PA丄BD ;（2）求证：平面 BDE丄平面PAC;（3）当PA /平面BDE时，求三棱锥 E-BCD的体积.37.如图1,在边长为1的等边三角形 ABC中，D, E分别是AB , AC边上的点，AD =AE , F是BC的中点，AF与DE交于点G ,将厶ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱 锥A-BCF，其中BC = 平.当AD = 3时，求三棱锥F-DEG的体积.解析：选C 截面是任意的且都是
7、圆面，则该几何体为球体.不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边 形，但不一定全等；正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧 面构成的三个平面的二面角都是直二面角； 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；正确，如图，正方体ABCD-AiBiCiDi中的三棱锥 Ci-ABC，四个面都是直角三角形.答案：3 .已知正三角形 ABC的边长为 2，那么 ABC的直观图厶 A Ly 一A 08 J囲图严4cm.S 表一n r2 + n rl n r2 + n r 2r 3 n r2 12 n , - - r2 4, - - r 2 cm.6. （20i8苏州零模）鲁班
8、锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经 90隼卯起来若正四棱柱的高为 5，底面正方形的边长为 1,现球形容器的直径为两根等长的正四棱柱体组合体的体对角线，即为（1 + 1） 2+ 12+ 52= 30,所以球形容器的半径 R = -y,由球的表面积公式可知： S表=4 n R2 = 4 n 30 = 30 n .8如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为 4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点 P处.若该小虫爬行的最短路程为 4m，则9.正三棱柱
9、ABC-AiBiCi的底面边长为2,侧棱长为3, D为BC的中点，则三棱锥A-BiDCi的体积为 .如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，TAD 丄 BC, AD 丄 BBi , BBiA BC = B ,二 AD 丄平面 BiDCi.i i i VA-BiDCi = BiDCi AD = 3X 2X 2X ；3X :3 = i.iiO.已知直三棱柱 ABC-Ai Bi Ci的6个顶点都在球 O的球面上，若 AB=3, AC=4, AB丄AC , AAi =i2，则球O的半径为（ ）A专7 B. 2 iO C学 D. 3 i0点 M又 AM = |bc = ； ,32+ 42= 5, OM
10、 = *AAi= 6,所以球 O 的半径 R =ii.（20i7江苏高考）如图，在圆柱 OiO2内有一个球 O,该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切.记圆柱 OiO2的体积为Vi，球O的体积为V2，则浮的值V2是 .设球O的半径为R,因为球O与圆柱OiO2的上、下底面及母线均相切，所以圆Vi nR2 2RR、咼为2R，所以；y =V2 4 Q3nR12.已知正三棱锥的高为 内切球的半径为（ ）1，底面边长为2； 3,内有一个球与四个面都相切，则棱锥的5A.2B. .3 1C.*D. .2- 1选D 如图，过点P作PD丄平面ABC于点D，连接AD并 延长交BC于点E，连接PE,/ ABC是正三角
11、形， AE是BC边上的高和中线， D ABC的中心./ AB = 2 .3 Sa ABC = 3 3 DE = 1 PE = 2 S 表=3 X X 2 .：3 X ；2+ 3 3 = 3：+ 3.；3.1 PD = 1,三棱锥的体积 V= -X 3；3X 1= /3.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱13.（2017全国卷I ）已知三棱锥 S -ABC的所有顶点都在球 O的球面上，SC是球O的直径.若平面 SCA丄平面SCB, SA= AC , SB = BC,三棱锥 S -ABC的体积为9，则球O的表面积为 .如图，连接AO , OB ,/ SC为
12、球O的直径，.点 O为SC的中点，/ SA= AC , SB= AO 丄SC, BO丄SC,平面 SCA丄平面 SCB，平面SCA门平面SCB = sc, A AO丄平面SCB，设球 O 的半径为 R，贝y OA = OB = R, SC= 2R.a Vs -abc = Va-sbc= X SasbcX AO1 1 1 1=X 2X Scx ob X AO，即卩 9= 3 X 2 X 2RX R X R，解得 R= 3,a球 O 的表面积为 S =4 tiR2= 4 nX 32= 36 n.36 n14.（2017天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面 积为18,则
13、这个球的体积为 .由正方体的表面积为 18,得正方体的棱长为 3.设该正方体外接球的半径为 R,则2R = 3, R =弓，所以这个球的体积为冗R3= 4tX 27=守2 3 3 8 215.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为 米几何？ ”其意思为： “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆 的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（ ）B. 22 斛D. 66 斛A. 14 斛C. 36 斛选B
14、设米堆的底面半径为 r尺，则扌=8,所以r =竺，所以米堆的体积为 V2 n11 16 320 320=4X 3以5= X 5立方尺）故堆放的米约有 可勻侃 22（斛）.16. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为3,圆台的侧面积为84 n,则圆台较小底面的半径为 .设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r.由S= n （+ 3r） 3= 84n,解得r = 7.73，其底面是边长为 2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为 h,侧面的斜高为 h .由题意，得 1 x 6 x-4x 2x h = 2 ；3,二 h
15、= 1 ,斜高 h = ,12 + 一32= 2, - S 侧=6 x，x 2x 2= 12.1218.在三棱锥 A -BCD中，侧棱 AB , AC, AD两两垂直， ABC , ACD , ADB的面积分别为 于，于，冷6，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）选B设相互垂直的三条侧棱 AB , AC , AD分别为a, b, c,则珈=今,*bc =于，1ac=26，解得a= .2, b= 1, c=3所以三棱锥 A -BCD的外接球的直径 2R = ;a2+ b2+ c2= .6,则其外接球的表面积 S= 4 nR2= 6 n. , AP = BP = AB , PC 丄AC.解析：设C到
16、平面APB的距离为h,则由题意，得AP = PB = AB = AC 2 + BC 2 = 2 ；2,所以PC= .AP 2-AC 2 = 2.因为 CD = 1AB = 2, PD =PB= .6 所以 PC2 + CD2 = PD2,所以 PC 丄 CD.由（1）得 AB 丄平面 PCD,于是由 VC APB = VA PDC+ VB PDC,得-hS20.如图所示，在正方体 ABCD -AiBiCiDi中，（1） 求AC与AiD所成角的大小；解：（1）如图所示，连接 BiC, ABi，由ABCD -A1B1C1D1是正方体, 易知AiD / BiC，从而BiC与AC所成的角就是 AC与A
17、iD所成的角.ABi = AC = BiC,/ BiCA = 60 .即AiD与AC所成的角为60（2） 连接BD，在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，AC 丄 BD , AC / A1C1, E, F分别为AB , AD的中点， EF / BD , EF 丄AC. EF 丄AiCi.即AiCi与EF所成的角为9021. 至悴间不共面的四点距离相等的平面的个数为 （ ）A . 1 B. 4C. 7 D. 8选C 当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥当平面一侧有一点， 另一侧有三点时，如图 1令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的
18、平面有 4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图 2,当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有 3个.所以满足条件的平面共有7个，故选C.22.如图，平面 a/平面3, PAB所在的平面与 a B分别交于 CD , AB ,若PC= 2, CA = 3, CD = 1，贝U AB = ：平面 a/平面 3 二 CD / AB，则 PC = CAB, AB = PApCCD =号=|23 .在三棱锥 P-ABC中，PB = 6, AC = 3 , G PAC的重心，过点 G作三棱锥的一 个截面，使截面平行于 PB和AC ,则截面的周长
19、为 .过点G作EF / AC,分别交PA, PC于点E, F，过点E作EN / PB交AB于点 N，过点F作FM / PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形（平面EFMN2X 4= 8.为所求截面），且EF = MN = 2AC = 2, FM = EN = 3PB = 2,所以截面的周长为8F列命题中正确的是（ ）A .若 m / a, n /a,贝 U m / nB .若 m /a , m / 3 贝 U a/ 3C .若 a丄y 3丄Y 贝V a / 3D .若m丄a , n丄a,贝U m / nB中，两平面可能平行或相交； C选D A中，两直线可能平行、相交或异面;中
20、，两平面可能平行或相交； D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选 D.25.（2018陕西西安中学月考）已知m , n是两条不同的直线,a, 3为两个不同的平面, 则下列四个命题中正确的是 （ ）A .若m丄a , n丄3 m n ,贝U a丄3B .若 m II a n / B, m 丄 n,贝U all 3C .若 m丄 a, n / 3 m n ,贝U all 3D.若 m丄 a, n I 3 a/ 3,贝U m / n选A 借助于长方体模型解决.过直线 m, n作平面y可以得到平面 a 3所成的二面角为直二面角，如图 （1）,故a丄3, A正确；B的反例如图（2）; C的反例如图
21、（3）;D中由m丄a , a/ 3可得m丄3 ,过n作平面丫可得n与丫与3的交线g平行，则m丄g,故 n , D错误，故选A.26.（2018郑州质检）如图，在直三棱柱 ABC -A 中， ABC是 边长为2的等边三角形，AA = 4, E , F , G, H, M分别是边AA , AB , BB , A , BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终 有MP/平面ACC ,则动点P的轨迹长度为（ ）A . 2 B . 2 nC. 2 .选D连接 MF , FH , MH，因为 M, F ,H分别为BC , AB , A的中点,所以 MF I AC , FH / AA ，所以 MF
22、 I 平面 AA C, FH I 平面MF A FH = F，所以平面 MFH I平面AA C C,所以M与线段FH上任意一点的连线都 平行于平面AA C,所以点P的运动轨迹是线段 FH，其长度为4,故选D.27.a , 3是两个不同的平面，下列命题（2018 州一模）设m, n是两条不同的直线, 中正确的是（ ） 3, a丄3则m丄aB .若 m 丄 a, m I n, n I 3,贝U a丄 3C .若 ml n , m? 3,贝U a丄 3D .若 a I 3 m? 3,贝U m I n 解析：选B28.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，平面 a与棱AB ,AC , A1C1 , A1
23、B1分别交于点E, F,EFGH是平行四边形；平面 aIG , H,且直线AA1I平面a有下列三个命题：四边形平面BCC1B1 ；如图所示，因为 AA1 I平面 a,平面 aA平面AA1B1B = EH , 所以AA1 I EH .同理AA1 I GF,所以EH I GF ,又ABC-A1B1C1是直三棱 柱，易知EH = GF = AA1 ,所以四边形EFGH是平行四边形，故正确； 若平面 aI平面 BB1C1C ,由平面 aA平面 A1B1C1 = GH ,平面 BCC1B1A 平面A1B1C1= B1C1 ,知GH I B1C1 ,而GH I B1C1不一定成立，故错误； 由AA1丄平面
24、BCFE ,结合 AA1 I EH知EH丄平面 BCFE ,又EH ?平面所以平面 a丄平面BCFE ,故正确.29如图，在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，侧棱长为 2, AC = BC = 1，/ACB = 90, D是AiBi的中点，F是BBi上的动点, 使ABi丄平面CiDF，则线段BiF的长为（ ）A. 2 B . i已知可得AiBi= ；2,5 i设Rt AAiBi斜边ABi上的高为h,则DE = 0h.又2甘2+羽2,所以h =呼，DE二斗3.在 Rt DB iE 中，BiE = -2 2- -3 2 = 66.由面积相等得-6-X yjx2+乎2 =x,解得x =Rt ABC 中，/ ABC = 90, P ABC 所在平面外ABC，则四面体P -ABC中直角三角形的个数为（B. 3D. 1由PA丄平面 ABC可得 PAC, PAB是
